2020版一轮复习数学（理）江苏专版学案：第二章第八节函数与方程

第八节函数与方程


1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
图象



与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数




[小题体验]
1．(2019·苏州调研)函数y＝e2x－1的零点是________．
答案：0
2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是______．
答案：1
3．(2019·海门中学月考)若方程x－2x＝6的解所在的区间是(k，k＋1)，则整数k＝________.
解析：令f(x)＝x－2x－6，根据方程x－2x＝6的解所在的区间是(k，k＋1)，f(x)在(k，k＋1)上单调递减，
可得f(x)＝x－2x－6在区间是(k，k＋1)上有唯一零点，故有f(k)f(k＋1)＜0，再根据f(－2)＝2＞0，f(－1)＝－2＜0，可得k＝－2.
答案：－2

1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
[小题纠偏]
1．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为______．
答案：－，，1,2
2．给出下列命题：
①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；
②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)＜0；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点；
④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．
其中正确的是________(填序号)．
答案：③④

　
[题组练透]
1．已知定义在R上的函数f(x)图象的对称轴为x＝－3，且当x≥－3时，f(x)＝2x－3.若函数f(x)在区间(k－1，k)(k∈Z)上有零点，则k的值为________．
解析：当x≥－3时，由f(x)＝2x－3＝0，解得x＝log23.
因为1＜log23＜2，即函数的零点所在的区间为(1,2)，所以k＝2.
又函数f(x)的图象关于x＝－3对称，所以另外一个零点在区间(－8，－7)上，此时k＝－7.
答案：－7或2
2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为________．
解析：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
答案：(1,2)
3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．
解析：法一：因为f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，
f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，
又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
所以(x－6)(x＋3)＝0.因为x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
所以f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
答案：存在
[谨记通法]
确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)＜0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．
　
[典例引领]
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
解析：由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，
f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，
∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.
答案：3
2．函数f(x)＝的零点个数是________．
解析：当x＞0时，由ln x－x2＋2x＝0，得ln x＝x2－2x.
作出函数y＝ln x，y＝x2－2x的图象(图略)，由图象可知有两个交点．
当x≤0时，由4x＋1＝0，解得x＝－.
所以函数的零点个数是3.
答案：3
[由题悟法]
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
[即时应用]
1．(2018·上海徐汇区检测)定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg(x2－3x＋3)，则f(x)在R上的零点个数为________．
解析：当x≥0时，f(x)＝lg(x2－3x＋3)，由lg(x2－3x＋3)＝0，得x2－3x＋3＝1，解得x＝1或x＝2.因为函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数的零点个数为4.
答案：4
2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数为________．
解析：因为f′(x)＝ex＋＞0，所以f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1－2＜0，f(1)＝e－＞0，
所以函数在区间(0,1)上有且只有一个零点．
答案：1
　
[典例引领]
(2019·南通中学高三学情调研)已知函数g(x)＝若函数y＝g(g(x))－2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
解析：当x＜0时，g(x)＝－x＋1＞0，此时g(g(x))＝(－x＋1)2－1＝x2－2x，
当0≤x＜1时，g(x)＝x2－1＜0，此时g(g(x))＝－(x2－1)＋1＝－x2＋2，
当x≥1时，g(x)＝x2－1≥0，此时g(g(x))＝(x2－1)2－1＝x4－2x2，
所以函数y＝g(g(x))＝
画出函数y＝g(g(x))的图象如图所示．
结合图象可知，若函数y＝g(g(x))－2m有3个不同的零点，则1＜2m≤2，即＜m≤1，所以实数m的取值范围是.
答案：
[由题悟法]
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
[即时应用]
1．(2018·南京、盐城高三一模)设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
解析：作出当x≥0时f(x)的图象，根据偶函数的图象关于y轴对称可得x＜0时的图象，由图象可得m∈.

答案：
2．(2018·启东中学检测)已知f(x)＝x2－2x－1，若函数y＝f(|ax－1|)＋k·|ax－1|＋4k(a＞1)有三个不同的零点，则实数k的取值范围是________．
解析：设t＝|ax－1|，t≥0，则函数y＝f(|ax－1|)＋k·|ax－1|＋4k＝t2＋(k－2)t＋4k－1.设h(t)＝t2＋(k－2)t＋4k－1，若函数g(x)有三个不同的零点，则方程h(t)＝0有两个不等的实数解t1，t2，且解的情况有如下三种：
①t1∈(1，＋∞)，t2∈(0,1)，此时有h(0)＞0，且h(1)＜0，解得＜k＜.
②t1＝0，t2∈(0,1)，此时由h(0)＝0，得k＝，所以h(t)＝t2－t，即t2＝，不符合t2∈(0,1);
③t1＝1，t2∈(0,1)，此时由h(1)＝0，得k＝，所以h(t)＝t2－t＋，即t2＝，符合t2∈(0,1)．
综上，实数k的取值范围是.
答案：

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1．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为______．
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案：－
2．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是______．
解析：设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.
答案：(－∞，1)
3．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为______．
解析：依题意得
由此解得b＝－4，c＝－2.由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，
该方程等价于 ①
或 ②
解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.
因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.
答案：3
4．(2019·连云港调研)已知函数f(x)＝－x＋b有一个零点，则实数b的取值范围为________．
解析：由已知，函数f(x)＝－x＋b有一个零点，即函数y＝x－b和y＝的图象有1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为y＝x＋2，过点(0，)的直线方程为y＝x＋，所以满足条件的b的取值范围是b＝－2或－＜b≤ .
答案：{－2}∪(－，]
5．(2018·苏州质检)已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．
解析：作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.
答案：3
6．(2018·泰州中学上学期期中)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有________个．
解析：在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图，结合图象知，共有10个交点．

答案：10
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1．设x0为函数f(x)＝2x＋x－2的零点，且x0∈(m，n)，其中m，n为相邻的整数，则m＋n＝________.
解析：函数f(x)＝2x＋x－2为R上的单调增函数，又f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，所以f(0)·f(1)＜0，故函数f(x)＝2x＋x－2的零点在区间(0,1)内，故m＝0，n＝1，m＋n＝1.
答案：1
2．(2018·镇江中学检测)已知函数f(x)＝2x＋2x－6的零点为x0，不等式x－4＞x0的最小的整数解为k，则k＝________.
解析：函数f(x)＝2x＋2x－6为R上的单调增函数，又f(1)＝－2＜0，f(2)＝2＞0，所以函数f(x)＝2x＋2x－6的零点x0满足1＜x0＜2，故满足x0＜n的最小的整数n＝2，即k－4＝2，所以满足不等式x－4＞x0的最小的整数解k＝6.
答案：6
3．已知方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围为________．
解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，
则f(x)在R上是增函数．
当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)＜0，
即(5－k)(10－k)＜0，解得5＜k＜10.
当f(1)＝0时，k＝5.
综上，k的取值范围为[5,10)．
答案：[5,10)
4．(2019·太原模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．
解析：依题意并结合函数f(x)的图象可知，
即
解得＜m＜.
答案：
5．(2018·无锡期末)设函数f(x)＝若方程f(x)－mx＝0恰好有3个零点，则实数m的取值范围为________．
解析：当x≥1时，方程f(x)－mx＝0变为1－mx＝0，解得x＝；
当－1＜x＜1时，方程f(x)－mx＝0变为x[log2(x＋1)－m]＝0，解得x＝0或x＝2m－1.
因为f(x)－mx＝0恰好有3个零点，所以≥1，且－1＜2m－1＜1，
解得0＜m＜1，
故实数m的取值范围为(0,1)．
答案：(0,1)
6．(2019·镇江调研)已知k为常数，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有4个不同的解，则实数k的取值范围为________．
解析：作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有4个不同解，当直线y＝kx＋2与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，n)，可得n＝ln m，y＝ln x的导数为y′＝(x＞1)，可得k＝，则n＝km＋2，解得m＝e3，k＝e－3，则实数k的取值范围为(0，e－3)．

答案：(0，e－3)
7．(2018·苏州调研)已知函数f(x)＝若直线y＝ax与y＝f(x)交于三个不同的点A(m，f(m))，B(n，f(n))，C(t，f(t))(其中m＜n＜t)，则n＋＋2的取值范围是________．
解析：由已知条件可得所以所以n＋＋2＝n＋，令g(n)＝n＋，当f(x)＝ln x，x＞0与y＝ax相切时，由f′(x)＝，得＝a，又ln x＝ax，解得x＝e，所以要满足题意，则1＜n＜e.由g′(n)＝1＋＞0，所以g(n)＝n＋在(1，e)上单调递增，所以g(n)＝n＋＋2∈.
答案：
8．(2018·南京、盐城一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，设g(x)＝若函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________．
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋m·2x＝－(2x＋m·2－x)，解得m＝－1，故g(x)＝作出函数g(x)的图象(如图所示)．当x＞1时，g(x)单调递增，此时g(x)＞；当x≤1时，g(x)单调递减，此时g(x)≥－，所以当t∈时，y＝g(x)－t有且只有一个零点．
答案：
9．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，
只需即解得＜a＜.
故实数a的取值范围为.
10．(2018·通州中学检测)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1，g(x)＝a2x2＋bx＋1.若函数f(x)有两个不同零点x1，x2，函数g(x)有两个不同零点x3，x4.
(1)若x3＜x1＜x4，试比较x2，x3，x4的大小关系；
(2)若x1＝x3＜x2，m，n，p∈(－∞，x1)，＝＝，求证：m＝n＝p.
解：(1)因为函数g(x)的图象开口向上，且零点为x3，x4，
故g(x)＜0⇔x∈(x3，x4)．
因为x1，x2是f(x)的两个不同零点，
故f(x1)＝f(x2)＝0.
因为x3＜x1＜x4，故g(x1)＜0＝f(x1)，于是(a2－a)x＜0.
注意到x1≠0，故a2－a＜0.
所以g(x2)－f(x2)＝(a2－a)x＜0，
故g(x2)＜f(x2)＝0，从而x2∈(x3，x4)，
于是x3＜x2＜x4.
(2)证明：记x1＝x3＝t，故f(t)＝at2＋bt＋1＝0，g(t)＝a2t2＋bt＋1＝0，于是(a－a2)t2＝0.
因为a≠0，且t≠0，故a＝1.
所以f(x)＝g(x)且图象开口向上．
所以对∀x∈(－∞，x1)，f′(x)递增且f′(x)＜0，g(x)递减且g(x)＞0.
若m＞n，则f′(n)＜f′(m)＜0，＞＞0，从而g(p)＞g(n)＞0，故n＞p.
同上，当n＞p时，可推得p＞m.
所以p＞m＞n＞p，矛盾．所以m＞n不成立．
同理，n＞m亦不成立．
所以m＝n.同理，n＝p.
所以m＝n＝p.
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1．(2019·镇江期中)函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋4b＋1＝0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是________．
解析：令t＝f(x)，则原方程等价于t2＋bt＋1＋4b＝0.
作出函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知，当t＞3，－2≤t＜－1时，函数y＝t和y＝f(x)各有两个交点，
要使方程f2(x)＋bf(x)＋4b＋1＝0有4个不同的实数根，则方程t2＋bt＋1＋4b＝0有两个根t1，t2，且t1＞3，－2≤t2＜－1.
令g(t)＝t2＋bt＋1＋4b，则由根的分布可得解得－≤b＜－.
答案：
2．(2019·南京调研)设函数fk(x)＝2x＋(k－1)·2－x(x∈R，k∈Z)．
(1)若fk(x)是偶函数，求不等式fk(x)＞的解集；
(2)设不等式f0(x)＋mf1(x)≤4的解集为A，若A∩[1,2]≠∅，求实数m的取值范围；
(3)设函数g(x)＝λf0(x)－f2(2x)－2，若g(x)在x∈[1，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为fk(x)是偶函数，所以fk(－x)＝fk(x)恒成立，
即2－x＋(k－1)·2x＝2x＋(k－1)·2－x，
所以k＝2.
由2x＋2－x＞，得4·22x－17·2x＋4＞0，
解得2x＜或2x＞4，即x＜－2或x＞2，
所以不等式fk(x)＞的解集为{x|x＜－2或x＞2}．
(2)不等式f0(x)＋mf1(x)≤4，即为2x－2－x＋m·2x≤4，
所以m≤，即m≤2＋4·－1.
令t＝，x∈[1,2]，则t∈，
设h(t)＝t2＋4t－1，t∈，
则h(t)max＝h＝.
由A∩[1,2]≠∅，即不等式f0(x)＋mf1(x)≤4在[1,2]上有解，则需m≤h(t)max，即m≤.
所以实数m的取值范围为.
(3)函数g(x)＝λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2在x∈[1，＋∞)上有零点，
即λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2＝0在x∈[1，＋∞)上有解，
因为x∈[1，＋∞)，所以2x－2－x＞0，
所以问题等价于λ＝在x∈[1，＋∞)上有解．
令p＝2x，则p≥2，令u＝p－，
则u在p∈[2，＋∞)上单调递增，
因此u≥，λ＝.
设r(u)＝＝u＋，则r′(u)＝1－，当≤u≤2时，r′(u)≤0，即函数r(u)在上单调递减，当u≥2时，r′(u)≥0，即函数r(u)在[2，＋∞)上单调递增，
所以函数r(u)在u＝2时取得最小值，且最小值r(2)＝4，
所以r(u)∈[4，＋∞)，
从而满足条件的实数λ的取值范围是[4，＋∞)．