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2020年高考物理新课标第一轮总复习讲义：第一章第三讲 运动图象 追及和相遇问题
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第三讲 运动图象 追及和相遇问题
热点一 运动图象的理解与应用 (自主学习)
1．三种运动图象
图象
x－t图象
v－t图象
a－t图象
图象
实例
图线
含义
图线①表示质点做匀速_直线运动 (斜率表示速度v)
图线①表示质点做匀加速直线运动 (斜率表示加速度a)
图线①表示质点做加速度逐渐增大的直线运动
图线②表示质点静止_
图线②表示质点做匀速直线运动
图线②表示质点做匀变速直线运动
图线③表示质点向负_方向做匀速直线运动
图线③表示质点做匀减速直线运动
图线③表示质点做加速度减小的直线运动
交点④表示此时三个质点相遇_
交点④表示此时三个质点有相同的速度_
交点④表示此时三个质点有相同的加速度_
点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)
点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移_)
点⑤表示t1时刻质点加速度为a1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的速度变化量)
2.对v－t图象的“三点”提醒
(1)v－t图象的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向．
(2)v－t图象在t轴上方表示速度为正，物体沿正方向运动；v－t图象在t轴下方表示速度为负，物体沿负方向运动．
(3)v－t图象与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．围成的面积在t轴上方，表示位移为正；围成的面积在t轴下方，表示位移为负．若图线与时间轴有交点，则物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和．
[易错警示]
1．x－t图象、v－t图象都不表示物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．
2．x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
3．无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．
1－1.[v－t图象] (多选)(2018·湖南雅礼中学段考)利用传感器与计算机可以绘制出物体运动的图象，某同学在一次实验中得到沿平直轨道运动小车的速度—时间图象，如图所示，由此图象可知( )
A．小车在20～40 s做加速度恒定的匀变速直线运动
B．20 s末小车回到出发点
C．小车在10～20 s内与20～30 s内的加速度方向相同
D．小车在0～10 s内的平均速度小于在10～20 s内的平均速度
解析：20～30 s和30～40 s，加速度的方向相反，A错；20 s末，正向位移最大，B错.10～20 s和20～30 s内，图线斜率符号相同，说明加速度方向相同，C对．小车在0～10 s内的位移小于10～20 s内的位移，故平均速度也小些，D对．
答案：CD
1－2.[x－t图象] (多选)如图所示，A、B两物体从同一点开始运动，从A、B两物体的位移图象可知下述说法中正确的是( )
A．A、B两物体同时自同一位置向同一方向运动
B．A、B两物体自同一位置向同一方向运动，
B比A晚出发2 s
C．A、B两物体速度大小均为10 m/s
D．A、B两物体在A出发后4 s时距原点20 m处相遇
解析：由x－t图象可知，A、B两物体自同一位置向同一方向运动，且B比A晚出发2 s，图象中直线的斜率大小表示做匀速直线运动的速度大小，由x－t图象可知，B物体的运动速度大小比A物体的运动速度大小要大，A、B两直线的交点的物理意义表示相遇，交点的坐标表示相遇的时刻和相遇的位置，故A、B两物体在A物体出发后4 s时相遇．相遇位置距原点20 m，综上所述，B、D选项正确．
答案：BD
1－3.[a－t图象] (2018·河南洛阳二模)宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都用到急动度的概念．加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相同．一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时的急动度和t＝5 s时的急动度等大反向
B．2～4 s内的质点做减速运动
C．t＝6 s时质点速度大小等于7 m/s
D．0～6 s内质点速度方向不变
解析：加速度对时间的变化率称为急动度，等于a－t图象的斜率．则知t＝3 s时的急动度和t＝5 s时的急动度等大同向，故A错误；根据a－t图象与t轴所围的面积表示速度的变化量，知2～4 s内质点的速度增大，做加速运动，故B错误，0～6 s速度的变化量为Δv＝×2＋×2×2＋×2×＝3 m/s，因初速度为0，故t＝6 s时的速度为3 m/s，故C错误；根据a－t图象与t轴所围的面积表示速度的变化量，知0～6 s内质点速度的变化量均为正，说明质点速度方向不变，故D正确．
答案：D
1－4.[两类图象的比较] (多选)如图甲、乙所示的位移—时间(x－t)图象和速度—时间(v－t)图象中，给出了四条曲线1、2、3、4，代表四个不同物体的运动情况，则下列说法中错误的是( )
A．图线1、3表示物体做曲线运动
B．x－t图象中0～t1时间内物体1和2的平均速度相等
C．v－t图象中t4时间内3的加速度大于4的加速度
D．两图象中，t2、t5时刻分别表示2、4开始反向运动
解析：运动图象反映物体的运动规律，不是运动轨迹，无论速度—时间图象还是位移—时间图象只能表示物体做直线运动，故A错误；由平均速度＝知x－t图象在0～t1时间内两物体的位移Δx相同，时间Δt相等，则平均速度相等，故B正确；在v－t图线中图线的斜率表示物体的加速度，在0～t4时间内的前半段图线3的斜率小于图线4的斜率，a3a4，故3的瞬时加速度不是总大于4的瞬时加速度，故C错误；
x－t图线的斜率等于物体的速度，斜率大于0，表示物体沿正方向运动；斜率小于0，表示物体沿负方向运动，而t2时刻之前物体的运动沿正方向，t2时刻之后物体沿负方向运动，故t2时刻开始反向运动．v－t图象中速度的正负表示运动方向，从0～t5这段时间内速度为正，故t5时刻反向运动，故D正确．本题选错误的，故选A、C.
答案：AC
1－5. [图象的转换] 一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图所示．下列v－t图象中，可能正确描述此物体运动的是( )
解析：由题图可知，在0～时间内a＝a0＞0，若v0≥0，物体做匀加速运动；若v0＜0，物体做匀减速运动，故选项B、C错误；由于在T～2T时间内a＝－a0，故物体做匀变速运动且图线斜率的绝对值与0～时间内相同，故A错误，D正确．
答案：D
热点二 追及、相遇问题 (师生共研)
1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法(结合A、B的运动性质具体分析)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0＜xB，则能追上；xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；xA＋x0＞xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
4．牢记“一个思维流程”
[典例] 如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6 s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5 m/s2，求：
(1)两辆汽车再经过多长时间相遇；
(2)两辆汽车相遇处距A处的距离．
[审题指导] (1)两车相遇时若出现vA＞vB，因有a2＞a1，必出现第二次相遇．
(2)若出现两次相遇，则相遇时间和相遇距离均出现两个答案．
解析：(1)甲车运动6 s的位移为x0＝a1t＝45 m，此时甲车尚未追上乙车．
设此后经过时间t与乙车相遇，则有a1(t＋t0)2＝a2t2＋85 m
将上式代入数据并整理得：t2－12t＋32＝0
解得：t1＝4 s，t2＝8 s
t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s时，乙车追上甲车再次相遇．
(2)第一次相遇地点距A的距离：x1＝a1(t1＋t0)2＝125 m
第二次相遇地点距A的距离：x2＝a1(t2＋t0)2＝245 m.
答案：(1)4 s 8 s (2)125 m 245 m
[反思总结]
追及与相遇问题的类型及解题思路
1．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇，各自位移之差等于开始时两物体之间的距离．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
2．追及问题涉及两个不同物体的运动关系，分析时要紧抓“一个图和三个关系式”，即：过程示意图或v－t图象，速度关系式、时间关系式和位移关系式，同时要关注题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等．
3．v－t图象具体情况如下：
(1)速度小者追速度大者
类型
图象
说明
匀加速追匀速
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大
②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小
④能追及且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
(2)速度大者追速度小者
类型
图象
说明
匀减速追匀速
开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
2－1.[追及和相遇问题] 如图所示，两条曲线为汽车a、b在同一条平直公路上的v－t图象，已知在t2时刻两车相遇，下列说法正确的是( )
A．在t1～t2时间内，a车加速度先增大后减小
B．在t1～t2时间内，a车的位移比b车的小
C．t2时刻可能是b车追上a车
D．t1时刻前的某一时刻两车可能相遇
解析：图线切线的斜率表示加速度，可知a车的加速度先减小后增大，故A错误；图象与t轴围成面积表示位移，则在t1～t2时间内，a车的位移比b车的大，故B错误；在t2时刻，两车相遇，在t1～t2时间内，a图线与时间轴围成的面积大，则a的位移大，可知t1时刻，b车在前，a车在后，则t2时刻是a车追上b车，故C错误；t1时刻，b车在前，a车在后，在t1时刻之前b的位移比a的位移大，所以t1时刻前的某一时刻两车可能相遇，故D正确．
答案：D
2－2.[追及和相遇问题] (2018·西安交大附中期中)甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度经过某一路标，以后甲车一直作匀速直线运动，乙车选加速后减速运动，丙车先减速后加速运动，它们经过下一路标时的速度又相同，则( )
A．甲车先通过下一个路标
B．乙车先通过下一个路标
C．丙车先通过下一个路标
D．三车同时到达下一个路标
解析：根据题意作图：
由图可知：乙车先过路标，故选B.
答案：B
2－3.[相遇问题的求解] 同向运动的甲乙两质点在某时刻恰好通过同一路标，以此时为计时起点，此后甲质点的速度随时间的变化关系为v＝4t＋12(m/s)，乙质点位移随时间的变化关系为x＝2t＋4t2(m)，试求：
(1)两质点何时再次相遇；
(2)两质点相遇之前何时相距最远，最远的距离是多少？
解析：(1)由甲质点的速度与时间变化关系式知：甲做初速度v10＝12 m/s，a1＝4 m/s2的匀加速直线运动
x1＝12t＋2t2
v1＝12＋4t
由乙质点的位移与时间变化关系式知：乙做初速度为v20＝2 m/s，a2＝8 m/s2的匀变速直线运动即
x2＝2t＋4t2
v2＝2＋8t
甲乙再次相遇知：x1＝x2
代入数据得：t＝5 s.
(2)甲乙速度相等时相距最远即v1＝v2
代入数据得：t＝2.5 s
最远距离Δxm＝x1－x2
代入数据得：Δxm＝12.5 m.
答案：(1)5 s (2)12.5 m
1．一质点沿x轴做直线运动，其v－t图象如图所示．质点在t＝0时位于x＝3 m处，开始沿x轴正方向运动．当t＝7 s时，质点在轴上的位置坐标为( B )
A．x＝3.5 m B．x＝6.5 m
C．x＝9 m D．x＝11.5 m
2．A、B两质点从同一地点沿同一方向开始做直线运动，A、B两质点运动的x－t 图象，如图所示，则下列说法正确的是( C )
A．B质点最初4 s做加速运动，后4 s做减速运动
B．A质点以20 m/s2的加速度做匀加速运动
C．A、B两质点在4 s时相遇
D．在0～4 s内两个质点间的距离在一直增大
3．一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( B )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
4．如图所示，A、B两物体在同一直线上运动，当它们相距s0＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以v1＝4 m/s的速度向右做匀速运动，而物体B此时速度v2＝10 m/s向右，以a＝－2 m/s2的加速度做匀减速运动，求：
(1)经过多长时间A追上B；
(2)若v1＝8 m/s，则又经过多长时间A追上B.(计算结果保留两位小数)
解析：(1)B减速为零的时间t1＝＝5 s，此时B的位移为xB＝＝25 m，A的位移为xA＝v1t1＝20 m，因为xA＜xB＋s0，故B速度减为零时，A未追上．A追上B时s0＋xB＝v1t，得追及的时间t＝＝8 s.
(2)若v1＝8 m/s时，根据s0＝xA－xB，xA＝v1t2，xB＝v2t2＋at，
解得t1＝1＋2(s)≈3.83 s＜t＝5 s，是合理的．
答案：(1)8 s (2)3.83 s
[A组·基础题]
1．(2018·湖南省长郡中学月考)如图所示，直线a与四分之一圆弧b分别表示两质点A、B从同一地点出发、沿同一方向做直线运动的v－t图．当B的速度变为0时，A恰好追上B，则A的加速度为( D )
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C. m/s2 D． m/s2
2．甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x－t)图象如图所示，由图象可以看出在0～4 s内( C )
A．甲、乙两物体始终同向运动
B．4 s时甲、乙两物体间的距离最大
C．甲的平均速度等于乙的平均速度
D．甲、乙两物体之间的最大距离为4 m
3. (2018·湖南长沙市一中月考)甲、乙两车在平直公路上行驶，其v－t图象如图所示，t＝0时，两车间距为s0；t0时刻，甲、乙两车相遇，0～t0时间内甲车发生的位移为s，下列说法正确的是( D )
A．0～t0时间内甲车在前，t0～2t0时间内乙车在前
B．0～2t0时间内甲车平均速度的大小是乙车平均速度大小的2倍
C．2t0时刻甲、乙两车相距s0
D．s0＝s
4．甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示．已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则下列说法正确的是( C )
A．甲车的初速度为零
B．乙车的初位置在x0＝60 m处
C．乙车的加速度大小为1.6 m/s2
D．5 s时两车相遇，此时甲车速度较大
5．汽车在平直公路上做刹车实验，若从t＝0时起汽车在运动过程中的位移x与速度的平方v2之间的关系，如图所示，下列说法正确的是( B )
A．刹车过程持续的时间为5 s
B．t＝0时汽车的速度为10 m/s
C．刹车过程经过3 s的位移为7.5 m
D．刹车过程汽车加速度大小为10 m/s2
6．(多选)如图所示，一个物体的运动速度—时间图象如图所示，其中t1～t2时间段为曲线，其他时间段为直线，则有关物体的运动，下列说法正确的是( AD )
A．0
C．t2时刻物体的位移开始减小
D．t2时刻物体的速度方向未发生变化
7．(2018·安徽省皖江名校最后一卷)小明和小华操控各自的玩具赛车甲、乙在小区平直的路面上做直线运动，t＝0时刻两赛车恰好并排，此后两赛车运动的位移x与时间t的比值随时间t的关系如图所示，对于甲、乙两赛车前2 s的运动，下列说法正确的是( B )
A．t＝1 s时，甲超过乙最远
B．t＝1 s时，甲、乙两赛车相遇
C．t＝2 s时，甲超过乙最远
D．t＝2 s时，甲、乙两赛车相遇
解析：甲赛车恒定不变，故做匀速直线运动，速度为v甲＝1 m/s.根据x＝v0t＋at2可得＝at＋v0可知乙赛车初速度为零，加速度为a＝2 m/s2，故两质点在t＝0.5 s时速度相等，此时两者相距最远；当两者相遇时v甲t＝at2，解得t＝1 s，甲乙相遇，B正确．
8．(2018·浙江杭州高考预测卷)设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为s.现有四个不同物体的运动图象如图所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是( C )
A. B．
C. D．
解析：A图中，物体在0～2 s速度为正，沿规定的正方向运动；物体在2～4 s速度为负，沿规定正方向的反方向运动；物体不是做单向直线运动．B图中物体在0～1 s内位移增大，沿规定的正方向运动；物体在1～2 s位移减小，沿规定正方向的反方向运动；物体不是做单向直线运动．C图中物体在在0～1 s内做匀加速运动，沿规定的正方向运动；物体在1～2 s做匀减速运动，第2 s速度恰好变成0，在1～2 s内做速度减小的正方向运动．然后重复上面的过程，物体做单向直线运动．D图中物体在在0～1 s内做匀加速运动，沿规定的正方向运动；物体在1～2 s做匀减速运动，第2 s速度恰好变成0，在1～2 s内做速度减小的正方向运动；物体在在2～3 s内做反方向的匀加速运动，沿规定正方向的反方向运动，物体不是做单向直线运动．
[B组·能力题]
9．(多选)(2018·河南濮阳高三一模)已知半径一定的小球在空中下落过程中受到的空气阻力f正比于运动速率v，即满足f＝kv.比例系数k只与小球半径和空气密度有关．现将半径相同的实心铁球和实心塑料球在空中由静止开始下落，小球下落过程中的加速度与速度关系图象如图所示，已知空气密度均匀．则下列说法中正确的是( BD )
A．铁球对应于图中的a0值较大
B．铁球在图中的v m值较大
C．两球从开始下落至下落同样高度，铁球所用时间较长
D．铁球从开始下落至速度达到铁球所对应的v m的位移较大
解析：因为开始下落时空气阻力可以忽略，因此开始下落时两球的加速度相同，所以图中的a0相同，故A错误；当小球受力平衡时，达到最大速度，因为实心铁球的质量大于实心塑料球的质量，而空气阻力f正比于运动速率v，所以实心铁球在图中的最大速度大于实心塑料球的最大速度，故B正确；因为铁球下落时受到的阻力影响较小，所以铁球的加速度始终大于塑料球的加速度，两球均在空中由静止开始下落，故实心铁球速度大于实心塑料球，所以两球从开始下落至下落同样高度，铁球所用时间较短，故C错误；因为铁球下落时受到的阻力影响较小，所以铁球的平均加速度始终大于木球，并且实心铁球的最大速度大于实心塑料球，所以铁球从开始下落至铁球所对应的最大速度的位移较大，故D正确．
10．甲、乙两车在同一水平道路上，一前一后相距x＝6 m，乙车在前，甲车在后，某时刻两车同时开始运动，两车运动的过程如图所示，则下列表述正确的是( D )
A．当t＝4 s时两车相遇
B．当t＝4 s时两车间的距离最大
C．两车有两次相遇
D．两车有三次相遇
11．(2018·浙江杭州期末)高速公路上行驶的车辆速度很大，雾天易出现车辆连续相撞的事故．某天清晨，在一段限速为100 km/h的高速公路上有浓雾，一辆正以72 km/h速度行驶的汽车司机突然发现前方 60 m处有辆车打双闪灯停止不动，就立即刹车．若该司机反应时间为0.6 s，在反应时间内车速不变，若该汽车刹车后的加速度大小为5 m/s2.
(1)求该汽车在司机反应时间内前进的距离；
(2)求该汽车从刹车到停止所用时间；
(3)通过计算分析，该汽车是否会发生追尾事故．
解析：(1)轿车的最大速度为v＝72 km/h＝20 m/s，则轿车在反应时间内的位移x1＝vt1＝20×0.6 m＝12 m；
(2)刹车后做匀减速直线运动的时间，0－v＝at2，
t2＝＝ s＝4 s；
(3)刹车后做匀减速直线运动的位移x2＝＝ m＝40 m，汽车的位移：x＝x1＋x2＝12 m＋40 m＝52 m<60 m，不会追尾．
答案：(1)12 m (2)4 s (3)不会追尾
12．货车A正在公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75 m.
(1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间．
(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度至少多大才能避免事故．(假设两车始终在同一条直线上运动)．
解析：(1)当两车速度相等时，设经过的时间为t，
则vA＝vB
对B车vB＝at
联立可得t＝10 s
A车的位移xA＝vAt＝200 m
B车的位移xB＝at2＝100 m
又xB＋x0＝175 m＜xA
所以会撞上．
设经过时间t′，相撞，有vAt′＝x0＋at′2
代入数据解得：t′1＝5 s，t′2＝15 s(舍去)．
(2)设B车的加速度为aB，B车运动经过时间t，
两车相遇时，两车速度相等，则不会发生事故，此时
vA＝v0－aAt，vB＝aBt，且vA＝vB
在时间t内A车的位移xA＝v0t－aAt2
B车的位移xB＝aBt2
又xB＋x0＝xA
联立可得aB＝ m/s2＝0.67 m/s2.
答案：(1)相碰撞 5 s (2)0.67 m/s2
热点一 运动图象的理解与应用 (自主学习)
1．三种运动图象
图象
x－t图象
v－t图象
a－t图象
图象
实例
图线
含义
图线①表示质点做匀速_直线运动 (斜率表示速度v)
图线①表示质点做匀加速直线运动 (斜率表示加速度a)
图线①表示质点做加速度逐渐增大的直线运动
图线②表示质点静止_
图线②表示质点做匀速直线运动
图线②表示质点做匀变速直线运动
图线③表示质点向负_方向做匀速直线运动
图线③表示质点做匀减速直线运动
图线③表示质点做加速度减小的直线运动
交点④表示此时三个质点相遇_
交点④表示此时三个质点有相同的速度_
交点④表示此时三个质点有相同的加速度_
点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)
点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移_)
点⑤表示t1时刻质点加速度为a1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的速度变化量)
2.对v－t图象的“三点”提醒
(1)v－t图象的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向．
(2)v－t图象在t轴上方表示速度为正，物体沿正方向运动；v－t图象在t轴下方表示速度为负，物体沿负方向运动．
(3)v－t图象与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．围成的面积在t轴上方，表示位移为正；围成的面积在t轴下方，表示位移为负．若图线与时间轴有交点，则物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和．
[易错警示]
1．x－t图象、v－t图象都不表示物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．
2．x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
3．无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．
1－1.[v－t图象] (多选)(2018·湖南雅礼中学段考)利用传感器与计算机可以绘制出物体运动的图象，某同学在一次实验中得到沿平直轨道运动小车的速度—时间图象，如图所示，由此图象可知( )
A．小车在20～40 s做加速度恒定的匀变速直线运动
B．20 s末小车回到出发点
C．小车在10～20 s内与20～30 s内的加速度方向相同
D．小车在0～10 s内的平均速度小于在10～20 s内的平均速度
解析：20～30 s和30～40 s，加速度的方向相反，A错；20 s末，正向位移最大，B错.10～20 s和20～30 s内，图线斜率符号相同，说明加速度方向相同，C对．小车在0～10 s内的位移小于10～20 s内的位移，故平均速度也小些，D对．
答案：CD
1－2.[x－t图象] (多选)如图所示，A、B两物体从同一点开始运动，从A、B两物体的位移图象可知下述说法中正确的是( )
A．A、B两物体同时自同一位置向同一方向运动
B．A、B两物体自同一位置向同一方向运动，
B比A晚出发2 s
C．A、B两物体速度大小均为10 m/s
D．A、B两物体在A出发后4 s时距原点20 m处相遇
解析：由x－t图象可知，A、B两物体自同一位置向同一方向运动，且B比A晚出发2 s，图象中直线的斜率大小表示做匀速直线运动的速度大小，由x－t图象可知，B物体的运动速度大小比A物体的运动速度大小要大，A、B两直线的交点的物理意义表示相遇，交点的坐标表示相遇的时刻和相遇的位置，故A、B两物体在A物体出发后4 s时相遇．相遇位置距原点20 m，综上所述，B、D选项正确．
答案：BD
1－3.[a－t图象] (2018·河南洛阳二模)宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都用到急动度的概念．加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相同．一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时的急动度和t＝5 s时的急动度等大反向
B．2～4 s内的质点做减速运动
C．t＝6 s时质点速度大小等于7 m/s
D．0～6 s内质点速度方向不变
解析：加速度对时间的变化率称为急动度，等于a－t图象的斜率．则知t＝3 s时的急动度和t＝5 s时的急动度等大同向，故A错误；根据a－t图象与t轴所围的面积表示速度的变化量，知2～4 s内质点的速度增大，做加速运动，故B错误，0～6 s速度的变化量为Δv＝×2＋×2×2＋×2×＝3 m/s，因初速度为0，故t＝6 s时的速度为3 m/s，故C错误；根据a－t图象与t轴所围的面积表示速度的变化量，知0～6 s内质点速度的变化量均为正，说明质点速度方向不变，故D正确．
答案：D
1－4.[两类图象的比较] (多选)如图甲、乙所示的位移—时间(x－t)图象和速度—时间(v－t)图象中，给出了四条曲线1、2、3、4，代表四个不同物体的运动情况，则下列说法中错误的是( )
A．图线1、3表示物体做曲线运动
B．x－t图象中0～t1时间内物体1和2的平均速度相等
C．v－t图象中t4时间内3的加速度大于4的加速度
D．两图象中，t2、t5时刻分别表示2、4开始反向运动
解析：运动图象反映物体的运动规律，不是运动轨迹，无论速度—时间图象还是位移—时间图象只能表示物体做直线运动，故A错误；由平均速度＝知x－t图象在0～t1时间内两物体的位移Δx相同，时间Δt相等，则平均速度相等，故B正确；在v－t图线中图线的斜率表示物体的加速度，在0～t4时间内的前半段图线3的斜率小于图线4的斜率，a3
x－t图线的斜率等于物体的速度，斜率大于0，表示物体沿正方向运动；斜率小于0，表示物体沿负方向运动，而t2时刻之前物体的运动沿正方向，t2时刻之后物体沿负方向运动，故t2时刻开始反向运动．v－t图象中速度的正负表示运动方向，从0～t5这段时间内速度为正，故t5时刻反向运动，故D正确．本题选错误的，故选A、C.
答案：AC
1－5. [图象的转换] 一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图所示．下列v－t图象中，可能正确描述此物体运动的是( )
解析：由题图可知，在0～时间内a＝a0＞0，若v0≥0，物体做匀加速运动；若v0＜0，物体做匀减速运动，故选项B、C错误；由于在T～2T时间内a＝－a0，故物体做匀变速运动且图线斜率的绝对值与0～时间内相同，故A错误，D正确．
答案：D
热点二 追及、相遇问题 (师生共研)
1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法(结合A、B的运动性质具体分析)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0＜xB，则能追上；xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；xA＋x0＞xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
4．牢记“一个思维流程”
[典例] 如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6 s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5 m/s2，求：
(1)两辆汽车再经过多长时间相遇；
(2)两辆汽车相遇处距A处的距离．
[审题指导] (1)两车相遇时若出现vA＞vB，因有a2＞a1，必出现第二次相遇．
(2)若出现两次相遇，则相遇时间和相遇距离均出现两个答案．
解析：(1)甲车运动6 s的位移为x0＝a1t＝45 m，此时甲车尚未追上乙车．
设此后经过时间t与乙车相遇，则有a1(t＋t0)2＝a2t2＋85 m
将上式代入数据并整理得：t2－12t＋32＝0
解得：t1＝4 s，t2＝8 s
t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s时，乙车追上甲车再次相遇．
(2)第一次相遇地点距A的距离：x1＝a1(t1＋t0)2＝125 m
第二次相遇地点距A的距离：x2＝a1(t2＋t0)2＝245 m.
答案：(1)4 s 8 s (2)125 m 245 m
[反思总结]
追及与相遇问题的类型及解题思路
1．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇，各自位移之差等于开始时两物体之间的距离．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
2．追及问题涉及两个不同物体的运动关系，分析时要紧抓“一个图和三个关系式”，即：过程示意图或v－t图象，速度关系式、时间关系式和位移关系式，同时要关注题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等．
3．v－t图象具体情况如下：
(1)速度小者追速度大者
类型
图象
说明
匀加速追匀速
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大
②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小
④能追及且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
(2)速度大者追速度小者
类型
图象
说明
匀减速追匀速
开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
2－1.[追及和相遇问题] 如图所示，两条曲线为汽车a、b在同一条平直公路上的v－t图象，已知在t2时刻两车相遇，下列说法正确的是( )
A．在t1～t2时间内，a车加速度先增大后减小
B．在t1～t2时间内，a车的位移比b车的小
C．t2时刻可能是b车追上a车
D．t1时刻前的某一时刻两车可能相遇
解析：图线切线的斜率表示加速度，可知a车的加速度先减小后增大，故A错误；图象与t轴围成面积表示位移，则在t1～t2时间内，a车的位移比b车的大，故B错误；在t2时刻，两车相遇，在t1～t2时间内，a图线与时间轴围成的面积大，则a的位移大，可知t1时刻，b车在前，a车在后，则t2时刻是a车追上b车，故C错误；t1时刻，b车在前，a车在后，在t1时刻之前b的位移比a的位移大，所以t1时刻前的某一时刻两车可能相遇，故D正确．
答案：D
2－2.[追及和相遇问题] (2018·西安交大附中期中)甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度经过某一路标，以后甲车一直作匀速直线运动，乙车选加速后减速运动，丙车先减速后加速运动，它们经过下一路标时的速度又相同，则( )
A．甲车先通过下一个路标
B．乙车先通过下一个路标
C．丙车先通过下一个路标
D．三车同时到达下一个路标
解析：根据题意作图：
由图可知：乙车先过路标，故选B.
答案：B
2－3.[相遇问题的求解] 同向运动的甲乙两质点在某时刻恰好通过同一路标，以此时为计时起点，此后甲质点的速度随时间的变化关系为v＝4t＋12(m/s)，乙质点位移随时间的变化关系为x＝2t＋4t2(m)，试求：
(1)两质点何时再次相遇；
(2)两质点相遇之前何时相距最远，最远的距离是多少？
解析：(1)由甲质点的速度与时间变化关系式知：甲做初速度v10＝12 m/s，a1＝4 m/s2的匀加速直线运动
x1＝12t＋2t2
v1＝12＋4t
由乙质点的位移与时间变化关系式知：乙做初速度为v20＝2 m/s，a2＝8 m/s2的匀变速直线运动即
x2＝2t＋4t2
v2＝2＋8t
甲乙再次相遇知：x1＝x2
代入数据得：t＝5 s.
(2)甲乙速度相等时相距最远即v1＝v2
代入数据得：t＝2.5 s
最远距离Δxm＝x1－x2
代入数据得：Δxm＝12.5 m.
答案：(1)5 s (2)12.5 m
1．一质点沿x轴做直线运动，其v－t图象如图所示．质点在t＝0时位于x＝3 m处，开始沿x轴正方向运动．当t＝7 s时，质点在轴上的位置坐标为( B )
A．x＝3.5 m B．x＝6.5 m
C．x＝9 m D．x＝11.5 m
2．A、B两质点从同一地点沿同一方向开始做直线运动，A、B两质点运动的x－t 图象，如图所示，则下列说法正确的是( C )
A．B质点最初4 s做加速运动，后4 s做减速运动
B．A质点以20 m/s2的加速度做匀加速运动
C．A、B两质点在4 s时相遇
D．在0～4 s内两个质点间的距离在一直增大
3．一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( B )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
4．如图所示，A、B两物体在同一直线上运动，当它们相距s0＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以v1＝4 m/s的速度向右做匀速运动，而物体B此时速度v2＝10 m/s向右，以a＝－2 m/s2的加速度做匀减速运动，求：
(1)经过多长时间A追上B；
(2)若v1＝8 m/s，则又经过多长时间A追上B.(计算结果保留两位小数)
解析：(1)B减速为零的时间t1＝＝5 s，此时B的位移为xB＝＝25 m，A的位移为xA＝v1t1＝20 m，因为xA＜xB＋s0，故B速度减为零时，A未追上．A追上B时s0＋xB＝v1t，得追及的时间t＝＝8 s.
(2)若v1＝8 m/s时，根据s0＝xA－xB，xA＝v1t2，xB＝v2t2＋at，
解得t1＝1＋2(s)≈3.83 s＜t＝5 s，是合理的．
答案：(1)8 s (2)3.83 s
[A组·基础题]
1．(2018·湖南省长郡中学月考)如图所示，直线a与四分之一圆弧b分别表示两质点A、B从同一地点出发、沿同一方向做直线运动的v－t图．当B的速度变为0时，A恰好追上B，则A的加速度为( D )
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C. m/s2 D． m/s2
2．甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x－t)图象如图所示，由图象可以看出在0～4 s内( C )
A．甲、乙两物体始终同向运动
B．4 s时甲、乙两物体间的距离最大
C．甲的平均速度等于乙的平均速度
D．甲、乙两物体之间的最大距离为4 m
3. (2018·湖南长沙市一中月考)甲、乙两车在平直公路上行驶，其v－t图象如图所示，t＝0时，两车间距为s0；t0时刻，甲、乙两车相遇，0～t0时间内甲车发生的位移为s，下列说法正确的是( D )
A．0～t0时间内甲车在前，t0～2t0时间内乙车在前
B．0～2t0时间内甲车平均速度的大小是乙车平均速度大小的2倍
C．2t0时刻甲、乙两车相距s0
D．s0＝s
4．甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示．已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则下列说法正确的是( C )
A．甲车的初速度为零
B．乙车的初位置在x0＝60 m处
C．乙车的加速度大小为1.6 m/s2
D．5 s时两车相遇，此时甲车速度较大
5．汽车在平直公路上做刹车实验，若从t＝0时起汽车在运动过程中的位移x与速度的平方v2之间的关系，如图所示，下列说法正确的是( B )
A．刹车过程持续的时间为5 s
B．t＝0时汽车的速度为10 m/s
C．刹车过程经过3 s的位移为7.5 m
D．刹车过程汽车加速度大小为10 m/s2
6．(多选)如图所示，一个物体的运动速度—时间图象如图所示，其中t1～t2时间段为曲线，其他时间段为直线，则有关物体的运动，下列说法正确的是( AD )
A．0
C．t2时刻物体的位移开始减小
D．t2时刻物体的速度方向未发生变化
7．(2018·安徽省皖江名校最后一卷)小明和小华操控各自的玩具赛车甲、乙在小区平直的路面上做直线运动，t＝0时刻两赛车恰好并排，此后两赛车运动的位移x与时间t的比值随时间t的关系如图所示，对于甲、乙两赛车前2 s的运动，下列说法正确的是( B )
A．t＝1 s时，甲超过乙最远
B．t＝1 s时，甲、乙两赛车相遇
C．t＝2 s时，甲超过乙最远
D．t＝2 s时，甲、乙两赛车相遇
解析：甲赛车恒定不变，故做匀速直线运动，速度为v甲＝1 m/s.根据x＝v0t＋at2可得＝at＋v0可知乙赛车初速度为零，加速度为a＝2 m/s2，故两质点在t＝0.5 s时速度相等，此时两者相距最远；当两者相遇时v甲t＝at2，解得t＝1 s，甲乙相遇，B正确．
8．(2018·浙江杭州高考预测卷)设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为s.现有四个不同物体的运动图象如图所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是( C )
A. B．
C. D．
解析：A图中，物体在0～2 s速度为正，沿规定的正方向运动；物体在2～4 s速度为负，沿规定正方向的反方向运动；物体不是做单向直线运动．B图中物体在0～1 s内位移增大，沿规定的正方向运动；物体在1～2 s位移减小，沿规定正方向的反方向运动；物体不是做单向直线运动．C图中物体在在0～1 s内做匀加速运动，沿规定的正方向运动；物体在1～2 s做匀减速运动，第2 s速度恰好变成0，在1～2 s内做速度减小的正方向运动．然后重复上面的过程，物体做单向直线运动．D图中物体在在0～1 s内做匀加速运动，沿规定的正方向运动；物体在1～2 s做匀减速运动，第2 s速度恰好变成0，在1～2 s内做速度减小的正方向运动；物体在在2～3 s内做反方向的匀加速运动，沿规定正方向的反方向运动，物体不是做单向直线运动．
[B组·能力题]
9．(多选)(2018·河南濮阳高三一模)已知半径一定的小球在空中下落过程中受到的空气阻力f正比于运动速率v，即满足f＝kv.比例系数k只与小球半径和空气密度有关．现将半径相同的实心铁球和实心塑料球在空中由静止开始下落，小球下落过程中的加速度与速度关系图象如图所示，已知空气密度均匀．则下列说法中正确的是( BD )
A．铁球对应于图中的a0值较大
B．铁球在图中的v m值较大
C．两球从开始下落至下落同样高度，铁球所用时间较长
D．铁球从开始下落至速度达到铁球所对应的v m的位移较大
解析：因为开始下落时空气阻力可以忽略，因此开始下落时两球的加速度相同，所以图中的a0相同，故A错误；当小球受力平衡时，达到最大速度，因为实心铁球的质量大于实心塑料球的质量，而空气阻力f正比于运动速率v，所以实心铁球在图中的最大速度大于实心塑料球的最大速度，故B正确；因为铁球下落时受到的阻力影响较小，所以铁球的加速度始终大于塑料球的加速度，两球均在空中由静止开始下落，故实心铁球速度大于实心塑料球，所以两球从开始下落至下落同样高度，铁球所用时间较短，故C错误；因为铁球下落时受到的阻力影响较小，所以铁球的平均加速度始终大于木球，并且实心铁球的最大速度大于实心塑料球，所以铁球从开始下落至铁球所对应的最大速度的位移较大，故D正确．
10．甲、乙两车在同一水平道路上，一前一后相距x＝6 m，乙车在前，甲车在后，某时刻两车同时开始运动，两车运动的过程如图所示，则下列表述正确的是( D )
A．当t＝4 s时两车相遇
B．当t＝4 s时两车间的距离最大
C．两车有两次相遇
D．两车有三次相遇
11．(2018·浙江杭州期末)高速公路上行驶的车辆速度很大，雾天易出现车辆连续相撞的事故．某天清晨，在一段限速为100 km/h的高速公路上有浓雾，一辆正以72 km/h速度行驶的汽车司机突然发现前方 60 m处有辆车打双闪灯停止不动，就立即刹车．若该司机反应时间为0.6 s，在反应时间内车速不变，若该汽车刹车后的加速度大小为5 m/s2.
(1)求该汽车在司机反应时间内前进的距离；
(2)求该汽车从刹车到停止所用时间；
(3)通过计算分析，该汽车是否会发生追尾事故．
解析：(1)轿车的最大速度为v＝72 km/h＝20 m/s，则轿车在反应时间内的位移x1＝vt1＝20×0.6 m＝12 m；
(2)刹车后做匀减速直线运动的时间，0－v＝at2，
t2＝＝ s＝4 s；
(3)刹车后做匀减速直线运动的位移x2＝＝ m＝40 m，汽车的位移：x＝x1＋x2＝12 m＋40 m＝52 m<60 m，不会追尾．
答案：(1)12 m (2)4 s (3)不会追尾
12．货车A正在公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75 m.
(1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间．
(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度至少多大才能避免事故．(假设两车始终在同一条直线上运动)．
解析：(1)当两车速度相等时，设经过的时间为t，
则vA＝vB
对B车vB＝at
联立可得t＝10 s
A车的位移xA＝vAt＝200 m
B车的位移xB＝at2＝100 m
又xB＋x0＝175 m＜xA
所以会撞上．
设经过时间t′，相撞，有vAt′＝x0＋at′2
代入数据解得：t′1＝5 s，t′2＝15 s(舍去)．
(2)设B车的加速度为aB，B车运动经过时间t，
两车相遇时，两车速度相等，则不会发生事故，此时
vA＝v0－aAt，vB＝aBt，且vA＝vB
在时间t内A车的位移xA＝v0t－aAt2
B车的位移xB＝aBt2
又xB＋x0＝xA
联立可得aB＝ m/s2＝0.67 m/s2.
答案：(1)相碰撞 5 s (2)0.67 m/s2
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