2020版新一线高考物理（新课标）一轮复习教学案：第1章第3节　运动图象和追及相遇问题

第3节　运动图象和追及相遇问题

知识点一| 运动学图象

1．直线运动的x­t图象

(1)图象的物理意义

反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律。

(2)图线斜率的意义

①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小。

②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向。

(3)交点

两图线交点表示两物体相遇。

2．直线运动的v­t图象

(1)图象的物理意义

反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。

(2)图线斜率的意义

①图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小。

②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向。

(3)两种特殊的v­t图象

①匀速直线运动的v­t图象是与横轴平行的直线。

②匀变速直线运动的v­t图象是一条倾斜的直线。

(4)图象与时间轴围成的面积的意义(如图)

①图象与时间轴围成的面积表示位移。

②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负。

(5)交点

两图线交点表示此时两物体速度相同。

(1)无论是x­t图象还是v­t图象都只能描述直线运动。 (√)

(2)x­t图象交点表示相遇，v­t图象的交点表示速度相同。 (√)

(3)x­t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。 (×)

考法1　x­t图象信息的应用

1.物体A、B的x-t图象如图所示，由图可知(　　)

A．从第3 s起，两物体运动方向相同，且vA＞vB

B．两物体由同一位置开始运动，但物体A比B迟3 s才开始运动

C．在5 s内两物体的位移相等，5 s末A、B相遇

D．5 s内A、B的平均速度相等

A　[x-t图象的斜率大小表示物体运动的速度大小，斜率的正、负表示物体运动的方向，由题图可知，A正确；B物体的出发点在距离原点5 m处，A物体的出发点在原点处，B错误；物体B在5 s内的位移为10 m－5 m＝5 m，物体A在3～5 s内的位移为10 m，B＝ m/s＝1 m/s，A＝ m/s＝5 m/s，C、D错误。]

考法2　v­t图象信息的应用

2.(多选)一质点做直线运动的v­t图象如图所示，下列选项正确的是(　　)

A．在2～4 s内，质点所受合外力为零

B．质点在0～2 s内的加速度比4～6 s内的加速度大

C．在第4 s末，质点离出发点最远

D．在0～6 s内，质点的平均速度为5 m/s

AD　[由题图可知，在2～4 s内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，A对。由题图可知，质点在0～2 s内加速度大小为5 m/s2,4～6 s内加速度大小为10 m/s2，B错。由题图可知，在第5 s末，质点离出发点最远，C错。在0～6 s内，质点的平均速度＝＝5 m/s，D对。]

考法3　两类图象对比考查

3．(多选)(2019·晋中模拟)如图甲、乙所示的位移—时间(x-t)图象和速度—时间(v-t)图象中，给出了四条曲线1、2、3、4，代表四个不同物体的运动情况，则下列说法中错误的是(　　)

甲　　　　　　　　乙

A．图线1、3表示物体做曲线运动

B．x-t图象中0～t1时间内物体1和2的平均速度相等

C．v-t图象中0～t4时间内物体3的速度大于4的速度

D．两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动

ACD　[x-t图象和v-t图象只能表示物体做直线运动，故A错误。由平均速度＝知x-t图象中0～t1时间内两物体的位移Δx相同，时间Δt相等，则平均速度相等，故B正确。由v-t图象知0～t4时间内物体3的瞬时速度不是总大于物体4的瞬时速度，故C错误。x-t图线的斜率表示物体的速度，斜率大于0，表示物体沿正方向运动，斜率小于0，表示物体沿负方向运动，t2时刻之前物体2沿正方向运动，t2时刻之后物体2沿负方向运动，故t2时刻物体2开始反向运动；v-t图象中速度的正负表示运动方向，0～t5这段时间内物体4始终沿正方向运动，故D错误。]

[考法指导]　直线运动图象问题要根据物理情景中遵循的规律，由图象提取信息和有关数据，根据对应的规律公式对问题做出正确的解答。具体分析过程如下：

考法4　图象的转换

4．已知某质点的位移－时间图象如图所示，则它的速度—时间图象应是图(取原运动方向为正)(　　)

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

A　[由位移—时间图象可知，0～2 s内，v1＝＝ m/s＝3 m/s；2～4 s内，v2＝0；4～5 s内，v3＝＝ m/s＝－6 m/s。]

5．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a­t图象如图所示，则下列各v­t图象中可能正确描述此物体运动的是(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

D　[物体在0～时间内做加速度为a0的匀加速直线运动，时刻速度达到最大值，在～T时间内以最大速度做匀速直线运动，在T～时间内做加速度为a0的匀减速直线运动，a­t图线与t轴所围面积表示物体速度的变化量，可知时刻物体的速度减小为0，在～2T时间内物体开始做反向的加速度为a0的匀加速直线运动。]

知识点二| 追及相遇问题

1．概述

当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。

2．两类情况

(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。

(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近。

3．相遇问题的常见情况

(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离。

(2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离。

(1)同一直线上运动的两物体，后者若追上前者时，后者速度必须大于前者。 (×)

(2)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近。 (√)

(3)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。 (√)

1．追及、相遇问题中的“一个条件、两个关系”

(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。

2．追及、相遇问题的常见情景

假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情景：

(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。

(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。

(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB<x0，且之后vA≤vB。

3．解题思路和方法

⇒⇒⇒

[典例]　汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时。求：

(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少？

(2)经过多长时间A恰好追上B?

【思路点拨】　根据题意画出汽车A和B运动的过程如图所示。

解析：(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s

此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m

汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m

故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m。

(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s

运动的位移x′B＝＝25 m

汽车A在t1时间内运动的位移x′A＝vAt1＝20 m

此时相距Δx＝x′B＋x0－x′A＝12 m

汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s

故A追上B所用时间t＝t1＋t2＝8 s。

答案：(1)16 m　(2)8 s

考法1　匀速追匀加速

1．一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距车25 m处时，绿灯亮了，车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则(　　)

A．人能追上车，追赶过程中人跑了36 m

B．人不能追上车，人、车最近距离为7 m

C．人能追上车，追上车前人共跑了43 m

D．人不能追上车，且车开动后，人车距离越来越远

B　[在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，选项A、C错误，B正确。人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误。]

考法2　匀减速追匀速

2．火车以速率v1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上相距为s处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率v2做匀速运动，于是司机立即使火车做匀减速运动，加速度大小为a，则要使两火车不相撞，加速度a应满足的关系式为(　　)

A．a≥　　 B．a≥

C．a≥ D．a≥

D　[两火车速度相等时恰好不相撞，所经历的时间t＝，此过程中后面火车的位移x1＝，前面火车的位移x2＝v2t，二者位移关系x1＝x2＋s，解得a＝，故要使两车不相撞，a≥，选项D正确。]

考法3　匀速追匀减速

3．(2019·沈阳模拟)甲车以10 m/s的速度在平直的公路上前进，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以大小为0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时。求：

(1)乙车追上甲车前，两车相距的最大距离；

(2)乙车追上甲车所用的时间。

解析：(1)在乙车追上甲车之前，当两车速度相等时两车间的距离最大，设经过的时间为t1，乙车的速度为v1，甲车的初始速度为v2，甲车的加速度为a，则v1＝v2＋at1

代入数据解得t1＝12 s

此时甲车的位移为x1＝v2t1＋at＝84 m

乙车的位移为x2＝v1t1＝48 m

所以两车间的最大距离为Δx＝x1－x2＝36 m。

(2)设经过时间t2甲车停止，则有t2＝＝ s＝20 s

甲车在这段时间内发生的位移为x＝－＝100 m

乙车发生的位移为x′＝v1t2＝80 m

乙车追上甲车时甲车已经停下

则乙车追上甲车所用的时间为t3＝t2＋ s＝25 s。

答案：(1)36 m　(2)25 s

考法4　匀加速追匀速

4．近十年我国经济飞速发展，汽车走进了千家万户，驾车旅游成为一种休闲方式。在平直的公路上，一辆小汽车在路口等待交通灯，绿灯亮时一辆道路维护车在前方以v0＝10 m/s的速度前进，小汽车立即以a1＝2 m/s2的加速度启动时，两车相距x0＝75 m。则：

(1)汽车启动后经过多长时间从道路维护车旁经过？相遇之前两车相距最远是多少？

(2)若汽车刚从道路维护车旁经过时，汽车立即以a2＝4 m/s2的加速度刹车，问再经过多长时间两车第二次相遇？

解析：(1)设经t1时间小汽车从道路维护车旁经过，

由位移关系得v0t1＋75 m＝a1t，

解得t1＝15 s。

此时小汽车的速度v＝a1t1＝2×15 m/s＝30 m/s。

当两车速度相等时，两车相距最远。

设时间为t2，由v0＝a1t2，得t2＝5 s。

若最远距离为x，则有

v0t2＋75 m＝a1t＋x，

解得x＝100 m。

(2)由于小汽车停下来的时间

t＝＝7.5 s，

位移x1＝t＝112.5 m，

设两车第二次相遇时间为t4，

满足v0t4＝x1，解得t4＝11.25 s。

答案：(1)15 s　100 m　(2)11.25 s

考法5　匀减速追匀加速

5．在平直道路上，甲汽车以速度v匀速行驶。当甲车司机发现前方距离为d处的乙汽车时，立即以大小为a1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为a2的加速度沿甲车运动的方向匀加速运动，则(　　)

A．甲、乙两车之间的距离一定不断减小

B．甲、乙两车之间的距离一定不断增大

C．若v＞，则两车一定不会相撞

D．若v＜，则两车一定不会相撞

D　[甲车做减速运动，乙车做加速运动，两车速度相同时，距离最小，若此时没有相遇，以后就不可能相撞。两车速度相等时有：v－a1t＝a2t，解得t＝，两车恰好不相撞时有：vt－a1t2＝d＋a2t2，解得v＝，所以v<两车一定不会相撞。]

考法6　匀加速追匀减速

6.2016年世界中学生五人制足球锦标赛落下帷幕，代表中国参赛的河南男队和河北女队取得了优异成绩。五人制足球的赛场长40 m，宽20 m，如图所示。在比赛中，攻方队员在中线附近突破防守队员，将足球沿边路向前踢出，足球的运动可视为初速度为v1＝6 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为a1＝1 m/s2。该队员将足球踢出后立即由静止开始追赶足球，他的运动可视为匀加速直线运动，加速度为a2＝1 m/s2，能达到的最大速度为v2＝4 m/s。该队员至少经过多长时间能追上足球？

解析：设足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为x1，则x1＝，解得x1＝18 m

足球匀减速运动时间为t1＝＝6 s

该队员匀加速至v2所需时间

t2＝＝4 s

在此过程中的位移x2＝＝8 m

之后该队员做匀速直线运动，到足球停止运动时，其匀速运动位移为x3＝v2(t1－t2)＝8 m

由于x2＋x3<x1，故足球停止运动时，该队员没有追上足球，然后该队员继续以最大速度匀速运动追赶足球，由匀速运动公式得x1－(x2＋x3)＝v2t3

代入数据解得t3＝0.5 s

该队员追上足球的时间t＝t1＋t3＝6.5 s。

答案：6.5 s

考法7　追及相遇问题的位移图象

7.(多选)(2018·全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)

A．在t1时刻两车速度相等

B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等

C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等

D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等

CD　[x­t图象某点的切线斜率表示瞬时速度，A错误；前t1时间内，由于甲、乙的出发点不同，故路程不同，B错误；t1～t2时间内，甲、乙的位移和路程都相等，大小都为x2－x1，C正确；t1～t2时间内，甲的x­t图象在某一点的切线与乙的x­t图象平行，此时刻两车速度相等，D正确。]

考法8　追及相遇问题的速度图象

8.(多选)(2016·全国卷Ⅰ)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v ­t图象如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)

A．在t＝1 s时，甲车在乙车后

B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m

C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s

D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m

BD　[由题图知，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a甲＝10 m/s2。乙车做初速度v0＝10 m/s、加速度a乙＝5 m/s2的匀加速直线运动。3 s内甲、乙车的位移分别为：

x甲＝a甲t＝45 m

x乙＝v0t3＋a乙t＝52.5 m

由于t＝3 s时两车并排行驶，说明t＝0时甲车在乙车前，Δx＝x乙－x甲＝7.5 m，选项B正确；t＝1 s时，甲车的位移为5 m，乙车的位移为12.5 m，由于甲车的初始位置超前乙车7.5 m，则t＝1 s时两车并排行驶，选项A、C错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为52.5  m－12.5 m＝40 m，选项D正确。]