2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用讲义：第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系


第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)


相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r

2．圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R＞r)，则
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
公切线条数
4
3
2
1
0

判断圆与圆位置关系的注意点
对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．
[熟记常用结论]
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、选填题
1．直线l：x＋y－4＝0与圆C：x2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．相交过圆心　　　　　 B．相交不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选C　圆心坐标为(0,0)，圆心到直线l的距离d＝＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B.相交
C．外切 D．内切
解析：选B　圆O1：(x－1)2＋y2＝1，
圆O2：x2＋(y－2)2＝4，
∵|O1O2|＝＝，
∴|2－1|＜|O1O2|＜2＋1，∴两圆相交．故选B.
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B.[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
所以≤，
即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C.
4．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________.
解析：因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝.
答案：0或
5．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝，
又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由2＝r2－d2，得|AB|2＝4＝10，即|AB|＝.
答案：

考点一 直线与圆的位置关系的判断 [师生共研过关]
[典例精析]
(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)
A．(，2) B.(，3)
C. D.
(3)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞) B.(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
[解析]　(1)法一：(代数法)由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交．
法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离
d＝＜1＜，故直线l与圆相交．
法三：易得直线l过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜，∴点(1,1)在圆的内部，故直线l与圆C相交．
(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，
所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，
则1＜m＜.
(3)计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
[答案]　(1)A　(2)D　(3)A
[解题技法]
判断直线与圆的位置关系的一般方法
几何法
圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小
代数法
将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系
[过关训练]
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B.相交
C．相离 D．不确定
解析：选B　因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1.所以直线与圆相交．
2．(2019·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B.(2，＋∞)
C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)
解析：选C　∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴8－4b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6，∴b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.
3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选C　由圆的方程知圆心坐标为(3,3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．
考点二 圆与圆的位置关系及应用 [师生共研过关]
[典例精析]
已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．2
[解析]　由圆C1与圆C2外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9.根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为.
[答案]　C
[解题技法]
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
[过关训练]
1．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是_________________．
解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，
圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0＜＜4，
∴0＜|a|＜2.∴a∈(－2，0)∪(0,2)．
答案：(－2，0)∪(0,2)
2．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解：因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为，，
(1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10.
(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
故两圆的公共弦的长为
2 ＝2.
考点三 圆的弦长问题 [师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2019·太原模拟)若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A.　　　　　　　　 B．1
C. D.
(2)(2019·成都模拟)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D．0
[解析]　(1)因为a2＋b2＝c2，所以圆心O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝，所以直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为2＝2×＝1，选B.
(2)在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos 120°＝－.
[答案]　(1)B　(2)A
[解题技法]
有关弦长问题的2种求法
几何法
直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2
代数法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝·|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝

[过关训练]
1．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝(　　)
A．－ B.±
C．－ D．±
解析：选D　记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.
2．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两根，所以x1x2＝－2，又点C的坐标为(0,1)，则·＝(－x1,1)·(－x2,1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2可知原点O在圆内，则由相交弦定理可得|OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2.
又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值．
考点四 圆的切线问题 [师生共研过关]
[典例精析]
已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解]　由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，
解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝ ，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
[解题技法]
1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出

[提醒]　当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．
[过关训练]
1．(2019·杭州模拟)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C. D．3
解析：选C　切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，故切线长的最小值为＝.
2．(2018·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3 B.4
C．2 D．8
解析：选B　连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，
sin∠AO2O1＝，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2×＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B.
考点五 直线与圆的综合问题[师生共研过关]
[典例精析]
已知直线l：4x＋ay－5＝0与直线l′：x－2y＝0相互垂直，圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称，且圆C过点M(－1，－1)．
(1)求直线l与圆C的方程．
(2)过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足kMP＋kMQ＝0，求证：直线PQ的斜率为1.
[解]　(1)∵直线l：4x＋ay－5＝0与直线l′：x－2y＝0相互垂直，
∴4－2a＝0，解得a＝2.
∴直线l的方程为4x＋2y－5＝0.
设圆C的圆心C的坐标为(m，n)．
∵圆心C(m，n)与点(2,1)关于直线l对称，
∴解得∴C(0,0)．
∴圆C的半径r＝|CM|＝.
∴圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，过点M的直线MP的斜率为k，则过点M的直线MQ的斜率为－k，直线MP的方程为y＋1＝k(x＋1)．
∵直线MP与圆C相交，
∴联立
消去y并整理，得(1＋k2)x2＋2k(k－1)x＋k2－2k－1＝0.
∵圆C过点M(－1，－1)，
∴xP·(－1)＝，∴xP＝.
同理，将k替换成－k，可得xQ＝.
∴kPQ＝＝＝＝1.
[解题技法]
直线与圆的综合问题的求解策略
(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．
(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．
[过关训练]
　已知A(2,0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点．
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．
解：(1)∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，
∴圆心到直线的距离
d＝＝＝1.
∵m＜3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值与最小值分别为＋，－.
(2)由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，
令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M(0,4)，O(0,0)，N(－6,0)，
∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，
∴△MON内切圆的半径为＝5－.

一、题点全面练
1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离　　　　　　　 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
解析：选C　直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．
2．(2018·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)
A．2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：选B　由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.
3．(2019·六安模拟)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为(　　)
A．2 B.3
C．4 D．5
解析：选A　将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB的中点坐标为D(2，)，∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.故选A.
4．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝6
B．(x－2)2＋(y－1)2＝22
C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22
D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32
解析：选C　设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0.圆心O1到直线AB的距离d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.
5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B.[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
6．若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是__________________．
解析：依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
7．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________．
解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，圆心坐标为(a,0)(a＞0)，
则由题意知2＋2＝(a－1)2，
解得a＝3或－1(舍去)，
故圆心坐标为(3,0)，
因为圆心(3,0)在所求的直线上，
所以3＋0＋m＝0，
解得m＝－3，
故所求的直线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
8．已知直线x－y＋a＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，
所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，
由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，
故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，
由点到直线的距离公式可得＝，
解得a＝0或a＝6.
答案：0或6
9．已知圆C经过点A(2，－1)，与直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，
∴直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
10．已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，∴半径r＝|OC|.
∵|OC|2＝t2＋，
∴设圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋.
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，则A(2t,0)．
令x＝0，得y1＝0，y2＝，则B.
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直线OC的方程为y＝x.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，r＝|OC|＝，
此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＜，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，r＝|OC|＝，
此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＞，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)
A．4 B.4
C．8 D．8
解析：选C　因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝，解得a＝5＋2或a＝5－2，可取C1(5＋2，5＋2)，C2(5－2，5－2)，故|C1C2|＝＝8，故选C.
2．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为(　　)
A．4 B.3
C．2 D．1
解析：选D　由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.
3．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37
解析：选D　如图所示，∵A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)．
∴过A，C的直线方程为＝，化为一般式为x＋2y－4＝0.点O到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝＞1，
又|OA|＝＝，|OB|＝＝，|OC|＝＝.
∴以原点为圆心的圆若与△ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径分别为1或，则圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.
4．过点A(3,5)作圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_____________．
解析：圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵|CA|＝＝＞2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，即|3－2k|＝2，∴k＝，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
答案：5x－12y＋45＝0或x－3＝0
5．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．
解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，|MA|＝＝＝4.设A(x，6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1,5]．
答案：[1,5]
(二)难点专练——适情自主选
6．已知圆H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.
(1)求圆H的方程；
(2)若存在过点P(a,0)的直线与圆H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．
解：(1)设圆H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r＞0)，
因为圆H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，
所以m＝2，n＝1.
又圆H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.
所以圆H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.
(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，
所以M.
因为M，N两点均在圆H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①
2＋2＝2，
即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②
设圆I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，
由①②知圆H与圆I有公共点，
从而2－≤|HI|≤2＋，
即≤≤3，
整理可得2≤a2－4a＋5≤18，
解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，
所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3,2＋]．
7．已知圆C经过点A，B，直线x＝0平分圆C，直线l与圆C相切，与圆C1：x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且满足OP⊥OQ.
(1)求圆C的方程；
(2)求直线l的方程．
解：(1)依题意知圆心C在y轴上，可设圆心C的坐标为(0，b)，圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
因为圆C经过A，B两点，
所以2＋2＝2＋2，
即＋－b＋b2＝＋－b＋b2，解得b＝4.
则r2＝2＋2＝，
所以圆C的方程为x2＋(y－4)2＝.
(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x＝±，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，则P，Q或P，Q，则·＝0，所以OP⊥OQ，满足题意．
当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将直线l的方程与圆C1的方程联立，得消去y，整理得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
则Δ＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－1)＝4(k2－m2＋1)＞0，
即1＋k2＞m2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，
又OP⊥OQ，所以·＝0，
即x1x2＋y1y2＝＋＝0，
故2m2＝1＋k2，满足Δ＞0，符合题意．
因为直线l：y＝kx＋m与圆C：x2＋(y－4)2＝相切，
所以圆心C(0,4)到直线l的距离d＝＝，
即m2－8m＋16＝，故m2－8m＋16＝m2，得m＝2，
故1＋k2＝8，得k＝±.
故直线l的方程为y＝±x＋2.
综上，直线l的方程为x＝±或y＝±x＋2.