2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第十章第二节复数

第二节复__数

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量 .

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[小题体验]

1．(2019·徐州调研)若复数z满足i·z＝1＋2i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．

解析：由i·z＝1＋2i，得z＝＝＝2－i，

∴|z|＝.

答案：

2．若复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为________．

解析：因为z＝＝＝1＋2i，所以＝1－2i.

答案：1－2i

3．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．

答案：3＋5i

1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．

2．两个虚数不能比较大小．

3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2＜0在复数范围内有可能成立．

[小题纠偏]

1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________.

解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，

因此4－a＝0，a＝4.

答案：4

2．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．

解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2.

答案：2

[题组练透]

1．(2018·扬州期末)已知i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数是________．

解析：∵z＝＝＝－i，

∴＝＋i.

答案：＋i

2．(2019·盐城模拟)设复数z＝(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为________．

解析：法一：复数z＝＝＝＋i为纯虚数，

则＝0，≠0，故a＝－1.

法二：设z＝＝bi，b∈R，b≠0，则a＋i＝bi(1＋i)＝－b＋bi，

故得a＝－1.

答案：－1

3．(易错题)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________.

解析：依题意得(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，

则|(1－z)·|＝|－3＋i|＝＝.

答案：

4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.

解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.

设z2＝a＋2i，a∈R，

则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.

因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.

答案：4＋2i

[谨记通法]

求解与复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．

[题组练透]

1．(2019·淮安模拟)复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为________．

解析：z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限．

答案：第一象限

2．在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为________．

解析：因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.

答案：1－i

3．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．

解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，

所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，

又此点在第二象限，所以解得a＜－1.

答案：(－∞，－1)

4．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．

解析：因为|z－2|＝＝，

所以(x－2)2＋y2＝3.

由图可知max＝＝.

答案：

[谨记通法]

对复数几何意义的理解及应用

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

[题组练透]

1．(2019·赣榆检测)复数z满足(1＋i)z＝|2i|(i为虚数单位)，则z＝________.

解析：由(1＋i)z＝|2i|，得z＝＝＝1－i.

答案：1－i

2．(2018·苏州测试)已知＝3＋i(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝________.

解析：因为＝3＋i，所以a＋bi＝(3＋i)(2－i)＝7－i，

所以a＝7，b＝－1，所以a＋b＝6.

答案：6

3．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.

解析：因为z＝＝＝＝＝＝－＋i，

故＝－－i，

所以z·＝

＝＋＝.

答案：

4．(2018·江苏信息卷)已知复数z＝(b∈R)的实部和虚部相等，则z2 018＝________.

解析：复数z＝＝－b－i，因为复数的实部和虚部相等，

所以b＝1，所以z2 018＝(－1－i)2 018＝(2i)1 009＝21 009i.

答案：21 009i

[谨记通法]

复数代数形式运算问题的解题策略

(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

[提醒]　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．

(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，

i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

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1．若z＝3－2i，则＝________.

解析：由z＝3－2i，得＝3＋2i.

则＝＝＝＋i.

答案：＋i

2．(2018·淮安调研)复数z＝i(1－2i)(i是虚数单位)的实部为________．

解析：因为z＝i(1－2i)＝2＋i，所以复数z的实部为2.

答案：2

3．(2018·泰州中学高三学情调研)已知复数z＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i是虚数单位)是实数，则a＝________.

解析：因为z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，所以a－1＝0，所以a＝1.

答案：1

4．(2019·徐州调研)已知(1＋3i)(a＋bi)＝10i，其中i为虚数单位，a，b∈R，则ab的值为________．

解析：∵(1＋3i)(a＋bi)＝10i，

∴a－3b＋(3a＋b－10)i＝0，∴a－3b＝3a＋b－10＝0，

解得a＝3，b＝1，则ab＝3.

答案：3

5．(2018·苏州一调)若复数(a＋i)2对应的点在y轴的负半轴上(其中i是虚数单位)，则实数a的值是________．

解析：因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，

由条件得从而a＝－1.

答案：－1

6．已知复数z满足(1＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________．

解析：因为(1＋i)z＝i，所以z＝＝＝，所以z的实部为.

答案：

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1．(2018·南京名校联考)若i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝1，则|2z－3|＝________.

解析：由(1－i)z＝1得z＝＝，则|2z－3|＝|－2＋i|＝.

答案：

2．(2019·常熟高三学情调研)已知i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数对应的点位于第________象限．

解析：∵z＝＝＝1＋i，

∴＝1－i.

则对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．

答案：四

3．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在第________象限．

解析：由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝＝－－i，所以＝－＋i，其在复平面内对应的点在第二象限．

答案：二

4．(2019·金陵中学检测)若z＝，则z100＋z50＋1的值是________．

解析：∵z＝，

∴z2＝2＝－i.

又∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，

∴z100＋z50＋1＝i50－i25＋1＝－i.

答案：－i

5．若复数z满足(z－1)i＝－1＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模是________．

解析：因为z＝1＋＝2＋i，所以|z|＝＝.

答案：

6．已知复数z满足：(1－i)z＝4＋2i(i为虚数单位)，则z的虚部为________．

解析：由(1－i)z＝4＋2i，得

z＝＝＝1＋3i，

∴z的虚部为3.

答案：3

7．已知复数z满足＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________.

解析：由＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝，所以|z|＝＝＝2.

答案：2

8．(2019·苏州一模)已知i是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．

解析：∵＝＝＋i的实部与虚部互为相反数，∴＋＝0，即a＝－3.

答案：－3

9．(2018·常州期末)已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.

解析：因为(x－i)2＝x2－2xi＋i2＝x2－1＋2xi为纯虚数，

所以解得x＝1.

答案：1

10．(2018·南京、盐城二模)若复数z满足z(1－i)＝2i(i是虚数单位)，是z的共轭复数，则z·＝________.

解析：因为z·＝|z|2，且|z|＝＝＝，所以z·＝2.

答案：2

11．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．

解：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，

＝(1，－1)，

根据＝λ＋μ得

(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

所以

解得

所以λ＋μ＝1.

12．计算：(1)；

(2)；

(3)＋；

(4).

解：(1)＝＝－1－3i.

(2)＝＝＝＝＋i.

(3)＋＝＋＝＋＝－1.

(4)＝＝＝＝－－i.

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1．(2018·扬州期末)若复数(a－2i)(1＋3i)是纯虚数，则实数a的值为________．

解析：∵(a－2i)(1＋3i)＝(a＋6)＋(3a－2)i是纯虚数，

∴即a＝－6.

答案：－6

2．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________.

解析：z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋  (sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝＋i.

答案：＋i

3．(2019·淮安调研)已知复数z＝1－2i(i为虚数单位)．

(1)若z·z0＝2z＋z0，求复数z0的共轭复数；

(2)若z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，求实数m的值．

解：(1)∵复数z＝1－2i，z·z0＝2z＋z0，

∴z0(z－1)＝2z，

∴z0＝＝＝2＋i，

∴复数z0的共轭复数 ＝2－i.

(2)∵复数z＝1－2i是关于 x 的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，

∴(1－2i)2－(1－2i)m＋5＝0，

整理，得2－m＋(2m－4)i＝0，

解得m＝2.