2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第二章第五节　对数与对数函数

第五节　对数与对数函数
[考纲要求]
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象．
3．体会对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．　　　
突破点一　对数的运算


1．对数的概念、性质及运算
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝_N_
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
2.重要公式
(1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；
(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)
(2)log2x2＝2log2x.(　　)
(3)存在这样的M，N使得log2(MN)＝log2M·log2N.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空题
1．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________(用p，q表示)．
解析：lg 5＝＝＝.
答案：
2．计算：2log3＋lg 8＋lg 25＋＝________.
解析：原式＝＋3(lg 2＋lg 5)＋＝5.
答案：5
3．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________.
解析：∵4a＝22a＝2，∴a＝.
∴lg x＝，∴x＝.
答案：
4．log225·log34·log59＝________.
解析：原式＝··＝··＝8.
答案：8


计算下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2
＝log5＋log2＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64
＝÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.

解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.

1．计算：÷100＝________.
解析：原式＝lg×100＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案：－20
2．计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06＝________.
解析：原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.
答案：1
3．(2019·宁波期末)已知4a＝5b＝10，则＋＝________.
解析：∵4a＝5b＝10，∴a＝log410，＝lg 4，b＝log510，＝lg 5，∴＋＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.
答案：2
突破点二　对数函数的图象及应用


1．对数函数的图象
函数
y＝logax，a>1
y＝logax,0 图象


图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
2.底数的大小决定了图象相对位置的高低

不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0 在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
3．指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．(　　)
(2)函数y＝log2(x＋1)的图象恒过定点(0,0)．(　　)
答案：(1)√　(2)√
二、填空题
1．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
答案：(4，－1)
2．函数y＝log3|2x－m|的图象关于x＝对称，则m＝________.
答案：1
3．若f(x)＝log2x，则f(x)>0的x的范围是________．
答案：(1，＋∞)


考法一　对数函数图象的辨析　
[例1]　(2019·海南三市联考)函数f(x)＝|loga(x＋1)|的大致图象是(　　)

[解析]　法一：函数f(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f(x)≥0，结合对数函数的图象可知选C.
法二：的图象可由y＝logax的图象左移1个单位，再向上翻折得到，结合选项知选C.
[答案]　C
[方法技巧]
研究对数型函数图象的思路
研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0 考法二　对数函数图象的应用　
[例2]　(2019·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝|ln x|.若0 A．(4，＋∞)　　　　　 B．[4，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
[解析]　由f(a)＝f(b)得|ln a|＝|ln b|，
根据函数y＝|ln x|的图象及0 令g(b)＝a＋4b＝4b＋，易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，
所以g(b)>g(1)＝5.
[答案]　C
[易错提醒]
应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律．

1.函数f(x)＝loga|x|＋1(0

解析：选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
2.已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)，可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案：[1,2]
3.使log2(－x) 解析：在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示)，由图象知使log2(－x) 答案：(－1,0)
突破点三　对数函数的性质及应用


对数函数的性质
函数
y＝logax(a>0，且a≠1)
a>1
0 性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变化规律
当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0 当x>1时，y<0；当00

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当x>1时，logax>0.(　　)
(2)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．(　　)
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、填空题
1．函数y＝的定义域为________．
答案：[2，＋∞)
2．函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________．
答案：
3．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.
答案：2或


考法一　与对数有关的函数定义域问题　
[例1]　(2018·西安二模)若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,3)　　　　　　　 B．[0,3)
C．(0,3] D．[0,3]
[解析]　由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时，3>0，符合题意；当m≠0时，只需解得0 [答案]　B
[方法技巧]
已知f(x)＝loga(px2＋qx＋r)(a>0，且a≠1)的定义域为R，求参数范围时，要注意分p＝0，p≠0讨论．同时p≠0时应结合图象说明成立条件．　　
考法二　与对数有关的比较大小问题　
[例2]　(2019·湖北华中师大第一附属中学期中)设a＝2 018，b＝log2 018，c＝log2 019，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
[解析]　∵a＝2 018>2 0180＝1,1＝log2 0182 018>b＝log2 018>log2 018＝，c＝log2 019b>c.故选A.
[答案]　A
[方法技巧]　　　对数函数值大小比较的方法
单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量过渡法
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法
根据图象观察得出大小关系
考法三　与对数有关的不等式问题　
[例3]　设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[解析]　由题意得
或
解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.
[答案]　C
[方法技巧]
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　　
考法四　对数函数性质的综合问题　
[例4]　若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.
二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需
解得≤m＜2.
[答案]　C
[方法技巧]
解决对数函数性质的综合问题的3个注意点
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．　　

1.函数f(x)＝的定义域是(　　)
A.　　　　　　 B.∪(0，＋∞)
C. D．[0，＋∞)
解析：选B　由解得x>－且x≠0，故选B.
2.设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b C．cb>c
解析：选B　a＝log50.5>log50.2＝－1，b＝log20.3log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1 3.(2019·湛江模拟)已知loga<1，那么a的取值范围是________．
解析：∵loga<1＝logaa，故当01时，y＝logax为增函数，a>，∴a>1.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
4.(2019·盐城中学月考)已知函数f(x)＝loga(0 解析：由>0，解得－b0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b＝1.所以f(x)＝loga(0 答案：
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．(log29)(log32)＋loga＋loga(a>0，且a≠1)的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：选B　原式＝(2log23)(log32)＋loga＝2×1＋logaa＝3.
2．(2018· 衡水名校联考)函数y＝的定义域是(　　)
A．[1,2] B．[1,2)
C. D.
解析：选D　由log(2x－1)≥0⇒0<2x－1≤1⇒ 3．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
解析：选A　因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.
4．(2019·武汉调研)函数f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(2，＋∞) D．(5，＋∞)
解析：选D　由函数f(x)＝loga(x2－4x－5)得x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.令m(x)＝x2－4x－5，则m(x)＝(x－2)2－9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由a>1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，故选D.
5．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝x.
答案：x
6．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．
解析：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)　(－1，＋∞)
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·广东普通高中学业水平考试)对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是(　　)
A．lg y－lg x＝lg 　　　　 B．lg(x＋y)＝lg x＋lg y
C．lg x3＝3lg x D．lg x＝
解析：选B　由对数的运算性质可知lg x＋lg y＝lg(xy)，因此选项B错误．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A　由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．
∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
3．已知函数f(x)＝lg(＋2x)＋2，则f(ln 2)＋f＝(　　)
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：选A　由函数f(x)的解析式可得：
f(x)＋f(－x)＝lg(＋2x)＋2＋lg(－2x)＋2＝lg(1＋4x2－4x2)＋4＝4，
∴f(ln 2)＋f＝f(ln 2)＋f(－ln 2)＝4.故选A.
4．(2019·衡水中学模考)函数y＝的图象可能是(　　)

解析：选B　易知函数y＝为奇函数，故排除A，C；当x>0时，y＝ln x，只有B项符合．故选B.
5．(2019·菏泽模拟)若函数f(x)＝(a>0，a≠1)的值域为[6，＋∞)，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,1)∪(1,2)
C．(1,2] D．[2，＋∞)
解析：选C　当x≤2时，f(x)∈[6，＋∞)，所以当x>2时，f(x)的取值集合A⊆[6，＋∞)．当01时，A＝(loga2＋5，＋∞)，若A⊆[6，＋∞)，则有loga2＋5≥6，得1 6．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解析：选A　∵a＞0，∴2a＞1，∴loga＞1，∴0＜a＜.
∵b＞0，∴0＜b＜1，∴0＜logb＜1，∴＜b＜1.
∵c＞0，∴c＞0，∴log2c＞0，∴c＞1.
∴0＜a＜＜b＜1＜c，故选A.
7．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　当00，即0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间，上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.
8．(2019·六安一中一模)计算：－lg＋81＝________.
解析：原式＝＋lg 3＋3＝1－lg 3＋lg 3＋25＝26.
答案：26
9．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得11在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1，解得a>4，且0 答案：
10．若函数f(x)＝loga(x2－2x＋a)(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的值等于________．
解析：令g(x)＝x2－2x＋a，则f(x)＝loga[g(x)]．①若a＞1，由于函数f(x)有最小值，则g(x)应有最小值 ，而g(x)＝x2－2x＋a＝(x－)2＋a－6，当x＝时，取最小值a－6，因此有解得a＝9.②若0＜a＜1，由于函数f(x)有最小值，则g(x)应有最大值，而g(x)不存在最大值，不符合题意．综上，实数a＝9.
答案：9
11．已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，得>0，当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；当01＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，∴g′(x)＝1－＝>0.因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则f(x)min＝f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2.令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．由于h(x)＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.故a>2时，恒有f(x)>0.因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．
12．(2019·邯郸模拟)已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0，∴a<.
又a>0且a≠1，
∴a∈(0,1)∪.
(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，
∴y＝logat在[1,2]上为增函数，∴a>1，
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
[C级　难度题——适情自主选做]
1．(2019·长沙五校联考)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2<0 B．x1x2＝1
C．x1x2>1 D．0 解析：选D　构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示．因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，所以两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1 2．(2019·安丘一中期中)如图所示，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．

解析：因为点A的纵坐标为2，所以令logx＝2，解得点A的横坐标为，故xD＝.令x＝2，解得x＝4，故xC＝4.所以yC＝4＝，故yD＝，所以D.
答案：
3．已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.
解析：因为f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.
答案：9