2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第十一章第二节随机事件及其概率

第二节随机事件及其概率


1．事件的相关概念

2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为.
(3)不可能事件的概率为.
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
[小题体验]
1．同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件有________个．
解析：由题意知，事件A包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个.
答案：6
2．如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是，取到方块的概率是，则取到黑色牌的概率是________．
答案：
3．一袋中装有10个大小、形状完全相同的黑球、红球和白球，其中有3个黑球，若从中随机摸出1个球，摸出红球的概率为0.2，则摸出白球的概率为________．
解析：法一：设袋中红球的个数为x，则＝0.2，所以x＝2.又黑球共有3个，所以白球有5个，所以摸出白球的概率P＝＝0.5.
法二：由题意得，随机摸出1个球，摸出黑球的概率为0.3.由对立事件的概率计算公式可得，摸出白球的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.
答案：0.5

1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
[小题纠偏]
1．某地气象局预报说，明天本地降雨概率为80%，则下列解释正确的是________(填序号)．
①明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨；
②明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨；
③明天本地降雨的可能性是80%；
④以上说法均不正确．
解析：①②显然不正确．因为80%的概率是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的可能性是80%.
答案：③
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________．
解析：由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过175 cm的概率为1－(0.2＋0.5)＝0.3.
答案：0.3

　
[题组练透]
1．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件．
①恰有1件次品和恰有2件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少有1件次品和全是正品．
以上各组事件中是互斥事件的序号是________．
解析：①④中的两事件互斥，②③中的两事件不互斥．
答案：①④
2．已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，有下面4个命题：
①“若x∈A，则x∈B”是必然事件；
②“若x∉A，则x∈B”是不可能事件；
③“若x∈B，则x∈A”是随机事件；
④“若x∉B，则x∉A”是必然事件．
其中正确的命题有________(填序号)．
解析：由真子集的定义可知①③④是正确的命题．
答案：①③④
3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
答案：A与B，A与C，B与C，B与D　B与D
[谨记通法]
判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
　
[题组练透]
1．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温(℃)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
频数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为________．
解析：当且仅当最高气温低于25 ℃时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
答案：0.6
2．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环次数m
8
19
44
92
178
452
击中10环频率







(1)计算表中击中10环的各个频率；
(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
解：(1)由f＝，得击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.904.
(2)由(1)知运动员击中10环的频率在0.9附近浮动，故这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.
[谨记通法]
1．频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
[提醒]　概率的定义是求一个事件概率的基本方法．

[典例引领]
　(2018·苏州期末)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．
解析：设“目标受损但未完全击毁”为事件A，则其对立事件是“目标未受损或击毁目标”，所以P(A)＝1－P()＝1－(0.4＋0.2)＝0.4.
答案：0.4
[由题悟法]
求复杂互斥事件概率的2种方法
(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法较简便．
[提醒]　应用互斥事件概率的加法公式，一定注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．
[即时应用]
1．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
答案：
2．(2018·南京、盐城一模)某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．
解析：设“甲、乙不在同一兴趣小组”为事件A，则“甲、乙在同一兴趣小组”为事件.因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.
答案：

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·丹阳检测)已知随机事件A发生的频率为0.02，事件A出现了1 000次，由此可推知共进行了________次试验．
答案：50 000
2．(2018·常熟期中)甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．
解析：敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，
设A表示“甲击中”，B表示“乙击中”，
由已知得P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，
∴敌机被击中的概率P＝1－P()P()＝1－(1－0.3)·(1－0.5)＝0.65.
答案：0.65
3．(2019·常州中学模拟)甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下成和棋的概率为.则乙不输棋的概率为________．
解析：∵甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲、乙下成和棋的概率为，
∴乙不输棋的概率P＝1－＝.
答案：
4．(2018·南京学情调研)某单位要在4名员工(含甲、乙两人)中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率为________．
解析：从4名员工中随机选2名的所有基本事件共有6个，而甲、乙都未被选中的事件只有1个，所以甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率为1－＝.
答案：
5．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．
解析：设P(A)＝x，P(B)＝3x，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.
所以P(A)＝x＝0.16.
答案：0.16
6．(2018·江安中学测试)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有______个．
解析：根据对立事件的概率计算公式得“摸出蓝球”的概率为1－0.42－0.28＝0.3，口袋内装有红球、黄球和蓝球的总数为＝50，则蓝球有50×0.3＝15(个)．
答案：15
二保高考，全练题型做到高考达标
1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为________．
解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
答案：0.92
2．(2019·泰州中学调研)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为________．
解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.
答案：
3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
答案：
4．抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P(A＋B)＝________.
解析：事件A为掷出向上为偶数点，所以P(A)＝.
事件B为掷出向上为3点，所以P(B)＝，
又事件A，B是互斥事件，事件(A＋B)为事件A，B有一个发生的事件，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.
答案：
5．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．
解析：设红、黄、白球各有a，b，c个，
∵从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，
∴
∴＝1－0.6＝0.4，＝1－0.65＝0.35，
∴摸出白球的概率P＝1－0.4－0.35＝0.25.
答案：0.25
6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．
解析：“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率为1－P(A)＝0.35.
答案：0.35
7．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，则x＋y的最小值为________．
解析：由题意，x＞0，y＞0，＋＝1.则x＋y＝(x＋y)·＝5＋≥5＋2 ＝9，当且仅当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9.
答案：9
8．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案：　
9．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：记事件“在数学竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)因为获奖人数不超过2人的概率为0.56，
所以P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56，
解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，
得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，
得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，
即y＋0.2＋0.04＝0.44，
解得y＝0.2.
10.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，
故甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)＞P(B1)，故乙应选择L2.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中任一结果，连续抛掷两次，第一次出现点数记为a，第二次出现点数记为b，则直线ax＋by＝0与直线x＋2y＋1＝0有公共点的概率为________．
解析：设“直线ax＋by＝0与直线x＋2y＋1＝0有公共点”为事件A，则为“它们无公共点”，因为直线x＋2y＋1＝0的斜率k＝－，所以＝，所以a＝1，b＝2或a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，所以P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.
答案：
2．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为____________．
解析：因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，
所以
即解得＜a≤.
答案：
3．(2018·梁丰中学测试)已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2,1]，给出事件A：f(x)≥a.
(1)当A为必然事件时，求a的取值范围；
(2)当A为不可能事件时，求a的取值范围．
解：因为f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,1]，
所以f(x)min＝－1，此时x＝－1.
又f(－2)＝0＜f(1)＝3，所以f(x)max＝3.
所以f(x)∈[－1,3]
(1)当A为必然事件时，即f(x)≥a恒成立，
故有a≤f(x)min＝－1，
即a的取值范围是(－∞，－1]．
(2)当A为不可能事件时，即f(x)≥a一定不成立，
故有a＞f(x)max＝3，则a的取值范围为(3，＋∞)．