2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第十二章第三节　算法与程序框图、复数

第三节　算法与程序框图、复数
[考纲要求]
1．了解算法的含义，了解算法的思想．
2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．
3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
4．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
5．了解复数的代数表示法及其几何意义．
6．能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．
7．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．　　　
突破点一　算法与程序框图


1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
名称
定义
程序框图
顺序结构
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构

条件结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构

循环结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体



一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．(　　)
(2)算法可以无限操作下去．(　　)
(3)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件分支结构和循环结构．(　　)
(4)条件分支结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．(　　)
(5)▱是赋值框，有计算功能．(　　)
(6)循环结构有两个出口：一个维持循环操作，重复执行循环体；另一个是结束循环操作，离开循环体．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×
二、填空题
1．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为________．

答案：
2．执行如图所示的程序框图，则输出的S＝________.

答案：
3．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是___________________________.

答案：求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项的和


考法一　程序框图的输入、输出问题　
[例1]　(1)(2018·河南郑州一中月考)执行如图所示的程序框图，输出的S的值为(　　)

A．－　　　　　　　 B．0
C. D.
(2)(2019·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是(　　)

A．20 B．21
C．22 D．23
[解析]　(1)依题意，数列的项以6为周期重复出现，且前6项和等于0，因为2 019＝6×336＋3，所以数列的前2 019项和等于336×0＋sin＋sin＋sin π＝，执行题中的程序框图，输出S的值等于数列的前2 019项和，S＝，故选D.
(2)根据程序框图可知，若输出的k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S＝2×0＋3＝3，执行第2次时，S＝2×3＋3＝9，执行第3次时，S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数a的取值范围是9≤a＜21，故选A.
[答案]　(1)D　(2)A
[方法技巧]
1．程序框图输入、输出问题的解题思路
(1)要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
2．确定控制循环变量的思路
结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．　　
考法二　程序框图的补全问题　
[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
(2)(2019·德阳联考)执行如图所示的程序框图，若输入m＝1，n＝3，输出的x＝1.75，则空白判断框内应填的条件为(　　)


A．|m－n|＜1? B．|m－n|＜0.5?
C．|m－n|＜0.2? D．|m－n|＜0.1?
[解析]　(1)由题意可将S变形为S＝－，则由S＝N－T，得N＝1＋＋…＋，T＝＋＋…＋.据此，结合N＝N＋，T＝T＋易知在空白框中应填入i＝i＋2.故选B.
(2)输入m＝1，n＝3.
第一次执行，x＝2,22－3＞0，n＝2，返回；
第二次执行，x＝，2－3＜0，m＝，返回；
第三次执行，x＝＝，2－3＞0，n＝.
输出x＝1.75，故第三次执行后应满足判断框，此时m－n＝－＝－，故选B.
[答案]　(1)B　(2)B
[方法技巧]
程序框图补全问题的求解方法
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．　　

1．执行如图所示的程序框图，则输出的n等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4

解析：选C　依据流程图可知，程序运行如下：
首先n＝0，x＝，
第一次循环：
a＝sin x＝sin ≠，n＝1，x＝π；
第二次循环：a＝sin x＝sin π≠，n＝2，x＝π－＝；
第三次循环：a＝sin x＝sin ≠，
n＝3，x＝－＝＝；
第四次循环：a＝sin x＝sin ＝，
此时跳出循环，输出n＝3.
故选C.
2.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为－20，则条件框内可填写(　　)

A．i＞3? B．i＜4?
C．i＞4? D．i＜5?
解析：选D　初始值：i＝1，S＝10；
第一次循环：S＝10－21＝8，i＝2；
第二次循环：S＝8－22＝4，i＝3；
第三次循环：S＝4－23＝－4，i＝4；
第四次循环：S＝－4－24＝－20，i＝5.
因为输出S的值为－20，所以条件框内可填“i＜5？”．
3．我国古代数学著作《骨髀算经》有如下问题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝1.5(单位：升)，则输入k的值为(　　)
A．4.5 B．6
C．7.5 D．9
解析：选B　由程序框图知S＝k－－－＝1.5，解得k＝6，故选B.
4.执行如图所示的程序框图，若输出的值为21，则判断框内可填(　　)

A．n≥5? B．n＞6?
C．n＞5? D．n＜6?
解析：选B　初始值：n＝0，S＝0；
第一次循环：n＝1，S＝1；
第二次循环：n＝2，S＝1＋2＝3；
第三次循环：n＝3，S＝3＋3＝6；
第四次循环：n＝4，S＝6＋4＝10；
第五次循环：n＝5，S＝10＋5＝15；
第六次循环：n＝6，S＝15＋6＝21；
第七次循环：n＝7.
因为输出的值为21，所以结合选项可知判断框内可填“n＞6？”，故选B.
突破点二　复数


1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：

2．复数的有关概念
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)
3.复数的几何意义
复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的几何表示
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量
4.复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
5．复数代数运算中常用的结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)方程x2＋1＝0没有解．(　　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．(　　)
(4)已知复数z的共轭复数＝1＋2i，则z的复平面内对应的点位于第三象限．(　　)
(5)复数中有复数相等的概念，因此复数可以比较大小．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、填空题
1．已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋i4＝________.
答案：0
2．复数＝________.
答案：i
3．复数z＝－i(1＋2i)的共轭复数为________．
答案：2＋i
4．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于第________象限．
答案：四


考法一　复数的运算及有关概念　
[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(　　)
A．3－2i　　　　　　　 　B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
(2)(2019·南充一模)若复数的实部和虚部互为相反数，那么实数b等于(　　)
A．－ B．
C. D．2
(3)(2019·广东七校联考)如果复数是纯虚数，那么实数m等于(　　)
A．－1 B．0
C．0或1 D．0或－1
[解析]　(1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.故选D.
(2)＝＝＝－.
因为该复数的实部和虚部互为相反数，
因此2－2b＝4＋b，因此b＝－.故选A.
(3)法一：＝＝，因为此复数为纯虚数，
所以解得m＝－1或0，故选D.
法二：设＝bi(b∈R且b≠0)，则bi(1＋mi)＝m2＋i，即－mb＋bi＝m2＋i，
所以解得m＝－1或0，故选D.
[答案]　(1)D　(2)A　(3)D
[方法技巧]
复数的相关概念及运算的技巧
(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．
(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．
(3)复数代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．　　
考法二　复数的几何意义　
[例2]　(1)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2019·南昌一模)已知z＝m2－1＋mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(－∞，1) D．(0,1)
[解析]　(1)＝＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象限．故选D.
(2)因为z＝m2－1＋mi在复平面内对应的点是(m2－1，m)，且该点在第二象限，所以解得0＜m＜1，所以实数m的取值范围是(0,1)．故选D.
[答案]　(1)D　(2)D

[方法技巧]
复数几何意义问题的解题策略
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　　

1.(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)
A．－－i　　　　　　 　B．－＋i
C．－－i D．－＋i
解析：选D　＝＝＝－＋i.
2.(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
解析：选D　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.
3.已知i是虚数单位，复数z满足＝i，则复数z在复平面内对应的点是(　　)
A. B．(－1,1)
C. D．(1，－1)
解析：选B　法一：因为＝i，所以z＝＝＝－1＋i，
所以复数z在复平面内对应的点是(－1,1)，故选B.
法二：因为＝i，所以z＝＝＝－1＋i，
所以复数z在复平面内对应的点是(－1,1)，故选B.
4.已知i是虚数单位，复数的共轭复数在复平面上所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　复数＝＝＝1＋2i，其共轭复数为1－2i，在复平面上所对应的点为(1，－2)，位于第四象限，故选D.
[课时跟踪检测]
1．(2019·安徽六安第一中学模拟)设复数z＝1＋bi(b∈R)，且z2＝－3＋4i，则z的共轭复数的虚部为(　　)
A．－2　　　　　　　　　 　B．2i
C．2 D．－2i
解析：选A　由题意得z2＝(1＋bi)2＝1－b2＋2bi＝－3＋4i，∴∴b＝2，故z＝1＋2i，＝1－2i，虚部为－2.故选A.
2．(2019·陕西一模)已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选B　因为复数z满足z(1－i)2＝1＋i，所以z＝＝＝－＋i，所以|z|＝，故选B.
3．(2019·昆明质检)设复数z满足＝1－i，则z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选C　由题意得z＝＝＝＝－1＋i.
4．(2019·开封调研)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前．如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图(图中“a MOD b”表示a除以b的余数)，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝(　　)
A．0 B．25
C．50 D．75
解析：选B　初始值a＝675，b＝125.第一次循环c＝50，a＝125，b＝50；第二次循环c＝25，a＝50，b＝25；第三次循环c＝0，a＝25，b＝0，此时不满足循环条件，退出循环，输出a的值为25，故选B.

5．(2019·贺州联考)执行如图所示的程序框图，若输入的t＝4，则输出的i＝(　　)

A．7 B．10
C．13 D．16
解析：选D　输入t＝4，i＝1，S＝0，S＜4，i＝1不是质数，S＝0－1＝－1，i＝4，S
＜4；i＝4不是质数，S＝－1－4＝－5，i＝7，S＜4；i＝7是质数，S＝－5＋7＝2，i
＝10，S＜4；i＝10不是质数，S＝2－10＝－8，i＝13，S＜4；i＝13是质数，S＝－8
＋13＝5，i＝16，S＞4，退出循环，故输出的i＝16.故选D.
6．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B.
C．1 D.
解析：选C　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.
7．(2019·福州模拟)若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A　因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.
8．(2019·成都质检)已知复数z1＝2＋6i，z2＝－2i.若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|＝(　　)
A. B．5
C．2 D．2
解析：选A　因为复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，－2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数z＝1＋2i，则|z|＝＝.故选A.
9．(2019·广西五校联考)下面是关于复数z＝2－i的四个命题，p1：|z|＝5；p2：z2＝3－4i；p3：z的共轭复数为－2＋i；p4：z的虚部为－1.其中真命题为(　　)
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
解析：选C　因为z＝2－i，所以|z|＝≠5，则命题p1是假命题；z2＝(2－i)2＝3－4i，所以p2是真命题；易知z的共轭复数为2＋i，所以p3是假命题；z的实部为2，虚部为－1，所以p4是真命题．故选C.
10．(2019·甘肃模拟)某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量(单位：台)，把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的S＝(　　)

A．28 B．29
C．196 D．203
解析：选B　由程序框图可知，该程序框图输出的是销售量的平均值，结合茎叶图可知，输出的S＝＝29，故选B.
11．(2019·石家庄高三一模)执行如图所示的程序框图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是(　　)

A．i≤4? B．i≥4?
C．i≤5? D．i≥5?
解析：选C　执行程序框图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25.结合选项知，选C.
12．(2019·泉州模拟)我国古代算书《孙子算经》上有个有趣的问题“出门望九堤”：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”现在我们用如图所示的程序框图来解决这个问题，如果要使输出的结果为禽的数目，则在该框图中的判断框中应该填入的条件是(　　)
A．S＞10 000? B．S＜10 000?
C．n≥5? D．n≤6?
解析：选B　根据题意，利用程序框图求禽的数目，输出结果应为S＝9×9×9×9×9＝59 049.循环共执行了5次，所以判断框中应填入的条件是“S＜10 000？”或“n≤5？”或“n＜6？”．故选B.
13．(2018·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　输入N的值为20，
第一次执行条件语句，N＝20，
i＝2，＝10是整数，
∴T＝0＋1＝1，i＝3＜5；
第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，＝不是整数，∴i＝4＜5；
第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，＝5是整数，
∴T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴输出T＝2.
14．(2019·东北四校联考)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：∵z＝＝＝＋i，∴复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限．
答案：一
15．(2019·南宁摸底)执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是________．

解析：运行框图，输入S＝2，k＝2 015，满足条件k＜2 018，S＝＝－1，k＝2 015＋1＝2 016；满足条件k＜2 018，S＝＝，k＝2 016＋1＝2 017；满足条件k＜2 018，S＝＝2，k＝2 017＋1＝2 018，k＜2 018不成立，输出S＝2.
答案：2
16．(2019·广东七校联考)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n的值为________．
(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)

解析：执行框图n＝6，S＝≈2.598＜3.10；n＝12，S＝3＜3.10；n＝24，S≈ 3.105 6≥3.10，满足条件，退出循环，故输出的n的值为24.
答案：24
17．(2019·齐齐哈尔八中期末)已知复数z＝i(4－3i2 019)，则复数z的共轭复数为________．
解析：因为i2 019＝(i4)504·i3＝－i，所以z＝i(4＋3i)＝4i＋3i2＝－3＋4i，
所以＝－3－4i.
答案：－3－4i
18．(2019·贵阳一模)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数、指数函数与三角函数联系起来，将指数函数的定义域扩充为复数域，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e－2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于第________象限．
解析：依题意得，e－2i＝cos(－2)＋isin(－2)＝cos 2－isin 2的共轭复数的实部、虚部分别为cos 2，sin 2，又＜2＜π，所以cos 2＜0，sin 2＞0，因此e－2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于第二象限．
答案：二