2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第九章第三节　椭圆

第三节　椭圆
[考纲要求]
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．了解椭圆的简单应用．
4．理解数形结合的思想．
突破点一　椭圆的定义和标准方程


1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、填空题
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
答案：4
2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)
3．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________．
答案：＋＝1


考法一　椭圆的定义及应用　
[例1]　(1)(2019·衡水调研)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1　　　　 　B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，
∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.
(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则cos 60°＝＝＝，化简得，3mn＝4(a2－c2)＝4b2，∵b2＝4，∴mn＝，∴S△PF1F2＝mnsin 60°＝.故选D.
[答案]　(1)D　(2)D
[方法技巧]
椭圆焦点三角形中的常用结论
以椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的 △PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3) S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．　　
考法二　椭圆的标准方程　
[例2]　(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
(2)(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为____________．
[解析]　(1)设F′为椭圆的右焦点，连接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝＝，则|PF′|＝＝8，由椭圆定义，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝2，所以b2＝16.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
∴可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
[答案]　(1)C　(2)＋＝1
[方法技巧]　待定系数法求椭圆方程的思路


1.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B　由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A　依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为，∴e＝＝ ＝，即＝，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1，故选A.
3.P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P点作PH⊥F1F2于点H，若PF1⊥PF2，则|PH|＝(　　)
A. B.
C．8 D.
解析：选D　由椭圆＋＝1得a2＝25，b2＝9，
则c＝＝＝4，
∴|F1F2|＝2c＝8.
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝82.
∴2|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)
＝100－64＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18.
又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|PH|，
∴|PH|＝＝.故选D.
突破点二　椭圆的几何性质


标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性 质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.(　　)
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(　　)
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空题
1．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
答案：
2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
答案：(0，±)
3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________．
答案：＋＝1


考法一　椭圆的离心率　
椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．
[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是(　　)
A．(0，－1) B．(－1,1)
C．(0，－1) D．(－1,1)
[解析]　(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.
(2)∵F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B，∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴＜1，整理得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2＋2e－1＞0，解得e＞－1或e＜－－1(舍去)，∵0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是(－1,1)，故选B.
[答案]　(1)D　(2)B
[方法技巧]
1．求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．

2．求椭圆离心率范围的2种方法
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系

考法二　与椭圆性质有关的最值范围问题　
[例2]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
[解析]　(1)当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
(2)由题意知a＝2，
因为e＝＝，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆方程为＋＝1.
设P点坐标为(x0，y0)．
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因为F(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
则当x0＝－2时，·取得最大值4.
[答案]　(1)A　(2)4
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
[提醒]　求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．　　

1.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)．∵·＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．∴椭圆的离心率为，故选D.
2.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的交点，若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是(　　)
A. B.
C. D.

解析：选C　设椭圆的长半轴长为a.由题意可知，|F1F2|＝|F1A|＝6，∵|F1A|－|F2A|＝2，∴|F2A|＝4，∴|F1A|＋|F2A|＝10，∴2a＝10，∴C2的离心率是＝.故选C.
3.已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：由点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，当P(x0，y0)与F1或F2重合时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．
答案：[2,2)
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m＜n＜0)的焦点坐标是(　　)
A．(0，±)　　　　　 　B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
解析：选C　化为标准方程是＋＝1，
∵m＜n＜0，∴0＜－n＜－m.
∴焦点在y轴上，且c＝＝.
2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
解析：选B　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
3．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵＝2，∴||＝2||.又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝.
5．(2019·长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C　由条件可知b＝c＝，a＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.
6．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c.
∴a－c≤2c≤a＋c.
∴e＝∈.

[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的(　　)
A．长轴长相等　　　　　　 　B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D　曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k＜9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为 .对照选项，知D正确．故选D.
2．(2019·德阳模拟)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)
A．24 B．12
C．8 D．6
解析：选C　∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8，故选C.
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.

4．(2019·贵阳摸底)P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选D.
5．(2019·长郡中学选拔考试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝a2，圆心D(a，0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为，将x＝代入圆D的方程得y＝±，不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程可得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c，所以椭圆C的离心率e＝＝.
6．(2019·沙市中学测试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C　由题意知双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为2，所以点(，)在椭圆上，所以＋＝1.①
又椭圆的离心率为，
所以＝，所以a2＝2b2.②
由①②得a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选C.
7．(2019·安阳模拟)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且·(＋)＝0(O为坐标原点)，若||＝||，则椭圆的离心率为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
解析：选A　以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由·(＋)＝0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴||＝ ||，∴△F1PF2是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|＝x，则|PF1|＝x，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得∴e＝＝＝－.故选A.
8．(2019·西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选A　∵椭圆的方程为＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，
∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，
设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，
根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，
∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.
9．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)
A．[0,3)　　　　　　　 　B．(0,2)
C．[2，3) D．(0,4]

解析：选B　如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.
∵·＝0，∴⊥.
又MP为∠F1PF2的平分线，
∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．
∵O为F1F2的中点，∴OM綊F2G.
∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，
∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
∵4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2，
∴||∈(0,2)．
10．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P在椭圆上且满足·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设P(x，y)，则＋＝1，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)．
所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2.
因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2.
所以b2－c2≤c2≤b2.
所以2c2≤a2≤3c2.
所以≤≤.故选B.
11．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e＝，则实数k的值是________．
解析：当k＞4 时，有e＝ ＝，解得k＝；
当0＜k＜4时，有e＝ ＝，解得k＝.
故实数k的值为或.
答案：或
12．(2019·湖北稳派教育联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________．
解析：∵c2－b2＋ac＜0，∴c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，∴2－1＋＜0，即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜.又∵0＜e＜1，∴0＜e＜.∴椭圆的离心率e的取值范围是.
答案：
13.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1.
答案：
14．(2019·辽宁联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
解析：在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，所以焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|)．
∵|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，
∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|－|PF2|)max＝＝5，此时得|PM|＋|PF1|的最大值，为10＋5＝15.
答案：15
15．(2019·武汉调研)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．
(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；
(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率．
解：(1)S△FAB＝|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝＝1，所以a＝.
(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，则＋y2＝1，＋y＝1，
kMA·kMB＝·＝＝＝＝－＝－，
所以a2＝3，所以a＝，所以c＝＝，
所以椭圆的离心率e＝＝＝.
16．(2019·广东七校联考)已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．
解：(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆．由c＝2，a＝2，得b＝2.故动点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，则k＞0或k＜－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)＝4.
当直线l的斜率不存在时，得A，B.所以k1＋k2＝4.
综上，恒有k1＋k2＝4.