2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第八章立体几何与空间向量8.2

§8.2　空间几何体的表面积与体积
最新考纲
考情考向分析
会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.
本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.



1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l

3.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

概念方法微思考
1．如何求旋转体的表面积？
提示　求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．
2．如何求不规则几何体的体积？
提示　求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　√　)
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　√　)
(3)锥体的体积等于底面积与高之积．(　×　)
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　√　)
(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　×　)
题组二　教材改编
2．[P27练习T1]已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
答案　B
解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2.
3．[P28A组T3]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．

答案　1∶47
解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.
题组三　易错自纠
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4
答案　D
解析　由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.

5．(2018·浙江省杭州名校协作体月考)三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，，1，则该三棱锥的外接球的表面积是(　　)
A．24π B．18π C．10π D．6π
答案　D
解析　由题意得，外接球的直径是2R＝＝，
所以表面积为4πR2＝π()2＝6π.
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

答案　π
解析　由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2－π×22×2＝π.

题型一　求空间几何体的表面积
1．(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π B．12π C．8π D．10π
答案　B
解析　设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.
2．(2018·浙江省“七彩阳光”联盟联考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为(　　)

A．8＋4 B．6＋＋2
C．6＋4 D．6＋2＋2
答案　A
解析　由三视图知该四棱锥是如图所示的棱长为2的正方体中的四棱锥P—BCDE，其表面积为2×2＋2××2×2＋2××2×2＝8＋4.故选A.

3．(2018·浙江省嘉兴一中联考)一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
答案　B
解析　设圆锥底面半径是r，母线长为l，
所以πr2＋πrl＝π，即r2＋rl＝1，根据圆心角公式π＝，
即l＝3r，解得r＝，l＝，所以h＝＝.
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

题型二　求空间几何体的体积


命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积
例1 (2018·浙江省杭州市七校联考)已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为(　　)

A．64 B. C. D．128
答案　B
解析　由三视图知该几何体是一个三棱锥，其直观图如图所示，高为4，底面三角形一边长为8，对应的高为4，则此三棱锥的体积V＝××8×4×4＝，故选B.

命题点2　求简单几何体的体积
例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)

A．3 B.
C．1 D.
答案　C
解析　如题图，因为△ABC是正三角形，
且D为BC中点，则AD⊥BC.
又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD是三棱锥A－B1DC1的高．
所以
＝××＝1.
思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)直接利用公式进行求解．
(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图．
跟踪训练1 (1)(2018·嘉兴模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(　　)

A．5 000 立方尺 B．5 500 立方尺
C．6 000 立方尺 D．6 500 立方尺
答案　A
解析　(分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.
取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5(立方丈)＝
5 000(立方尺)．

(2)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________．

答案　
解析　
题型三　与球有关的切、接问题
例3 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B．2 C. D．3
答案　C
解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，

则垂足为BC的中点M.
又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA＝＝.




引申探究
1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，
从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，
V内切球＝πr3＝π×23＝.
2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解　正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×·a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.
3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？
解　依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华 “切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理
首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心．
(2)“接”的处理
抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
跟踪训练2 (1)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为(　　)

A．34π B．25π C．41π D．50π
答案　A
解析　根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4,3,3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有R＝＝，从而求得其表面积为S＝4πR2＝34π，故选A.
(2)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　)
A．12 B．18 C．24 D．54
答案　B
解析　由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，
所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.
所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.


1．(2018·湖州模拟)一个棱锥的三视图如图(单位：cm)，则该棱锥的表面积是(　　)

A．4＋2 cm2 B．4＋6 cm2
C. cm2 D．2＋2 cm2
答案　A
解析　由三视图得该几何体是底面为底为2，高为2的等腰三角形，高为2的三棱锥，且三棱锥的顶点在底面的投影为底面等腰三角形的底边的中点，则其表面积为×2×2＋2××2×＋×2×2＝4＋2(cm2)，故选A.
2．(2018·浙江金华十校调研)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是(　　)

A．16π B．14π C．12π D．8π
答案　A
解析　根据给定的三视图可知该几何体为个球体，其半径为2，因此该几何体的表面积为S＝×4π×22＋π×22＝16π，故选A.
3．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　V＝πr2h＝π×2h＝l2h，由≈，得π≈，故选C.
4．(2018·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8
答案　C
解析　由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2，
∴该几何体的体积为V＝2×＝6.
故选C.
5．(2018·浙江考前热身联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)

A. B. C．2 D．4
答案　B
解析　构造棱长为2的正方体如图所示，由三视图知该几何体是图中的四棱锥P—ABCD，其中B，D分别为棱的中点，则其体积V＝××2＝.故选B.

6．(2018·浙江省联盟校联考)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．3π B. C. D．6π
答案　B
解析　由三视图还原直观图知，该几何体为底面半径为1，高为的圆锥挖去一个球心为圆锥底面圆的圆心且与圆锥相切的半球，易知圆锥的母线长为2，则圆锥的轴截面为边长为2的等边三角形，球的半径为，故该几何体的表面积为π×1×2＋×4π×2＋π×12－π×2＝，故选B.
7．(2018·浙江名校联盟联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)

A．8－2π B．8－π
C．8－ D．8－
答案　A
解析　由三视图可知该几何体为一个正方体截去两个圆柱，正方体的体积为2×2×2＝8，截去的圆柱的底面半径为，高为2，两个圆柱的体积为×[π×()2×2]×2＝2π，故该几何体的体积为8－2π，故选A.
8．(2018·浙江省十校联盟高考适应性考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，侧面积等于________．

答案　4　3＋＋5
解析　如图，构造底面边长为3和2，高为2的长方体，由三视图可知该空间几何体为底面边长为3和2，高为2的四棱锥S—ABCD，其中平面SCD⊥底面ABCD，所以该几何体的体积V＝×3×2×2＝4，侧面积为4个三角形的面积之和，所以侧面积S＝×2×3＋×2×2＋×2×＋×3×2＝3＋＋5.


9．(2019·绍兴质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为______________．

答案　＋
解析　由三视图可知，该几何体由四分之一个底面半径为1、高为1的圆锥与一个底面为长方形，高为1的四棱锥组成，如图所示．

∴该几何体的体积V＝××π×12×1＋×1×2×1＝＋.
10．长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
答案　14π
解析　∵长方体的顶点都在球O的球面上，
∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．
设球的半径为R，则2R＝＝.
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝14π.
11．从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的多面体，其三视图如图，则该几何体的体积为________，表面积为______________．

答案　9　＋9
解析　由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥P—ABCD，因此，其体积V＝3×3×3－×3×3×3－××3×3×3＝9；表面积S＝3××3×3＋3×3＋×(3)2
＝＋＋9.

12．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．

解　方法一　如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．

则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．
由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.
四棱锥D－MNEF的体积为
V2＝×S梯形MNEF×DN
＝××(1＋2)×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
方法二　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，

所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.





13．(2019·宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球的体积为________．

答案　4＋＋　π
解析　由三视图得该几何体为一个底面是底为2，高为1的等腰三角形，高为2的三棱锥，且该三棱锥的顶点在底面的投影为底面等腰三角形的顶点，则该三棱锥的表面积为2××2×2＋×1×2＋××2＝4＋＋.三棱锥的底面所在的截面圆的半径为＝2，则三棱锥的外接球的半径为＝，则该三棱锥的外接球的体积为π×()3＝π.
14．(2018·温州模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________ cm3，表面积是____________ cm2.

答案　1　＋
解析　如图，在长方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P—ABCD，所以该四棱锥的体积V＝S梯形ABCD×PD＝××(1＋2)×1×2＝1.

因为PB2＝PA2＋AB2＝12＋22＋12＝6，BC2＝2，PC2＝PD2＋CD2＝22＋22＝8，所以PC2＝PB2＋BC2，所以PB⊥BC，所以S△PBC＝×PB×BC＝××＝，S梯形ABCD＝×(1＋2)×1＝，
S△PAD＝×PD×AD＝×2×1＝1，
S△PCD＝×PD×CD＝×2×2＝2，
S△PAB＝×PA×AB＝××1＝，
所以四棱锥P—ABCD的表面积
S＝＋＋1＋2＋＝＋.

15．(2018·浙江省联盟校联考)已知矩形ABCD的周长为20，当矩形ABCD的面积最大时，沿对角线AC将△ACD折起，且二面角B—AC—D的大小为θ，则折叠后形成的四面体ABCD的外接球的体积为(　　)
A.π B．100π
C.π D．与θ的大小有关
答案　A
解析　设矩形ABCD的长、宽分别为x，y，则2x＋2y＝20≥2，所以xy≤50，当且仅当x＝y＝5时取等号，即当矩形ABCD为边长为5的正方形时，矩形ABCD的面积最大．由于正方形ABCD的外接圆的圆心即AC的中点，它到各个顶点的距离相等，所以沿对角线AC折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心为AC的中点，故外接球的半径r＝5，外接球的体积V＝πr3＝π，故选A.
16．(2016·浙江)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P—BCD的体积的最大值是________．

答案　
解析　设PD＝DA＝x,0 在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝
＝＝2，
∴CD＝2－x，且∠ACB＝(180°－120°)＝30°，
∴S△BCD＝BC·DC·sin∠ACB
＝×2×(2－x)×＝(2－x)．

在△ABD中，由余弦定理得，
BD2＝AD2＋AB2－2AB·AD·cos∠DAB＝x2－2x＋4，
∴BD＝，
在△PBD中，由余弦定理得，
cos∠BPD＝，∴∠BPD＝30°，
过P作直线BD的垂线，垂足为O，设PO＝d，
则S△PBD＝BD·d＝PD·PB·sin∠BPD，
则·d＝x·2·sin 30°，
∴d＝，
设PO与平面ABC所成角为θ，则点P到平面ABC的距离h＝d·sin θ，
∴V四面体P－BCD＝·S△BCD·h＝S△BCD·d·sin θ≤S△BCD·d
＝×(2－x)·
＝·.
设t＝＝，
又0 则|x－|＝.
(1)当0 ∴V四面体P－BCD＝·
＝·＝，
易知函数f(t)＝在[1,2)上单调递减，又f(1)＝，
∴当0 (2)当≤x<2时，1≤t<2，|x－|＝x－＝，
∴x＝＋，
∴V四面体P－BCD＝·
＝·＝，
由(1)知，当≤x<2时，V四面体P－BCD的最大值为，此时，x＝.
综上，当x＝时，四面体P－BCD的体积取最大值.