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    2020版一轮复习数学(理)江苏专版学案:第二章第五节二次函数与幂函数
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    2020版一轮复习数学(理)江苏专版学案:第二章第五节二次函数与幂函数

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    第五节二次函数与幂函数


    1.五种常见幂函数的图象与性质

    函数特征性质
    y=x
    y=x2
    y=x3

    y=x
    y=x-1
    图象





    定义域

    R

    {x|x≥0}
    {x|x≠0}
    值域

    {y|y≥0}

    {y|y≥0}
    {y|y≠0}
    奇偶性



    非奇非偶

    单调性

    (-∞,0)减,(0,+∞)增


    (-∞,0)和(0,+∞)减
    公共点
    (1,1)

    2.二次函数解析式的三种形式
    (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
    (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);
    (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
    3.二次函数的图象和性质
    f(x)=ax2+bx+c
    a>0
    a<0
    图象


    定义域
    R
    值域


    单调性
    在上递减,在上递增
    在上递增,在上递减
    奇偶性
    b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
    图象特点
    ①对称轴:x=-;
    ②顶点:

    [小题体验]
    1.已知幂函数y=f(x)的图象过点(9,3),则函数的解析式为________________.
    答案:f(x)=x (x≥0)
    2.(2019·天一中学高三测试)已知点P1(x1,2 019)和P2(x2,2 019)在二次函数f(x)=ax2+bx+9的图象上,则f(x1+x2)的值为________.
    答案:9
    3.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则y=f(x)的值域为________.
    答案:

    1.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
    2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
    [小题纠偏]
    1.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是________.
    答案:
    2.给出下列命题:
    ①函数y=2x是幂函数;
    ②如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点;
    ③当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数;
    ④二次函数y=ax2+bx+c,x∈[m,n]的最值一定是.
    其中正确的是________(填序号).
    答案:②

     
    [题组练透]
    1.(2018·苏州高三期中调研)已知幂函数y=x2m-m2(m∈N*)在(0,+∞)是增函数,则实数m的值是________.
    解析:由题意知2m-m2>0,解得0<m<2,因为m∈N*,所以m=1.
    答案:1
    2.(2019·常州一中检测)已知函数f(x)=(3-m)x2m-5是幂函数,则f=________.
    解析:函数f(x)=(3-m)x2m-5是幂函数,
    则3-m=1,解得m=2,
    ∴f(x)=x-1,∴f=2.
    答案:2
    3.若(a+1)<(3-2a),则实数a的取值范围是________.
    解析:易知函数y=x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,
    所以解得-1≤a<.
    答案:
    [谨记通法]
    幂函数的指数与图象特征的关系
    (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.
    (2)若幂函数y=xα(α∈R)是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断.
    (3)若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
     
    [典例引领]
    已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
    解:法一:(利用一般式)
    设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
    由题意得解得
    故所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.

    法二:(利用顶点式)
    设f(x)=a(x-m)2+n.
    因为f(2)=f(-1),所以抛物线对称轴为x==.
    所以m=,又根据题意函数有最大值8,所以n=8,
    所以y=f(x)=a2+8.
    因为f(2)=-1,所以a2+8=-1,解得a=-4,
    所以f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.
    法三:(利用零点式)
    由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
    故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),
    即f(x)=ax2-ax-2a-1.
    又函数有最大值ymax=8,即=8.
    解得a=-4或a=0(舍去),
    故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
    [由题悟法]
    求二次函数解析式的方法

    [即时应用]
    1.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(-2,-1),且图象经过点(1,0),则函数的解析式为f(x)=________.
    解析:法一:设所求解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
    由已知得解得
    所以所求解析式为f(x)=x2+x-.
    法二:设所求解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
    由已知得解得
    所以所求解析式为f(x)=x2+x-.
    法三:设所求解析式为f(x)=a(x-h)2+k(a≠0).
    由已知得f(x)=a(x+2)2-1,
    将点(1,0)代入,得a=,
    所以f(x)=(x+2)2-1,
    即f(x)=x2+x-.
    答案:x2+x-
    2.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
    解:因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,
    所以f(x)的对称轴为x=2.
    又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,
    所以f(x)=0的两根为1和3.
    设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).
    又因为f(x)的图象过点(4,3),
    所以3a=3,a=1.
    所以所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),
    即f(x)=x2-4x+3.
     
    [锁定考向]
    高考对二次函数图象与性质的考查.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇.
    常见的命题角度有:
    (1)二次函数的单调性问题;
    (2)二次函数的最值问题;
    (3)二次函数中恒成立问题.     
    [题点全练]
    角度一:二次函数的单调性问题
    1.(2019·江安中学测试)已知函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上为增函数,则f(2)的取值范围是________.
    解析:函数f(x)的图象(抛物线)开口向上,对称轴为x=,若函数f(x)在区间上为增函数,则≤,解得a≤2,所以f(2)=4-(a-1)×2+5≥7,即f(2)≥7.
    答案:[7,+∞)
    角度二:二次函数的最值问题
    2.(1)(2019·苏州测试)已知函数f(x)=x2+abx+a+2b,若f(0)=4,则f(1)的最大值为________.
    (2)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时,有最大值2,则a的值为________.
    解析:(1)因为f(0)=4,所以a+2b=4,即a=4-2b,所以f(1)=ab+a+2b+1=ab+5=(4-2b)b+5=-2b2+4b+5=-2(b-1)2+7,所以当b=1时,f(1)的最大值为7.
    (2)函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,x∈[0,1],对称轴方程为x=a.
    当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a,
    所以1-a=2,所以a=-1.
    当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1,
    所以a2-a+1=2,即a2-a-1=0,
    解得a=(舍去).
    当a>1时,f(x)max=f(1)=a,所以a=2.
    综上可知,a=-1或a=2.
    答案:(1)7 (2)-1或2
    角度三:二次函数中恒成立问题
    3.已知函数f(x)=x2+2x+1,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,则k的取值范围为________.
    解析:由题意得x2+x+1>k在区间[-3,-1]上恒成立.
    设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],
    ∵g(x)在[-3,-1]上单调递减,
    ∴g(x)min=g(-1)=1.
    ∴k<1.故k的取值范围为(-∞,1).
    答案:(-∞,1)
    [通法在握]
    1.二次函数最值问题的3种类型及解题思路
    (1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.
    (2)思路:抓“三点一轴”,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴.
    2.由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键
    (1)思路:一是分离参数;二是不分离参数.
    (2)关键:两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
    [演练冲关]
    已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
    (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;
    (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
    解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],所以当x=1时,f(x)取得最小值1;
    当x=-5时,f(x)取得最大值37.
    (2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为直线x=-a,因为y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,所以-a≤-5或-a≥5,即a≤-5或a≥5.
    故a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).

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    1.(2018·清河中学检测)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=________.
    解析:由幂函数的定义知k=1.又f=,所以α=,解得α=,从而k+α=.
    答案:
    2.(2019·连云港调研)若函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4)上为增函数,则a的取值范围是________.
    解析:∵f(x)=-x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=a-1,
    f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4)上为增函数,
    ∴对称轴x=a-1≥4,∴a≥5.
    答案:[5,+∞)
    3.(2018·淮阴模拟)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则f(m),f(0)的大小关系为________.
    解析:因为函数f(x)是奇函数,所以-3-m+m2-m=0,解得m=3或-1.当m=3时,函数f(x)=x-1,定义域不是[-6,6],不合题意;当m=-1时,函数f(x)=x3在定义域[-2,2]上单调递增,又m<0,所以f(m)<f(0).
    答案:f(m)<f(0)
    4.已知函数f(x)=x2+x+m,若|f(x)|在区间[0,1]上单调,则实数m的取值范围为________.
    解析:因为f(x)=x2+x+m,且|f(x)|在区间[0,1]上单调,
    所以f(x)在[0,1]上满足f(0)·f(1)≥0,
    即m(1+1+m)≥0,解得m≥0或m≤-2.
    答案:(-∞,-2]∪[0,+∞)
    5.若二次函数f(x)=-x2+4x+t图象的顶点在x轴上,则t=________.
    解析:由于f(x)=-x2+4x+t=-(x-2)2+t+4图象的顶点在x轴上,
    所以f(2)=t+4=0,
    所以t=-4.
    答案:-4
    6.(2019·杭州测试)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为________.
    解析:因为函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2的图象的对称轴为直线x=1,f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,所以当a≥1时,f(x)min=f(a)=(a-1)2=4,a=-1(舍去)或a=3;
    当a+2≤1,即a≤-1时,f(x)min=f(a+2)=(a+1)2=4,a=1(舍去)或a=-3;
    当a<1<a+2,即-1<a<1时,f(x)min=f(1)=0≠4.
    故a的取值集合为{-3,3}.
    答案:{-3,3}
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    1.(2019·海安中学检测)已知幂函数f(x)=xα,其中α∈.则使f(x)为奇函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数的α的取值集合为________.
    解析:若幂函数f(x)为奇函数,则α=-1,1,3,又f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,所以α的取值集合为{1,3}.
    答案:{1,3}
    2.(2019·武汉调研)已知幂函数f(x)=xm2-4m (m∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上为减函数,则m的值为________.
    解析:∵幂函数f(x)=xm2-4m (m∈Z)在区间(0,+∞)上为减函数,
    ∴m2-4m<0,解得0<m<4.
    又m∈Z,
    ∴m=1或m=2或m=3.
    当m=1时,f(x)=x-3,图象不关于y轴对称;当m=2时,f(x)=x-4,图象关于y轴对称;当m=3时,f(x)=x-3,图象不关于y轴对称.
    综上,m的值为2.
    答案:2
    3.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是________.
    解析:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,
    令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),
    所以f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.
    答案:(-∞,-2)
    4.(2018·泰州中学调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2-2x+1,不等式f(x2-3)>f(2x)的解集为________.
    解析:根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,则有f(0)=0,当x<0时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2为减函数,则当x>0时,f(x)也为减函数,综上可得f(x)在R上为减函数,若f(x2-3)>f(2x),则有x2-3<2x,解得-1<x<3,即不等式f(x2-3)>f(2x)的解集为(-1,3).
    答案:(-1,3)
    5.若函数f(x)=xα2-2α-3 (常数α∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,则α的值为________.
    解析:根据幂函数的性质,要使函数f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,则α2-2α-3为偶数,且α2-2α-3<0,解不等式可得-1<α<3.因为α∈Z,所以α=0,1,2.当α=0时,α2-2α-3=-3,不满足条件;当α=1时,α2-2α-3=-4,满足条件;当α=2时,α2-2α-3=-3,不满足条件,所以α=1.
    答案:1
    6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是________.
    解析:二次函数图象的对称轴为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,由图得m∈.
    答案:
    7.对于任意实数x,函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,则a的取值范围是________.
    解析:由题意可得
    解得-4<a<4.
    答案:(-4,4)
    8.(2019·南通一调)若函数f(x)=ax2+20x+14(a>0)对任意实数t,在闭区间[t-1,t+1]上总存在两实数x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8成立,则实数a的最小值为________.
    解析:由题意可得,当x∈[t-1,t+1]时,[f(x)max-f(x)min]min≥8,当[t-1,t+1]关于对称轴对称时,f(x)max-f(x)min取得最小值,即f(t+1)-f(t)=2at+a+20≥8,f(t-1)-f(t)=-2at+a-20≥8,两式相加,得a≥8,所以实数a的最小值为8.
    答案:8
    9.已知幂函数f(x)=x(m∈N*).
    (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性.
    (2)若该函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
    解:(1)因为m2+m=m(m+1)(m∈N*),而m与m+1中必有一个为偶数,
    所以m2+m为偶数,
    所以函数f(x)=x(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数.
    (2)因为函数f(x)的图象经过点(2,),
    所以=2,即2=2,
    所以m2+m=2,解得m=1或m=-2.
    又因为m∈N*,所以m=1,f(x)=x.
    又因为f(2-a)>f(a-1),
    所以解得1≤a<,
    故函数f(x)的图象经过点(2,)时,m=1.
    满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围为.
    10.(2019·启东检测)已知a∈R,函数f(x)=x2-2ax+5.
    (1)若a>1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值;
    (2)若不等式x|f(x)-x2|≤1对x∈恒成立,求实数a的取值范围.
    解:(1)因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1),
    所以f(x)在[1,a]上为减函数,
    所以f(x)的值域为[f(a),f(1)].
    又已知值域为[1,a],
    所以
    解得a=2.
    (2)由x|f(x)-x2|≤1,得-+≤a≤+.(*)
    令=t,t∈[2,3],
    则(*)可化为-t2+t≤a≤t2+t.
    记g(t)=-t2+t=-2+,
    则g(t)max=g=,所以a≥;
    记h(t)=t2+t=2-,
    则h(t)min=h(2)=7,所以a≤7,
    综上所述,≤a≤7.
    所以实数a的取值范围是.
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    1.(2019·金陵中学期中)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为f(x)与g(x)的“关联区间”.若f(x)=x3-x2-x与g(x)=2x+b的“关联区间”是[-3,0],则b的取值范围是________.
    解析:由题意设m(x)=f(x)-g(x)=x3-x2-3x-b,
    则m′(x)=x2-2x-3,
    由m′(x)=0,得m=-1或m=3.
    ∵f(x)与g(x)在[-3,0]上是“关联函数”,
    ∴x=-1是函数m(x)在[-3,0]上的极大值,同时也是最大值.
    要使m(x)=f(x)-g(x)在[-3,0]上有两个不同的零点,
    则即解得0≤b<,
    故b的取值范围是.
    答案:
    2.(2019·泰州中学检测)已知函数f(x)=x2+(x-1)·|x-a|.
    (1)若a=-1,求满足f(x)=1的x的取值集合;
    (2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
    (3)若a<1且不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立,求a的取值范围.
    解:(1)当a=-1时,有f(x)=
    当x≥-1时,令2x2-1=1,解得x=1或x=-1;
    当x<-1时,f(x)=1恒成立,
    ∴x的取值集合为{x|x≤-1或x=1}.
    (2)f(x)=
    若f(x)在R上单调递增,且f(x)是连续的,
    则有解得a≥,
    即实数a的取值范围是.
    (3)设g(x)=f(x)-(2x-3),
    则g(x)=
    若不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立,
    则当x<a时,∵a<1,∴g(x)单调递减,其值域为(a2-2a+3,+∞).
    ∵a2-2a+3=(a-1)2+2>2,∴g(x)≥0恒成立.
    当x≥a时,∵a<1,∴a<,∴g(x)min=g=a+3-≥0,得-3≤a≤5.
    ∵a<1,∴-3≤a<1,
    综上,a的取值范围是[-3,1).


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