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2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第十一章第四节 古典概型与几何概型
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第四节 古典概型与几何概型
[考纲要求]
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
4．了解几何概型的意义．
突破点一 古典概型
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝.
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( )
(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、填空题
1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________．
答案：
2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
答案：
3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
答案：
[典例] (2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
[解] (1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以事件M发生的概率P(M)＝.
1．求古典概型概率的步骤
(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．
2．求基本事件个数的三种方法
(1)列举法：把所有的基本事件一一列举出来，此方法适用于情况相对简单的试验题．
(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．
[针对训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为＝.故选C.
2．(2019·大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率．
(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解：(1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包括的基本事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36个等可能的结果，
故P(A)＝.
(2)这种游戏规则是公平的．
设甲赢为事件B，乙赢为事件C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个．
所以甲赢的概率P(B)＝＝，故乙赢的概率P(C)＝1－＝＝P(B)，
所以这种游戏规则是公平的．
突破点二 几何概型
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝.
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
二、填空题
1．已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．
答案：1－
2．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．
答案：1－
3．已知函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
答案：
考法一 与长度、角度有关的几何概型
[例1] (1)(2019·成都毕业班摸底)在区间[－4,1]上随机地取一个实数x，若x满足|x|＜a的概率为，则实数a的值为( )
A. B．1
C．2 D．3
(2)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)设集合A＝{x||x|＜a}＝(－a，a)(a＞0)，若0＜a≤1，则A⊆[－4,1]，由几何概型的意义，得P(A)＝＝，解得a＝2，不符合题意，若a＞1，则P(A)＝＝，解得a＝3，符合题意，故选D.
(2)记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.
[答案] (1)D (2)A
[方法技巧]
1．与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．
2．与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．
考法二 与面积有关的几何概型
[例2] (1)(2019·惠州调研)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )
A．866 B．500
C．300 D．134
(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)设勾为a，则股为a，所以弦为2a，小正方形的边长为a－a，所以题图中大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(－1)2a2，所以小正方形与大正方形的面积比为＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为× 1 000≈134.
(2)设正方形ABCD的边长为1，则可求得S总＝3，S阴影＝2×××1×＝1，所以所求概率为P＝，故选A.
[答案] (1)D (2)A
[方法技巧]
求解与面积有关的几何概型的关键点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
考法三 与体积有关的几何概型
[例3] (2019·陕西部分学校摸底)在球O内任取一点P，则点P在球O的内接正四面体中的概率是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设球O的半径为R，球O的内接正四面体的棱长为a，所以正四面体的高为a，所以R2＝2＋2，即a＝2R，所以正四面体的棱长为，底面面积为××R＝R2，高为，所以正四面体的体积为R3，又球O的体积为 R3，所以P点在球O的内接正四面体中的概率为，故选C.
[答案] C
[方法技巧]
求解与体积有关的几何概型的关键点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
1.已知函数f(x)＝sin x＋3cos x，当x∈[0，π]时，f(x)≥ 的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B f(x)＝sin x＋3cos x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，令f(x)≥ ，
得sin≥，得≤x＋≤，∴0≤x≤，
∴f(x)≥ 的概率为.
2.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝1－.
答案：1－
3.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．
解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则正三角形的面积为a2.
由正弦定理得2R＝，即R＝a.所以圆的面积S＝πR2＝πa2.
由几何概型的概率计算公式得概率P＝＝.
答案：
突破点三 概率与统计的综合问题
[典例] (2019·广西南宁毕业班摸底)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2018年某校社会实践小组对某小区参与广场舞的群众进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们的年龄分成6组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数；
(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任选2名，求这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率．
[解] (1)由题知，这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02＋0.03＋0.025)×10×40＝30.
(2)由频率分布直方图可知，年龄在[20,30)的有2人，分别记为a1，a2，年龄在[30,40)的有4人，分别记为b1，b2，b3，b4.现从这6人中任选2人，共有如下15种选法：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)．
其中恰有一人年龄在[30,40)的有8种，故这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率P＝.
[方法技巧]
破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”
[针对训练] (2019·贵阳摸底)某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名毕业生进行问卷调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图．
(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度；
(2)从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人，求有2女1男被抽中的概率．
解：(1)男生打分的平均分为×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69(分)．
由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散．
(2)由图可知打分在80分以上的有3女2男，记3名女生分别为A1，A2，A3,2名男生分别为B1，B2，从中随机抽取3人的基本事件为A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A3B1B2，共10个，记“有2女1男被抽中”为事件A，则A包含的基本事件为A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A2A3B1，A2A3B2，共6个，故有2女1男被抽中的概率为.
[课时跟踪检测]
1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P＝＝＝.故选B.
2．(2019·贵阳模拟)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 基本事件总数n＝34＝81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m＝CA＝36，故这三个项目都有人参加的概率为P＝＝＝.
3．(2019·广东五校联考)从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为＝，选C.
4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A. B.
C．1－ D．1－
解析：选D 直角三角形的斜边长为＝17，
设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.
∴内切圆的面积为πr2＝9π，
∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.
5．(2019·长春质检)如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设OA＝3，则AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，则∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为，又扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝.
6．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )
A．2－ B．4－
C．4－ D．4
解析：选B 设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24×＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为＝4－，故选B.
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.
8．(2019·安阳模拟)在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是( )
A．－π B．1－π
C． D．
解析：选B 如图，正△ABC的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，为半径，在△ABC内部画圆弧，得到三个扇形，则点P在这三个扇形外，因此所求概率为＝1－π，故选B.
9．(2019·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.
10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
解析：选A 法一：∵S△ABC＝AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为π·2＝AB2，以AC为直径的半圆的面积为π·2＝AC2，以BC为直径的半圆的面积为π·2＝ BC2，
∴SⅠ＝AB·AC，SⅢ＝BC2－AB·AC，
SⅡ＝－
＝AB·AC.
∴SⅠ＝SⅡ.
由几何概型概率公式得p1＝，p2＝，
∴p1＝p2.故选A.
法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，
AB＝AC＝2，则BC＝2，
所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，
为S1＝×2×2＝2，
区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，
区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2.
根据几何概型的概率计算公式，
得p1＝p2＝，p3＝，
所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.
11．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲＞乙的概率是________．
解析：设污损处的数字为m，由(84＋85＋87＋90＋m＋99)＝(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即当m＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m＝6,7,8,9时，甲＞乙，故所求概率为＝.
答案：
12．(2018·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．
解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P＝＝.
答案：
13．(2019·南京模拟)口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．
解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为＝.
答案：
14．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值．
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．
解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为＝，得n＝2.
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝＝.
②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为
Ω＝，
由几何概型得概率为P＝＝1－.
15．(2019·昆明适应性检测)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；
(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在同一个组的概率．
解：(1)由频率分布直方图可知，
周末阅读时间在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4，
4．5]的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，
由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a.解得a＝0.30.
(2)设中位数为m h.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5.
由0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.
故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为2.06 h.
(3)由题意得周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的学生分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，分别记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，共有AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21种，抽取的2人在同一组的有AB，AC，BC，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共9种，故所求概率P＝＝.
[考纲要求]
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
4．了解几何概型的意义．
突破点一 古典概型
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝.
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( )
(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、填空题
1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________．
答案：
2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
答案：
3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
答案：
[典例] (2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
[解] (1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以事件M发生的概率P(M)＝.
1．求古典概型概率的步骤
(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．
2．求基本事件个数的三种方法
(1)列举法：把所有的基本事件一一列举出来，此方法适用于情况相对简单的试验题．
(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．
[针对训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为＝.故选C.
2．(2019·大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率．
(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解：(1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包括的基本事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36个等可能的结果，
故P(A)＝.
(2)这种游戏规则是公平的．
设甲赢为事件B，乙赢为事件C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个．
所以甲赢的概率P(B)＝＝，故乙赢的概率P(C)＝1－＝＝P(B)，
所以这种游戏规则是公平的．
突破点二 几何概型
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝.
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
二、填空题
1．已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．
答案：1－
2．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．
答案：1－
3．已知函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
答案：
考法一 与长度、角度有关的几何概型
[例1] (1)(2019·成都毕业班摸底)在区间[－4,1]上随机地取一个实数x，若x满足|x|＜a的概率为，则实数a的值为( )
A. B．1
C．2 D．3
(2)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)设集合A＝{x||x|＜a}＝(－a，a)(a＞0)，若0＜a≤1，则A⊆[－4,1]，由几何概型的意义，得P(A)＝＝，解得a＝2，不符合题意，若a＞1，则P(A)＝＝，解得a＝3，符合题意，故选D.
(2)记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.
[答案] (1)D (2)A
[方法技巧]
1．与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．
2．与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．
考法二 与面积有关的几何概型
[例2] (1)(2019·惠州调研)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )
A．866 B．500
C．300 D．134
(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)设勾为a，则股为a，所以弦为2a，小正方形的边长为a－a，所以题图中大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(－1)2a2，所以小正方形与大正方形的面积比为＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为× 1 000≈134.
(2)设正方形ABCD的边长为1，则可求得S总＝3，S阴影＝2×××1×＝1，所以所求概率为P＝，故选A.
[答案] (1)D (2)A
[方法技巧]
求解与面积有关的几何概型的关键点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
考法三 与体积有关的几何概型
[例3] (2019·陕西部分学校摸底)在球O内任取一点P，则点P在球O的内接正四面体中的概率是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设球O的半径为R，球O的内接正四面体的棱长为a，所以正四面体的高为a，所以R2＝2＋2，即a＝2R，所以正四面体的棱长为，底面面积为××R＝R2，高为，所以正四面体的体积为R3，又球O的体积为 R3，所以P点在球O的内接正四面体中的概率为，故选C.
[答案] C
[方法技巧]
求解与体积有关的几何概型的关键点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
1.已知函数f(x)＝sin x＋3cos x，当x∈[0，π]时，f(x)≥ 的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B f(x)＝sin x＋3cos x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，令f(x)≥ ，
得sin≥，得≤x＋≤，∴0≤x≤，
∴f(x)≥ 的概率为.
2.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝1－.
答案：1－
3.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．
解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则正三角形的面积为a2.
由正弦定理得2R＝，即R＝a.所以圆的面积S＝πR2＝πa2.
由几何概型的概率计算公式得概率P＝＝.
答案：
突破点三 概率与统计的综合问题
[典例] (2019·广西南宁毕业班摸底)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2018年某校社会实践小组对某小区参与广场舞的群众进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们的年龄分成6组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数；
(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任选2名，求这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率．
[解] (1)由题知，这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02＋0.03＋0.025)×10×40＝30.
(2)由频率分布直方图可知，年龄在[20,30)的有2人，分别记为a1，a2，年龄在[30,40)的有4人，分别记为b1，b2，b3，b4.现从这6人中任选2人，共有如下15种选法：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)．
其中恰有一人年龄在[30,40)的有8种，故这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率P＝.
[方法技巧]
破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”
[针对训练] (2019·贵阳摸底)某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名毕业生进行问卷调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图．
(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度；
(2)从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人，求有2女1男被抽中的概率．
解：(1)男生打分的平均分为×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69(分)．
由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散．
(2)由图可知打分在80分以上的有3女2男，记3名女生分别为A1，A2，A3,2名男生分别为B1，B2，从中随机抽取3人的基本事件为A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A3B1B2，共10个，记“有2女1男被抽中”为事件A，则A包含的基本事件为A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A2A3B1，A2A3B2，共6个，故有2女1男被抽中的概率为.
[课时跟踪检测]
1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P＝＝＝.故选B.
2．(2019·贵阳模拟)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 基本事件总数n＝34＝81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m＝CA＝36，故这三个项目都有人参加的概率为P＝＝＝.
3．(2019·广东五校联考)从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为＝，选C.
4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A. B.
C．1－ D．1－
解析：选D 直角三角形的斜边长为＝17，
设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.
∴内切圆的面积为πr2＝9π，
∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.
5．(2019·长春质检)如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设OA＝3，则AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，则∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为，又扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝.
6．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )
A．2－ B．4－
C．4－ D．4
解析：选B 设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24×＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为＝4－，故选B.
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.
8．(2019·安阳模拟)在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是( )
A．－π B．1－π
C． D．
解析：选B 如图，正△ABC的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，为半径，在△ABC内部画圆弧，得到三个扇形，则点P在这三个扇形外，因此所求概率为＝1－π，故选B.
9．(2019·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.
10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
解析：选A 法一：∵S△ABC＝AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为π·2＝AB2，以AC为直径的半圆的面积为π·2＝AC2，以BC为直径的半圆的面积为π·2＝ BC2，
∴SⅠ＝AB·AC，SⅢ＝BC2－AB·AC，
SⅡ＝－
＝AB·AC.
∴SⅠ＝SⅡ.
由几何概型概率公式得p1＝，p2＝，
∴p1＝p2.故选A.
法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，
AB＝AC＝2，则BC＝2，
所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，
为S1＝×2×2＝2，
区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，
区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2.
根据几何概型的概率计算公式，
得p1＝p2＝，p3＝，
所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.
11．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲＞乙的概率是________．
解析：设污损处的数字为m，由(84＋85＋87＋90＋m＋99)＝(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即当m＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m＝6,7,8,9时，甲＞乙，故所求概率为＝.
答案：
12．(2018·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．
解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P＝＝.
答案：
13．(2019·南京模拟)口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．
解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为＝.
答案：
14．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值．
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．
解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为＝，得n＝2.
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝＝.
②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为
Ω＝，
由几何概型得概率为P＝＝1－.
15．(2019·昆明适应性检测)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；
(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在同一个组的概率．
解：(1)由频率分布直方图可知，
周末阅读时间在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4，
4．5]的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，
由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a.解得a＝0.30.
(2)设中位数为m h.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5.
由0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.
故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为2.06 h.
(3)由题意得周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的学生分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，分别记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，共有AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21种，抽取的2人在同一组的有AB，AC，BC，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共9种，故所求概率P＝＝.
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