2020高考物理新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第八章第45课时　电场性质的应用（题型研究课）

第45课时　电场性质的应用(题型研究课)

1．(多选)(2017·全国卷Ⅲ)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　　)
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
解析：选ABD　由题图知ac垂直于bc，沿ca和cb两方向的场强分量大小分别为E1＝＝2 V/cm、E2＝＝1.5 V/cm，根据矢量合成可知E＝2.5 V/cm，A项正确；根据在匀强电场中平行线上等距同向的两点间的电势差相等，有φO－φa＝φb－φc，得φO＝1 V，B项正确；电子在a、b、c三点的电势能分别为－10 eV、－17 eV和－26 eV，故电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C项错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝(－17＋26)eV＝9 eV，D项正确。
2．(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　)
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
解析：选D　电场线密的地方场强大，粒子受到的电场力大，所以aMφN，故B、C错误；又由Ep＝qφ和能量守恒知，带负电的粒子在电势越低的位置，具有的电势能越大，而动能越小，即EpMvN，故A错误，D正确。
3．(2018·北京高考)静电场可以用电场线和等势面形象描述。
(1)请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
(2)点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小，请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比。
解析：(1)在距点电荷Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷。根据库仑定律可知，
检验电荷受到的电场力F＝k
根据电场强度的定义E＝
得E＝k。
(2)由E＝k可知E∝。
由题意知E∝N，
故穿过两等势面单位面积上的电场线条数之比＝＝。
答案：(1)E＝k　(2)
4．(2015·全国卷Ⅱ)如图，一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°。不计重力。求A、B两点间的电势差。
解析：设带电粒子在B点的速度大小为vB，粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即
vBsin 30°＝v0sin 60°
由此得
vB＝v0
设A、B两点间的电势差为UAB，由动能定理有
qUAB＝m(vB2－v02)
解得UAB＝。
答案：
[备考视角]
电场强度、电势、电势差、电势能等概念是高考的热点，且经常结合电场线、等势面或带电粒子在电场中的运动轨迹考查，有时还结合图像考查，并涉及力的平衡、牛顿第二定律、动能定理等力学知识，复习备考时应引起足够的重视。

命题点一　电场线、等势面(线)与运动轨迹问题
1．带电粒子在电场中的运动轨迹是由带电粒子受到的合外力以及初速度情况共同决定的，运动轨迹上各点的切线方向表示粒子在该点的速度方向；电场线只能够描述电场的方向和定性地表示电场的强弱，它决定了带电粒子在电场中各点所受电场力的方向和加速度的方向。显然，电场线不一定是带电粒子在电场中的运动轨迹。
2．若同时满足以下三个条件，则带电粒子的运动轨迹与电场线重合：
(1)电场线是直线。
(2)带电粒子的初速度为零或者初速度的方向与电场线在同一条直线上。
(3)带电粒子只受电场力或受其他力但其他力的合力方向与电场线平行。
[典例]　带电粒子仅在电场力作用下，从电场中a点以初速度v0进入电场并沿虚线所示的轨迹运动到b点，如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带负电荷
B．从a到b过程中，粒子的速度先增大后减小
C．从a到b过程中，粒子加速度一直增大
D．从a到b过程中，粒子的机械能先减小后增大
[解析]　由题图知粒子受到的电场力沿电场线方向，故粒子带正电，A错误；从a到b过程中，电场力先做负功再做正功，粒子的电势能先增大后减小，动能先减小后增大，速度先减小后增大，根据电场线的疏密知场强先变小后变大，加速度先减小后增大，故粒子的机械能先减小后增大，B、C错误，D正确。
[答案]　D
[规律方法]
带电粒子运动轨迹问题的分析思路
(1)根据带电粒子(只受电场力)的运动轨迹确定带电粒子受到的电场力的方向，带电粒子所受的电场力指向运动轨迹曲线的凹侧，再结合电场线的方向确定带电粒子的电性。
(2)根据带电粒子在不同的等势面之间移动，结合题意确定电场力做正功还是做负功、电势能的变化情况或等势面的电势高低。
[集训冲关]
1.(多选)如图所示，真空中M、N点处固定有两等量异种点电荷，a、b、c表示两点电荷形成的电场中的3条等势线，b是M、N连线的中垂线，交M、N于O点，a、c关于b对称，点d、e、f、g是以O为圆心的圆与a、c的交点。已知一带正电的试探电荷从d点移动到e点时，试探电荷的电势能增加，则以下判断正确的是(　　)
A．M点处固定的是正电荷
B．d点的电势低于f点的电势
C．d点的场强与f点的场强相同
D．将带正电的试探电荷沿直线由d点移动到f点，电势能先增大后减小
解析：选BC　正试探电荷从d点移动到e点电势能增加，则d点电势低于e点，d点的电势低于f点的电势，M点处为负电荷，N点处为正电荷，由等量异种点电荷电场分布特点可知，d、f两点的电场强度大小相等、方向相同，将带正电的试探电荷沿直线从d点移动到f点，电势能一直增大，故B、C正确，A、D错误。
2.(多选)(2019·东阿检测)如图所示，三条平行等距的虚线表示电场中的三个等势面，电势值分别为10 V、20 V、30 V，实线是一带负电的粒子(仅受电场力)在该区域内的运动轨迹。对于运动轨迹上的a、b、c三点，下列说法正确的是(　　)
A．粒子必先过a，再到b，然后到c
B．粒子在三点所受的力Fa＝Fb＝Fc
C．粒子在三点的动能大小为Ekb>Eka>Ekc
D．粒子在三点的电势能大小为Epb>Epa>Epc
解析：选BD　由题图可知，该电场必为匀强电场，电场线垂直等势面向上，带负电的粒子所受电场力与电场线方向相反而向下，由做曲线运动的条件可知，粒子的运动轨迹也可以先过c，再到b，然后到a，选项A错误；粒子在匀强电场中受力情况不变，选项B正确；粒子在运动过程中，电势能的增加量等于动能的减少量，则有Ekc>Eka>Ekb，Epb>Epa>Epc，选项D正确，C错误。
3．(2016·全国卷Ⅱ)如图，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆。带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点。若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc。则(　　)
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
解析：选D　由题图知，a、b、c三点到P的距离rb＜rc＜ra，则由E＝k可知，三点的电场强度Eb＞Ec＞Ea，故Q在这三点的加速度ab＞ac＞aa。由运动轨迹可知Q所受P的电场力为斥力，从a到b电场力做负功，由动能定理－|qUab|＝mvb2－mva2＜0，则vb＜va，从b到c电场力做正功，由动能定理|qUbc|＝mvc2－mvb2＞0，vc＞vb，又|Uab|＞|Ubc|，则va＞vc，故va＞vc＞vb，选项D正确。
命题点二　电场中的功能关系问题
1．电场力做功的四种求法
定义式
WAB＝Flcos α＝qEd(适用于匀强电场)
电势的变化
W＝qUAB＝q(φA－φB)
动能定理
W电＋W其他＝ΔEk
电势能的变化
WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB
2.电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体做的总功等于物体动能的变化量。
[典例]　(2019·平度模拟)如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上O点套有一个电荷量为－q(q>0)的小环，在杆的左侧固定一个电荷量为Q(Q>0)的点电荷，杆上a、b两点与Q正好构成等边三角形，c是ab的中点。将小环从O点无初速度释放，通过a点的速率为v。若已知ab＝Oa＝l，静电力常量为k，重力加速度为g。则(　　)
A．在a点，小环所受弹力大小为
B．在c点，小环的动能最大
C．在c点，小环的电势能最大
D．在b点，小环的速率为
[解析]　在a点，小环所受的电场力沿aQ方向，大小为k，水平方向小环受力平衡，所以小环受到向右的弹力大小等于电场力沿水平方向的分力sin 60°＝，A错误；在c点时，小环水平方向受到电场力和杆的弹力作用，竖直方向受到重力作用，合力竖直向下，小环有竖直向下的加速度，所以在c点时小环的动能不是最大，B错误；c点距离Q最近，电势最高，带负电的小环在c点的电势能最小，C错误；因为a、b两点到Q的距离相等，所以a、b两点电势相等，小环从a点到b点，电场力做功为0，应用动能定理得mgl＝mvb2－mv2，解得vb＝，D正确。
[答案]　D
[规律方法]
电场中功能关系问题的分析方法

[集训冲关]
1.如图所示为沿水平方向的匀强电场的三条电场线，电场所在竖直平面内有一圆，A点为圆上和圆心同一高度的点，B点为圆上的最高点。位于A点的粒子源在竖直面内沿各个方向发射带正电的同种粒子(不计粒子重力)，粒子的初速度大小均为v0，竖直向上发射的粒子恰好经过B点，则从圆上离开的粒子的最大速度大小为(　　)
A．3v0　 B．2v0
C.v0 D．v0
解析：选A　设粒子所带电荷量为＋q，质量为m，电场强度为E，圆的半径为R，因竖直向上发射的粒子做类平抛运动经过B点，故电场方向水平向右，且有a＝，R＝v0t，R＝at2，解得qE＝。粒子从圆上右侧与圆心等高处离开时电场力做的功最大，粒子的速度最大，则有qE×2R＝mv2－mv02，可得v＝3v0，选项A正确。
2．(多选)如图所示，半径R＝0.5 m的圆弧接收屏位于电场强度方向竖直向下的匀强电场中，OB水平。一质量为m＝10－4 kg、带电量为q＝8.0×10－5 C的粒子，从与圆弧圆心O等高且距O点0.3 m处的A点以初速度v0＝3 m/s 水平射出，粒子重力不计，粒子恰好能垂直打到圆弧曲面上的C点(图中未画出)，取C点电势φ＝0，则(　　)
A．该匀强电场的电场强度E＝100 N/C
B．粒子在A点的电势能为8×10－5 J
C．粒子到达C点的速度大小为5 m/s
D．粒子速率为4 m/s时的电势能为4.5×10－4 J
解析：选CD　粒子在电场力作用下做类平抛运动，如图所示，因粒子垂直打在C点，由类平抛运动规律知：C点速度方向的反向延长线必过O点，且OD＝AO＝0.3 m，DC＝0.4 m，则AD＝v0t，DC＝t2，联立并代入数据可得：E＝25 N/C，故A错误；因UDC＝E·DC＝10 V，而A、D两点电势相等，所以φA＝10 V，即粒子在A点的电势能为：Ep＝qφA＝8×10－4 J，故B错误；从A点到C点由动能定理知：qUAC＝mvC2－mv02，代入数据得：vC＝5 m/s，故C正确；粒子在C点的总能量：EC＝mvC2＝×10－4×52 J＝1.25×10－3 J，由能量守恒定律可知，粒子速率为4 m/s时的电势能为：Ep′＝EC－mv2＝1.25×10－3 J－×10－4×42 J＝4.5×10－4 J，故D正确。
命题点三　电场中的图像问题
题型1　v ­t图像问题
根据v ­t图像的速度变化、斜率变化确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
[例1]　(多选)如图甲，直线MN表示某电场中一条电场线，a、b是线上的两点，将一带负电的粒子从a点处由静止释放，粒子从a运动到b过程中的v­t图线如图乙所示。设a、b两点的电势分别为φa、φb，电场强度大小分别为Ea、Eb，粒子在a、b两点的电势能分别为Wa、Wb，不计重力，则有(　　)
A．φa＞φb B．Ea＞Eb
C．Ea＜Eb D．Wa＞Wb
[解析]　由v­t 图像的斜率减小可知，由a到b的过程中，粒子的加速度减小，所以电场强度变小，Ea＞Eb；根据能量守恒定律，粒子的速度增大，可知电势能减小，Wa＞Wb，因粒子带负电，则φa<φb，可得选项B、D正确。
[答案]　BD
题型2　E ­t图像问题
根据题中给出的E­t图像，确定E的方向，再在草稿纸上画出对应电场线的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布。
[例2]　(多选)如图甲，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，0～时间内微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出。微粒运动过程中未与金属板接触。重力加速度的大小为g。关于微粒在0～T时间内运动的描述，正确的是(　　)

A．末速度大小为 v0
B．末速度沿水平方向
C．重力势能减少了mgd
D．克服电场力做功为mgd
[解析]　0～时间内微粒匀速运动，有mg＝qE0。把微粒的运动分解，水平方向：做速度为v0的匀速直线运动；竖直方向：～时间内，只受重力，做自由落体运动，时刻，v1y＝g；～T时间内，a＝＝g，做匀减速直线运动，T时刻，v2y＝v1y－a·＝0，所以末速度v＝v0，方向沿水平方向，选项A错误，B正确；重力势能的减少量ΔEp＝mg·＝mgd，选项C正确；根据动能定理有mgd－W克电＝0，得W克电＝mgd，选项D错误。
[答案]　BC
题型3　E ­x图像问题
1．E ­x图像反映了场强随位移变化的规律。
2．E>0表示场强沿x轴正方向，E<0表示场强沿x轴负方向。
3．图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低需根据电场方向判定。
[例3]　(多选)(2019·临沂模拟)沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑电场力作用，则(　　)
A．从O点到C点，电势先升高后降低
B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C．粒子在AB段电势能变化量大于BC段的电势能变化量
D．粒子运动到C点时动能小于3Ek
[解析]　由题图知，从O点到C点，沿电场线方向，电势逐渐降低，A项错误；由静止释放的粒子所受电场力与速度方向一致，所以粒子一直做加速直线运动，在0～x1段电场强度逐渐变大，粒子所受电场力逐渐变大，做加速度增大的变加速直线运动，B项错误；E­x图像中图线与坐标轴围成的图形“面积”代表电势差，AB段的电势差大于BC段的电势差，故电场力做功WAB>WBC，由电场力做功与电势能变化的关系得，粒子在AB段电势能变化量大于BC段的电势能变化量，C项正确；由E­x图像中图线与坐标轴围成的图形“面积”代表电势差，UOA＝E0x1，UACUAC，由动能定理qU＝ΔEk，得qUOA＝Ek－0，qUAC＝EkC－Ek，知粒子运动到C点时动能小于3Ek，D项正确。
[答案]　CD
题型4　φ ­x图像问题
1．电场强度的大小等于φ ­x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ ­x图线存在极值，其切线的斜率为零。
2．在φ ­x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。
3．在φ ­x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，根据WAB的正负作出判断。
[例4]　点电荷q1、q2固定在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中C为ND段电势最低的点，则下列说法正确的是(　　)

A．q1、q2为等量异种电荷
B．N、C两点间场强方向沿x轴负方向
C．N、D两点间的场强大小沿x轴正方向先减小后增大
D．将一正点电荷从N点移到D点，电势能先增大后减小
[解析]　由题图知，q1左侧和q2右侧电势随距离增大而降低，可判断两者均为正电荷，A错误；由沿电场线方向电势逐渐降低知，N、C间的场强方向沿x轴正方向，C点场强为0，B错误；根据ND段图线的斜率大小先减小后增大可知，场强先减小到零后增大，C正确；正点电荷从N点移到D点，由Ep＝qφ知，电势能先减小后增大，D错误。
[答案]　C
题型5　Ep ­x图像问题
1．Ep ­x图像反映了电势能随位移变化的规律。
2．图线的切线斜率大小等于电场力大小。
3．可用于判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况。
[例5]　(多选)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是(　　)
A．x1处电场强度为零
B．x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2>φ3
C．粒子在O～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动
D．x2～x3段对应匀强电场
[解析]　根据电势能与电势的关系Ep＝qφ及电场强度大小与电势的关系E＝得E＝·，由数学知识可知Ep­x图像切线的斜率大小等于，x1处切线斜率为零，则x1处电场强度为零，故A正确；由题图可看出在O～x1 段图像切线的斜率不断减小，由A项分析知电场强度减小，粒子所受的电场力减小，加速度减小，做非匀变速运动；x1～x2段图像切线的斜率不断增大，电场强度增大，粒子所受的电场力增大，做非匀变速运动；x2～x3段斜率不变，则电场强度大小和方向均不变，对应匀强电场，粒子所受的电场力不变，做匀变速直线运动，故C错误，D正确；根据粒子带负电，即q<0，则电势能越大，粒子所在处的位置电势越低，所以有φ1>φ2>φ3，故B正确。
[答案]　ABD
[集训冲关]
1.平行板间有如图所示的周期性变化的电压。重力不计的带电粒子静止在平行板中央，从t＝0时刻开始将其释放，运动过程无碰板情况。在各选项所示的图像中，能正确定性描述粒子运动的速度图像的是(　　)

解析：选A　0～时间内粒子做初速度为零的匀加速直线运动；～T时间内做加速度大小与0～时间内相等的匀减速直线运动，由对称性可知，在T时刻速度减为零。此后周期性重复，故A正确。
2.在x轴上有两个点电荷q1和q2，其中有一个点电荷位于x＝0处，x轴上的电势φ随x变化的关系如图所示，则(　　)
A．x＝x1处电场强度为0
B．x＝x2处电场强度不为0
C．q1、q2为不等量异种点电荷，且正电荷在x＝0处，负电荷在x<0的某处
D．q1、q2为等量异种点电荷，且正电荷在x＝0处，负电荷在x>0的某处
解析：选C　由题图图像的斜率表示电场强度可知，x＝x1处电场强度不为0，x＝x2处电场强度为0，选项A、B错误；在两点电荷连线上出现电场强度为零的点有两种情况，一是同种电荷之间某点，该点两侧电势变化形状基本相同，二是异种电荷连线之外；x＝0处向右电势逐渐降低，说明电场强度方向向右，x＝0处为正电荷，负电荷应该在x<0某处，且负电荷电荷量较大，所以q1、q2为不等量异种点电荷，选项C正确，D错误。
3.在某个电场中，x轴上各点的电场强度E随x坐标变化的图线如图所示，图线关于原点O中心对称。一质量为m、电荷量为q的粒子只在电场力作用下沿x轴做直线运动，x轴上x＝x1和x＝－x1是粒子运动轨迹上的两点，下列说法中正确的是(　　)
A．x轴上x＝x1和x＝－x1两点电场强度和电势都相同
B．粒子从x＝－x1点到x＝x1点的运动过程中，经过x＝x1和x＝－x1两点时速度一定相同
C．粒子运动过程中，经过x＝x1点的加速度与经过x＝－x1点的加速度相同
D．粒子从x＝－x1点到x＝x1点的运动过程中电势能先增大后减小
解析：选B　由E­x图像可知，x＝x1和x＝－x1两点电场强度大小相等、方向相反，故选项A错误；粒子在这两点所受电场力也大小相等、方向相反，由于粒子只在电场力作用下运动，根据牛顿第二定律可知，粒子在这两点的加速度大小相等、方向相反，故选项C错误；E­x图像中图线与横轴所围的面积表示电势差，因此粒子由x＝－x1运动到x＝0的过程和由x＝0运动到x＝x1的过程电场力分别做的功满足W1＝－W2，根据动能定理可知，粒子经过x＝x1和x＝－x1 两点时速度一定相同，故选项B正确；题中未能说明粒子的电性或运动状态，因此粒子从x＝－x1点到x＝x1点的运动过程中电势能可能先增大后减小，也可能先减小后增大，故选项D错误。