2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第九章第三节圆与方程

第三节圆与方程



1．圆的定义及方程


定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)
圆心：，半径：
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[小题体验]
1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是________．
解析：将圆的一般方程化成标准方程，得(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，即＞，所以原点在圆外．
答案：原点在圆外
2．圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．
解析：设圆心C的坐标为(a，b)，
则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．
半径r＝AB＝＝.
所以圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.
答案：x2＋(y－3)2＝2
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.
即a2＜1，故－1＜a＜1.
答案：(－1,1)

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．

[小题纠偏]
若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是________．
解析：由题意可知解得0＜m＜.
答案：

　
[题组练透]
1．(2019·东台中学检测)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________．
解析：设圆心坐标为(a,0)，则＝，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
2．(2018·徐州模拟)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为____________．
解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
3．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的标准方程为____________．
解析：因为AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)，
所以A(0,2)，B(2,0)，AB＝＝2.
所以点A，B的中点为(1,1)，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
4．(2019·盐城中学测试) 圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)．
(1)若圆的面积最小，求圆的方程；
(2)若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
解：(1)要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，
所以圆心为(0，－4)，半径r＝AB＝，
所以所求圆的方程为x2＋(y＋4)2＝5.
(2)因为kAB＝，AB的中点为(0，－4)，
所以直线AB的中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，
解方程组得
所以圆心为(－1，－2)．
根据两点间的距离公式得半径r＝，
因此所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
[谨记通法]
1．求圆的方程的2种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的3种方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
　
[锁定考向]
与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．
常见的命题角度有：
(1)斜率型最值问题；
(2)截距型最值问题；
(3)距离型最值问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：斜率型最值问题
1．(2019·涞水月考)已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求的最大值与最小值．
解：方程(x－3)2＋(y－3)2＝6表示以(3,3)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，解得k＝3±2.
所以的最大值为3＋2，最小值为3－2.
角度二：截距型最值问题
2．(2018·东海高级中学测试)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则2x－y的最大值为________．
解析：令b＝2x－y，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．
由＝1，解得b＝5±，所以2x－y的最大值为5＋.
答案：5＋
3．(2019·启东模拟)已知非负实数x，y满足x≠y，且≤4，则S＝y－2x的最小值是________．
解析：由≤4，得x2＋y2≤4(x＋y)，移项配方得(x－2)2＋(y－2)2≤8，此不等式表示以C(2,2)为圆心，以2为半径的圆及其内部在第一象限与x轴、y轴正半轴的部分(除去y＝x)．将S＝y－2x变形为y＝2x＋S，当直线l：y＝2x＋S与圆相切于第一象限时，S取得最小值，由圆的切线性质，圆心C(2,2)到l的距离等于半径长，即＝2，解得S＝－2－2(S＝－2＋2舍去)．故S＝y－2x的最小值是－2－2.
答案：－2－2
角度三：距离型最值问题
4．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．

解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
[通法在握]
与圆有关的最值问题的3种常见转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
[演练冲关]
1．(2019·淮安检测)已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2的最小值为________．
解析：x2＋y2－4x－6y＋12＝0可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1，则圆心坐标为(2,3)，圆的半径r＝1.
因为x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在圆心与原点连线与圆的两个交点处取得最值，又圆心到原点的距离为＝，所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝14－2.
答案：14－2
2．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0)．若动点C满足AC＝BC，则△ABC的面积的最大值是________．
解析：设C(x，y)，则(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，化简得(x－3)2＋y2＝8.其中y≠0，从而S△ABC＝×2×|y|≤2，即△ABC的面积的最大值是2.
答案：2
　
[典例引领]
(2018·扬州调研)设△ABC顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．
解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
因为圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，
所以解得
所以圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.
(2)因为圆M的方程可化为(x2＋y2＋3y)－(3＋y)a＝0.
由解得x＝0，y＝－3.所以圆M过定点(0，－3)．
[由题悟法]
圆的方程是一个二元二次方程，所以有时候我们可从函数和方程的角度对其相关问题进行分析，也可利用方程中x，y的取值范围来确定有关函数的值或范围．
[即时应用]
　已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的取值范围．
解：(1)设圆心C(a，b)，则解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
令x＝cos θ，y＝sin θ，
所以·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的取值范围为[－4,0]．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若圆的半径为3，圆心与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆的标准方程为________．
答案：x2＋y2＝9
2．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆O：x2＋y2＋2x＝0上任意一点，点Q(2a，a＋3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．
解析：圆O：x2＋y2＋2x＝0，即 (x＋1)2＋y2 ＝1，表示以(－1，0)为圆心、半径为1的圆，则点Q(2a，a＋3)到圆心(－1，0)的距离d＝＝＝，所以当a＝－1时，d取得最小值为，故线段PQ长度的最小值为－1.
答案：－1
3．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为________．
解析：由半径r＝＝＝2得，＝2.
所以点(a，b)到原点的距离d＝＝2.
答案：2
4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
解析：根据题意得点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，
又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
5．(2019·兴化月考)经过点(2,0)且圆心是直线x＝2与直线x＋y＝4的交点的圆的标准方程为________．
解析：由得即两直线的交点坐标为(2,2)，则圆心坐标为(2,2)．又点(2,0)在圆上，所以半径r＝2，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝4
6．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线 x＝－3上的动点，则PQ的最小值为________．
解析：如图所示，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为MQ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
答案：4
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1．(2019·无锡调研)设两条直线x＋y－2＝0,3x－y－2＝0的交点为M，若点M在圆 (x－m)2＋y2＝5内，则实数m的取值范围为________．
解析：联立解得则M(1,1)，
由交点M在圆(x－m)2＋y2＝5的内部，可得(1－m)2＋1＜5，解得－1＜m＜3.
故实数m的取值范围为(－1,3)．
答案：(－1,3)
2．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．
解析：设＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．过两点连线的直线方程为kx－y＋1－2k＝0，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值，
由＝1，解得k＝±.
答案：，－
3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________________．
解析：由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
4．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，－1)的圆C和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________________．
解析：根据题意，设圆C的圆心为(m，－2m)，半径为r，
则解得m＝1，r＝，
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝2
5．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m＝________.
解析：因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.
答案：－1
6．在平面直角坐标系xOy内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
7．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意可知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝.
答案：
8．(2018·滨海中学检测)已知点P(0,2)为圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝2a2外一点，若圆C上存在点Q，使得∠CPQ＝30°，则正数a的取值范围是________．
解析：由圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，得圆心为C(a，a)，半径r＝a，
∴CP＝，
设过P的一条切线与圆的切点是T，
则CT＝a，当Q为切点时，∠CPQ最大．
∵圆C上存在点Q使得∠CPQ＝30°，
∴≥sin 30°，即≥，
整理可得3a2＋2a－2≥0，解得a≥或a≤(舍去)．又点 P(0,2)为圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝2a2外一点，∴a2＋(2－a)2＞2a2，解得a＜1.
故正数a的取值范围是.
答案：
9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径CD＝4，
所以PA＝2，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值．
解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝≤2，
解上式得，16－2≤t≤16＋2，
所以所求的最大值为16＋2.
(2)记点Q(－2,3)，
因为表示直线MQ的斜率k，
所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得≤2.
可得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－.
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1．(2019·宁海中学模拟)如果直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)和函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，那么的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝mx＋1＋1的图象恒过点(－1,2)，
代入直线2ax－by＋14＝0，可得－2a－2b＋14＝0，即a＋b＝7.∵定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，∴a2＋b2≤25.设＝t，则b＝at，代入a＋b＝7，可得a＝，b＝，代入a2＋b2≤25，可得×2≤25，∴12t2－25t＋12≤0，∴≤t≤.故的取值范围是.
答案：
2．(2018·启东中学检测)已知点A(0,2)为圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆M上存在点T，使得∠MAT＝45°，则实数a的取值范围是________．
解析：圆M的方程可化为(x－a)2＋(y－a)2＝2a2.
圆心为M(a，a)，半径为a.
当A，M，T三点共线时，∠MAT＝0°最小，
当AT与圆M相切时，∠MAT最大．
圆M上存在点T，使得∠MAT＝45°，
只需要当∠MAT最大时，满足45°≤∠MAT＜90°即可．
MA＝＝，
此时直线AT与圆M相切，
所以sin∠MAT＝＝.
因为45°≤∠MAT＜90°，所以≤sin∠MAT＜1，
所以≤＜1，
解得－1≤a＜1.
答案：[－1,1)
3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙EA，FD高为2 m，弧顶高MN为5 m.
(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
解：(1)以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1 m为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系．则E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)．
由于所求圆的圆心在y轴上，
所以设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
因为F(3，0)，M(0,3)都在圆上，
所以
解得b＝－3，r2＝36.
所以圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.
(2)设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于点P，
则CP＝h＋0.5.
将点P的横坐标x＝代入圆的方程，得11＋(y＋3)2＝36，解得y＝2或y＝－8(舍去)．
所以h＝CP－0.5＝(y＋DF)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．
答：车辆的限制高度为3.5 m.