2020版一轮复习数学（理）江苏专版学案：第二章第五节二次函数与幂函数

第五节二次函数与幂函数


1．五种常见幂函数的图象与性质

函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3

y＝x
y＝x－1
图象





定义域

R

{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域

{y|y≥0}

{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性


奇
非奇非偶

单调性

(－∞，0)减，(0，＋∞)增
增

(－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点
(1,1)

2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx＋c
a＞0
a＜0
图象


定义域
R
值域


单调性
在上递减，在上递增
在上递增，在上递减
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
图象特点
①对称轴：x＝－；
②顶点：

[小题体验]
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(9,3)，则函数的解析式为________________．
答案：f(x)＝x (x≥0)
2．(2019·天一中学高三测试)已知点P1(x1,2 019)和P2(x2,2 019)在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为________．
答案：9
3．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为________．
答案：

1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[小题纠偏]
1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
答案：
2．给出下列命题：
①函数y＝2x是幂函数；
②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
③当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数；
④二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是.
其中正确的是________(填序号)．
答案：②

　
[题组练透]
1．(2018·苏州高三期中调研)已知幂函数y＝x2m－m2(m∈N*)在(0，＋∞)是增函数，则实数m的值是________．
解析：由题意知2m－m2＞0，解得0＜m＜2，因为m∈N*，所以m＝1.
答案：1
2．(2019·常州一中检测)已知函数f(x)＝(3－m)x2m－5是幂函数，则f＝________.
解析：函数f(x)＝(3－m)x2m－5是幂函数，
则3－m＝1，解得m＝2，
∴f(x)＝x－1，∴f＝2.
答案：2
3．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得－1≤a＜.
答案：
[谨记通法]
幂函数的指数与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.
　
[典例引领]
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解：法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线对称轴为x＝＝.
所以m＝，又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[由题悟法]
求二次函数解析式的方法

[即时应用]
1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________.
解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由已知得解得
所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由已知得解得
所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，
将点(1,0)代入，得a＝，
所以f(x)＝(x＋2)2－1，
即f(x)＝x2＋x－.
答案：x2＋x－
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为x＝2.
又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又因为f(x)的图象过点(4,3)，
所以3a＝3，a＝1.
所以所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
　
[锁定考向]
高考对二次函数图象与性质的考查．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇．
常见的命题角度有：
(1)二次函数的单调性问题；
(2)二次函数的最值问题；
(3)二次函数中恒成立问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：二次函数的单调性问题
1．(2019·江安中学测试)已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，则f(2)的取值范围是________．
解析：函数f(x)的图象(抛物线)开口向上，对称轴为x＝，若函数f(x)在区间上为增函数，则≤，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.
答案：[7，＋∞)
角度二：二次函数的最值问题
2．(1)(2019·苏州测试)已知函数f(x)＝x2＋abx＋a＋2b，若f(0)＝4，则f(1)的最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．
解析：(1)因为f(0)＝4，所以a＋2b＝4，即a＝4－2b，所以f(1)＝ab＋a＋2b＋1＝ab＋5＝(4－2b)b＋5＝－2b2＋4b＋5＝－2(b－1)2＋7，所以当b＝1时，f(1)的最大值为7.
(2)函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，x∈[0,1]，对称轴方程为x＝a.
当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
所以1－a＝2，所以a＝－1.
当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，
所以a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，
解得a＝(舍去)．
当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
答案：(1)7　(2)－1或2
角度三：二次函数中恒成立问题
3．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．
解析：由题意得x2＋x＋1＞k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
∵g(x)在[－3，－1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k＜1.故k的取值范围为(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
[通法在握]
1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．
2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键
(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[演练冲关]
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.
故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·清河中学检测)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________.
解析：由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
答案：
2．(2019·连云港调研)若函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝a－1，
f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上为增函数，
∴对称轴x＝a－1≥4，∴a≥5.
答案：[5，＋∞)
3．(2018·淮阴模拟)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)，f(0)的大小关系为________．
解析：因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m＜0，所以f(m)＜f(0)．
答案：f(m)＜f(0)
4．已知函数f(x)＝x2＋x＋m，若|f(x)|在区间[0,1]上单调，则实数m的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝x2＋x＋m，且|f(x)|在区间[0,1]上单调，
所以f(x)在[0,1]上满足f(0)·f(1)≥0，
即m(1＋1＋m)≥0，解得m≥0或m≤－2.
答案：(－∞，－2]∪[0，＋∞)
5．若二次函数f(x)＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t＝________.
解析：由于f(x)＝－x2＋4x＋t＝－(x－2)2＋t＋4图象的顶点在x轴上，
所以f(2)＝t＋4＝0，
所以t＝－4.
答案：－4
6．(2019·杭州测试)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为________．
解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图象的对称轴为直线x＝1，f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当a≥1时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；
当a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1时，f(x)min＝f(1)＝0≠4.
故a的取值集合为{－3,3}．
答案：{－3,3}
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·海安中学检测)已知幂函数f(x)＝xα，其中α∈.则使f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的取值集合为________．
解析：若幂函数f(x)为奇函数，则α＝－1,1,3，又f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以α的取值集合为{1,3}．
答案：{1,3}
2．(2019·武汉调研)已知幂函数f(x)＝xm2－4m (m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________．
解析：∵幂函数f(x)＝xm2－4m (m∈Z)在区间(0，＋∞)上为减函数，
∴m2－4m＜0，解得0＜m＜4.
又m∈Z，
∴m＝1或m＝2或m＝3.
当m＝1时，f(x)＝x－3，图象不关于y轴对称；当m＝2时，f(x)＝x－4，图象关于y轴对称；当m＝3时，f(x)＝x－3，图象不关于y轴对称．
综上，m的值为2.
答案：2
3．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.
答案：(－∞，－2)
4．(2018·泰州中学调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2－2x＋1，不等式f(x2－3)＞f(2x)的解集为________．
解析：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝0，当x＜0时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2为减函数，则当x＞0时，f(x)也为减函数，综上可得f(x)在R上为减函数，若f(x2－3)＞f(2x)，则有x2－3＜2x，解得－1＜x＜3，即不等式f(x2－3)＞f(2x)的解集为(－1,3)．
答案：(－1,3)
5．若函数f(x)＝xα2－2α－3 (常数α∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α的值为________．
解析：根据幂函数的性质，要使函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α2－2α－3为偶数，且α2－2α－3＜0，解不等式可得－1＜α＜3.因为α∈Z，所以α＝0,1,2.当α＝0时，α2－2α－3＝－3，不满足条件；当α＝1时，α2－2α－3＝－4，满足条件；当α＝2时，α2－2α－3＝－3，不满足条件，所以α＝1.
答案：1
6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是________．
解析：二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈.
答案：
7．对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________．
解析：由题意可得
解得－4＜a＜4.
答案：(－4,4)
8．(2019·南通一调)若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．
解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－f(t)＝－2at＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.
答案：8
9．已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．
(2)若该函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数，
所以m2＋m为偶数，
所以函数f(x)＝x(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，
所以＝2，即2＝2，
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝x.
又因为f(2－a)＞f(a－1)，
所以解得1≤a＜，
故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.
满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为.
10．(2019·启东检测)已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.
(1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)，
所以f(x)在[1，a]上为减函数，
所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)]．
又已知值域为[1，a]，
所以
解得a＝2.
(2)由x|f(x)－x2|≤1，得－＋≤a≤＋.(*)
令＝t，t∈[2,3]，
则(*)可化为－t2＋t≤a≤t2＋t.
记g(t)＝－t2＋t＝－2＋，
则g(t)max＝g＝，所以a≥；
记h(t)＝t2＋t＝2－，
则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7，
综上所述，≤a≤7.
所以实数a的取值范围是.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2019·金陵中学期中)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为f(x)与g(x)的“关联区间”．若f(x)＝x3－x2－x与g(x)＝2x＋b的“关联区间”是[－3,0]，则b的取值范围是________．
解析：由题意设m(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2－3x－b，
则m′(x)＝x2－2x－3，
由m′(x)＝0，得m＝－1或m＝3.
∵f(x)与g(x)在[－3,0]上是“关联函数”，
∴x＝－1是函数m(x)在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．
要使m(x)＝f(x)－g(x)在[－3,0]上有两个不同的零点，
则即解得0≤b＜，
故b的取值范围是.
答案：
2．(2019·泰州中学检测)已知函数f(x)＝x2＋(x－1)·|x－a|.
(1)若a＝－1，求满足f(x)＝1的x的取值集合；
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若a＜1且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，有f(x)＝
当x≥－1时，令2x2－1＝1，解得x＝1或x＝－1；
当x＜－1时，f(x)＝1恒成立，
∴x的取值集合为{x|x≤－1或x＝1}．
(2)f(x)＝
若f(x)在R上单调递增，且f(x)是连续的，
则有解得a≥，
即实数a的取值范围是.
(3)设g(x)＝f(x)－(2x－3)，
则g(x)＝
若不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立，
则当x＜a时，∵a＜1，∴g(x)单调递减，其值域为(a2－2a＋3，＋∞)．
∵a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞2，∴g(x)≥0恒成立．
当x≥a时，∵a＜1，∴a＜，∴g(x)min＝g＝a＋3－≥0，得－3≤a≤5.
∵a＜1，∴－3≤a＜1，
综上，a的取值范围是[－3,1)．