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2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第十一章第一节随机事件的概率
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第一节随机事件的概率
一、基础知识批注——理解深一点
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
概率与频率的区别
①概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关，它度量该事件发生的可能性．
②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同．
③频率是概率的近似值，在实际问题中，仅当试验次数足够多时，频率可近似地看作概率．
3．事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
若A发生，则B一定发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
▲
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
▲
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝1
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(2)必然事件的概率为 1 .
(3)不可能事件的概率为 0 .
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，
则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝ 1 ，P(A)＝1－P(B)．
二、基础小题强化——功底牢一点
(1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．( )
(2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件．( )
(3)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(4)若事件A发生的概率为P(A)，则0
(二)选一选
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
解析：选B A选项与已知事件的交事件为恰好有一次中靶，不符合题意；B选项与已知事件的交事件为不可能事件，符合题意；C选项与已知事件的交事件为恰好有一次中靶，不符合题意；D选项与已知事件的交事件为两次都不中靶，不符合题意．故选B.
2．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：选B 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
(三)填一填
3．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．
解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.
答案：0.9 0.2
4．给出下列三个命题．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；
③10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1.
其中正确的命题有________个．
解析：①错，不一定有10件次品；②错，是频率而非概率；③对，每个人摸到的概率是相同的，都为0.1.
答案：1
[典例] 一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数，事件B表示向上的一面出现的数字不超过3，事件C表示向上的一面出现的数字不小于4，则( )
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
[解析] A∩B＝{出现点数1或3}，故事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．
[答案] D
[解题技法] 判断互斥事件、对立事件的2种方法
定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法
(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
[题组训练]
1．(2019·西安模拟)如果事件A与B是互斥事件，则( )
A．A∪B是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.∪是必然事件
解析：选D 事件A与B互斥即A∩B为不可能事件，所以∪＝是必然事件，故选项D正确；在抛掷骰子试验中，A表示向上的数字为1，B表示向上的数字为2，A∪B不是必然事件，选项A错误；与不一定是互斥事件，选项B错误；A表示向上的数字为奇数，B表示向上的数字为偶数，与是互斥事件，选项C错误．故选D.
2．从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
解析：选A 对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．
对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件．
③“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球．故不是互斥事件．
[典例] 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
[变透练清]
1.若本例的条件不变，试求“一续保人本年度的保费不低于基本保费”的概率的估计值．
解：设事件“一续保人本年度的保费不低于基本保费”为E，事件E对应于出险次数大于或等于1，由典例(3)知出险次数小于1的频率为0.3，故一年内出险次数大于或等于1的频率为1－0.3＝0.7，故P(E)的估计值为0.7.
2.若本例的条件不变，记F为事件：“一续保人本年度的保费等于基本保费”．求P(F)的估计值．
解：“一续保人本年度的保费等于基本保费”的事件F发生当且仅当一年内出险次数等于1，其频率为0.25，故P(F)的估计值为0.25.
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石(精确到小数点后一位数字)．
解析：依题意，这批米内夹谷约为×1 534≈169.1石．
答案：169.1
[解题技法]
随机事件的频率与概率的常见题型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．
(2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率．
(3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值．
[典例] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解] (1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
[解题技法]
求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反)
[题组训练]
1．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )
A．0.45 B．0.67
C．0.64 D．0.32
解析：选D 设“摸出一个红球”为事件A，“摸出一个白球”为事件B，“摸出一个黑球”为事件C，显然事件A，B，C都互斥，且C与A＋B对立．
因为P(A)＝＝0.45，P(B)＝0.23，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.45＋0.23＝0.68，
P(C)＝1－P(A＋B)＝1－0.68＝0.32.
2．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．
解析：设P(A)＝x，P(B)＝3x，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.所以P(A)＝x＝0.16.
答案：0.16
A级——保大分专练
1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为( )
A．49 B．0.5
C．0.51 D．0.49
解析：选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51.
2．(2019·泉州模拟)从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是，则取得白球的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵取得红球与取得白球为对立事件，
∴取得白球的概率P＝1－＝.
3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：选B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．
4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
解析：选C 事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件．因为P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.故选C.
5．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，则x＋y的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选C 由题意知＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝5＋≥9，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．故选C.
6．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”．若表示B的对立事件，则在一次试验中，事件A＋发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，∴P()＝1－P(B)＝1－＝.因为表示事件“出现5点或6点”，因此事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
7．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为________．
解析：用频率估计概率知日销售量不低于50件的概率为1－(0.015＋0.03)×10＝0.55.
答案：0.55
8．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．
解析：数据落在区间[10,40)的频率为＝＝0.45.
答案：0.45
9．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－＝，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×＝6 912(人)．
答案：6 912
10．一只袋子中装有大小相同的7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为
P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案：
11．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘飞机去的概率；
(3)若他乘上面的交通工具去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：设“乘火车”“乘轮船”“乘汽车”“乘飞机”分别表示事件A，B，C，D，则
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设“不乘飞机”为事件E，则P(E)＝1－P(D)＝1－0.4＝0.6.
(3)因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.5，故他有可能是乘火车或轮船去，也有可能是乘汽车或飞机去．
12．(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50，
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372，
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
B级——创高分自选
1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意可得
即解得
解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率P＝＝.
答案：
3．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140, 160,220,200,110,160,160, 200,140,110,
160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为：
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)根据题意，Y＝460＋×5＝＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
一、基础知识批注——理解深一点
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
概率与频率的区别
①概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关，它度量该事件发生的可能性．
②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同．
③频率是概率的近似值，在实际问题中，仅当试验次数足够多时，频率可近似地看作概率．
3．事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
若A发生，则B一定发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
▲
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
▲
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝1
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(2)必然事件的概率为 1 .
(3)不可能事件的概率为 0 .
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，
则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝ 1 ，P(A)＝1－P(B)．
二、基础小题强化——功底牢一点
(1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．( )
(2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件．( )
(3)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(4)若事件A发生的概率为P(A)，则0
(二)选一选
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
解析：选B A选项与已知事件的交事件为恰好有一次中靶，不符合题意；B选项与已知事件的交事件为不可能事件，符合题意；C选项与已知事件的交事件为恰好有一次中靶，不符合题意；D选项与已知事件的交事件为两次都不中靶，不符合题意．故选B.
2．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：选B 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
(三)填一填
3．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．
解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.
答案：0.9 0.2
4．给出下列三个命题．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；
③10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1.
其中正确的命题有________个．
解析：①错，不一定有10件次品；②错，是频率而非概率；③对，每个人摸到的概率是相同的，都为0.1.
答案：1
[典例] 一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数，事件B表示向上的一面出现的数字不超过3，事件C表示向上的一面出现的数字不小于4，则( )
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
[解析] A∩B＝{出现点数1或3}，故事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．
[答案] D
[解题技法] 判断互斥事件、对立事件的2种方法
定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法
(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
[题组训练]
1．(2019·西安模拟)如果事件A与B是互斥事件，则( )
A．A∪B是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.∪是必然事件
解析：选D 事件A与B互斥即A∩B为不可能事件，所以∪＝是必然事件，故选项D正确；在抛掷骰子试验中，A表示向上的数字为1，B表示向上的数字为2，A∪B不是必然事件，选项A错误；与不一定是互斥事件，选项B错误；A表示向上的数字为奇数，B表示向上的数字为偶数，与是互斥事件，选项C错误．故选D.
2．从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
解析：选A 对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．
对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件．
③“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球．故不是互斥事件．
[典例] 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
[变透练清]
1.若本例的条件不变，试求“一续保人本年度的保费不低于基本保费”的概率的估计值．
解：设事件“一续保人本年度的保费不低于基本保费”为E，事件E对应于出险次数大于或等于1，由典例(3)知出险次数小于1的频率为0.3，故一年内出险次数大于或等于1的频率为1－0.3＝0.7，故P(E)的估计值为0.7.
2.若本例的条件不变，记F为事件：“一续保人本年度的保费等于基本保费”．求P(F)的估计值．
解：“一续保人本年度的保费等于基本保费”的事件F发生当且仅当一年内出险次数等于1，其频率为0.25，故P(F)的估计值为0.25.
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石(精确到小数点后一位数字)．
解析：依题意，这批米内夹谷约为×1 534≈169.1石．
答案：169.1
[解题技法]
随机事件的频率与概率的常见题型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．
(2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率．
(3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值．
[典例] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解] (1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
[解题技法]
求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反)
[题组训练]
1．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )
A．0.45 B．0.67
C．0.64 D．0.32
解析：选D 设“摸出一个红球”为事件A，“摸出一个白球”为事件B，“摸出一个黑球”为事件C，显然事件A，B，C都互斥，且C与A＋B对立．
因为P(A)＝＝0.45，P(B)＝0.23，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.45＋0.23＝0.68，
P(C)＝1－P(A＋B)＝1－0.68＝0.32.
2．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．
解析：设P(A)＝x，P(B)＝3x，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.所以P(A)＝x＝0.16.
答案：0.16
A级——保大分专练
1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为( )
A．49 B．0.5
C．0.51 D．0.49
解析：选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51.
2．(2019·泉州模拟)从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是，则取得白球的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵取得红球与取得白球为对立事件，
∴取得白球的概率P＝1－＝.
3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：选B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．
4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
解析：选C 事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件．因为P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.故选C.
5．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，则x＋y的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选C 由题意知＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝5＋≥9，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．故选C.
6．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”．若表示B的对立事件，则在一次试验中，事件A＋发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，∴P()＝1－P(B)＝1－＝.因为表示事件“出现5点或6点”，因此事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
7．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为________．
解析：用频率估计概率知日销售量不低于50件的概率为1－(0.015＋0.03)×10＝0.55.
答案：0.55
8．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．
解析：数据落在区间[10,40)的频率为＝＝0.45.
答案：0.45
9．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－＝，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×＝6 912(人)．
答案：6 912
10．一只袋子中装有大小相同的7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为
P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案：
11．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘飞机去的概率；
(3)若他乘上面的交通工具去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：设“乘火车”“乘轮船”“乘汽车”“乘飞机”分别表示事件A，B，C，D，则
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设“不乘飞机”为事件E，则P(E)＝1－P(D)＝1－0.4＝0.6.
(3)因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.5，故他有可能是乘火车或轮船去，也有可能是乘汽车或飞机去．
12．(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50，
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372，
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
B级——创高分自选
1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意可得
即解得
解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率P＝＝.
答案：
3．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140, 160,220,200,110,160,160, 200,140,110,
160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为：
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)根据题意，Y＝460＋×5＝＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
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