2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程

第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程




一、基础知识批注——理解深一点

倾斜角从“形”的方面直观地描述且体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．每条直线都有唯一确定的倾斜角．

1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线
l的倾斜角.
直线倾斜角为
时，斜率不存在

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.

(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，
且x1≠x2，则l的斜率 k＝.　 


3．直线方程的五种形式
　　
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)

截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断,截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.


二、常用结论汇总——规律多一点

特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0.
三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)
(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．(　　)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
(二)选一选
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设直线的倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.故选D.
2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：选A　由k＝＝1，得m＝1.
3．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
解析：选A　由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.

(三)填一填
4．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
5．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24.
答案：－24


[典例]　(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
[解析]　(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2·cos α∈[1， ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， ]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.




(2) 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ ]．
故直线l斜率的取值范围是(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
[答案]　(1)B　(2)(－∞，－ ]∪[1，＋∞)

[变透练清]
1.若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A(cos θ，sin2 θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角α的取值范围是________．
解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k＝tan α＝＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB的倾斜角的取值范围是∪.
答案：∪
2.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，则直线l斜率的取值范围为________．
解析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，
即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.
即直线l的斜率的取值范围是.
答案：
3．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4

[解题技法]　斜率取值范围的两种求法
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可



[典例]　(1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．
(2)若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．
(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．
[解析]　(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
②当横截距、纵截距都不为零时，
设所求直线方程为＋＝1，
将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.
又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.
(3)设C(x0，y0)，则M，N.
因为点M在y轴上，所以＝0，所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以＝0，
所以y0＝－3，即C(－5，－3)，
所以M，N(1,0)，
所以直线MN的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
[答案]　(1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0
(2)x－y＋6＝0　(3)5x－2y－5＝0

[解题技法]
1．求解直线方程的2种方法
直接法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
待定系数法
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程

2．谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.

[题组训练]
1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是的直线方程是________________．
解析：由题知，倾斜角为或，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝0
2．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．
解析：设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0



[典例]　已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程．
[解]　设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为＋＝1，
所以＋＝1.
||·| |＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5
＝＋≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.

[解题技法]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．
[题组训练]
1．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．8
解析：选C　∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.
2．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－， ]
B.∪
C.∪
D.
解析：选C　设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.
联立得x2＋x＋6＝0(m≠0)，
则Δ＝2－24≥0，即m2≥，解得m≤－或m≥.
∴实数m的取值范围是∪.

1．(2019·合肥模拟)直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
解析：选A　设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
解析：选D　由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选C　由题知M(2,4)，N(3,2)，则中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0.
4．方程y＝ax－表示的直线可能是(　　)

解析：选C　当a＞0时，直线的斜率k＝a＞0，在y轴上的截距b＝－＜0，各选项都不符合此条件；当a＜0时，直线的斜率k＝a＜0，在y轴上的截距b＝－＞0，只有选项C符合此条件．故选C.
5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选C　因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.
6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则(　　)
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
解析：选D　对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－，即－＝－3，n＝1.
因为x－y＝3的斜率为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线x－y＝3的2倍，所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°，即－＝－，m＝.
7．当0