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2019版高考数学(理)创新大一轮人教A全国通用版讲义:第九章平面解析几何第7节
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第7节 抛物线
最新考纲 1.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式:{M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=
-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=
-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线
方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
[常用结论与微点提醒]
1.通径:过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=x0+,也称为抛物线的焦半径.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.( )
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )
(4)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.( )
解析 (1)当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线.
(2)方程y=ax2(a≠0)可化为x2=y,是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是y=-.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.以x=1为准线的抛物线的标准方程为( )
A.y2=2x B.y2=-2x C.y2=4x D.y2=-4x
解析 由准线x=1知,抛物线方程为:
y2=-2px(p>0)且=1,p=2,
∴抛物线的方程为y2=-4x.
答案 D
3.(2018·黄冈联考)已知方程y2=4x表示抛物线,且该抛物线的焦点到直线x=m的距离为4,则m的值为( )
A.5 B.-3或5
C.-2或6 D.6
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),它与直线x=m的距离为d=|m-1|=4,∴m=-3或5,故选B.
答案 B
4.(选修2-1P73A4(2)改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为________.
解析 很明显点P在第三象限,所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上.
当焦点在x轴负半轴上时,设方程为y2=-2px(p>0),把点P(-2,-4)的坐标代入得(-4)2=-2p×(-2),
解得p=4,此时抛物线的标准方程为y2=-8x;
当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2=-2py(p>0),把点P(-2,-4)的坐标代入得(-2)2=-2p×(-4),解得p=,此时抛物线的标准方程为x2=-y.
综上可知,抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y.
答案 y2=-8x或x2=-y
5.已知抛物线方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1,因此k的取值范围是[-1,1].
答案 [-1,1]
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点D到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
(2)若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为________.
解析 (1)因为抛物线y2=x的准线方程为x=-.
如图所示,过点A,B,D分别作直线x=-的垂线,垂足分别为G,E,M,因为|AF|+|BF|=3,根据抛物线的定义,|AG|=|AF|,|BE|=|BF|,所以|AG|+|BE|=3,所以|MD|==,即线段AB的中点D到y轴的距离为-=.
(2)将x=3代入抛物线方程
y2=2x,得y=±.
∵>2,∴A在抛物线内部,如图.
设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).
答案 (1)C (2)(2,2)
规律方法 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+或|PF|=|y0|+.
【训练1】 (1)动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.
(2)如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵点M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
答案 (1)y2=4x (2)6
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】 (1)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
A.x2=y B.x2=y
C.x2=8y D.x2=16y
(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 (1)∵-=1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴=2,即==4,∴=.
x2=2py(p>0)的焦点坐标为,-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=
±x,即y=±x.由题意得=2,解得p=8.故C2的方程为x2=16y.
(2)不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2(r>0),
∵|AB|=4,|DE|=2,
抛物线的准线方程为x=-,
∴不妨设A,D,
∵点A,D在圆x2+y2=r2上,
∴+8=+5,解得p=4(负值舍去),
故C的焦点到准线的距离为4.
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练2】 (1)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为________.
(2)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为________.
(1)解析 设A,B在准线上的射影分别为A1,B1,
由于|BC|=2|BF|=2|BB1|,则直线的斜率为,
故|AC|=2|AA1|=6,从而|BF|=1,|AB|=4,
故==,即p=,从而抛物线的方程为y2=3x.
(2)如图,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,所以点A的横坐标为2,将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标为y=2,所以A(2,2),所以直线AF的方程为y=2(x-1),
联立直线与抛物线的方程
解得或由图知B,
所以S△AOB=×1×|yA-yB|=.
答案 (1)y2=3x (2)
考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究)
命题角度1 直线与抛物线的公共点(交点)问题
【例3-1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(1)求;
(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.
解 (1)如图,由已知得M(0,t),P,
又N为M关于点P的对称点,故N,
故直线ON的方程为y=x,
将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,
解得x1=0,x2=,因此H.
所以N为OH的中点,即=2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点,理由如下:
直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,
解得y1=y2=2t,
即直线MH与C只有一个公共点,
所以除H以外,直线MH与C没有其它公共点.
命题角度2 与抛物线弦长(中点)有关的问题
【例3-2】 (2017·北京卷)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1),过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点.
(1)解 把P(1,1)代入y2=2px,得p=,
所以抛物线C的方程为y2=x,
焦点坐标为,准线方程为x=-.
(2)证明 当直线MN斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.
由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去y得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
考虑Δ=(4k-4)2-4×4k2=16(1-2k),
由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以k<.
则x1+x2=,x1x2=.
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).
直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.
因为y1+-2x1=
=
=
==0.
所以y1+=2x1.
故A为线段BM的中点.
规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),由题意可知l1,l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k,则l2直线的斜率为-,故l1:y=k(x-1),l2:y=
-(x-1).
由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2==2+,
由抛物线定义可知,|AB|=x1+x2+2=4+.
同理得|DE|=4+4k2,
∴|AB|+|DE|=8+4k2+≥8+2=16.
当且仅当=k2,即k=±1时取等号.
故|AB|+|DE|的最小值为16.
答案 A
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.(2018·太原月考)若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a等于( )
A.1 B. C.2 D.
解析 因为抛物线的标准方程为x2=y,
所以其焦点坐标为,
则有=1,解得a=.
答案 D
2.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A. B.1
C. D.2
解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由PF⊥x轴知,|PF|=2,所以P点的坐标为(1,2),代入曲线y=(k>0)得k=2.
答案 D
3.(2018·张掖诊断)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=( )
A.9 B.8
C.7 D.6
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
答案 B
4.(2018·莆田质检)设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点,若|FA|=3,则直线FA的倾斜角为( )
A. B.
C.或 D.或
解析 如图,作AH⊥l于H,则|AH|=|FA|=3,作FE⊥AH于E,则|AE|=3-=,在Rt△AEF中,cos∠EAF==,
∴∠EAF=,即直线FA的倾斜角为,同理点A在x轴下方时,直线FA的倾斜角为.
答案 C
5.(2018·衡水调研)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y+y的最小值为( )
A.12 B.24
C.16 D.32
解析 当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,∴y+y=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),由得ky2-4y-16k=0,∴y1+y2=,y1y2=-16,∴y+y=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,综上可知,y+y≥32.
∴y+y的最小值为32.
答案 D
二、填空题
6.(2018·广东省际名校联考)圆(x+1)2+y2=1的圆心是抛物线y2=px(p<0)的焦点,则p=________.
解析 由题意知圆心为(-1,0),则=-1,解得p=-4.
答案 -4
7.(2018·黄山模拟)已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,延长AF交抛物线于点B,则△AOB的面积为________.
解析 F(2,0),设A在抛物线准线上的投影为A′,
由抛物线的定义知,|AA′|=|AF|,
则点A到点P(0,4)的距离与A到该抛物线准线的距离之和d=|AP|+|AF|≥|PF|=2,当F,A,P三点共线时d取得最小值,
此时直线AB的斜率为-2,方程为y=-2(x-2),即x=-+2,
代入抛物线C:y2=8x,可得y2+4y-16=0,
解得y=-2-2或-2+2.
∴△AOB的面积为×2×|(-2-2)-(-2+2)|=4.
答案 4
8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.
解析 建立如图平面直角坐标系,设抛物方程为x2=-2py(p>0).
由题意将点A(2,-2)代入x2=-2py,得p=1,故x2=-2y.设B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=,故水面宽为2米.
答案 2
三、解答题
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),
∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,∴抛物线方程为y2=8x.
(2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:x=y+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2-8y-8m=0,
Δ=64+32m>0,∴m>-2.
y1+y2=8,y1y2=-8m,
∴x1x2==m2.
由题意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,
∴m=8或m=0(舍),∴直线l2:x=y+8,M(8,0).
故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|
=3=24.
10.(2017·全国Ⅰ卷)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4.
于是直线AB的斜率k===1.
(2)由y=,得y′=.
设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,
故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7.
所以直线AB的方程为x-y+7=0.
能力提升题组
(建议用时:20分钟)
11.(2018·南昌模拟)已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限),若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A. B. C. D.
解析 由抛物线C1:y=x2(p>0)得x2=2py(p>0),
所以抛物线的焦点坐标为.
由-y2=1得a=,b=1,c=2.
所以双曲线的右焦点为(2,0).
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为=.即px+4y-2p=0.①
设M(x0>0),则C1在点M处的切线的斜率为.
由题意可知=,解得x0=p,
所以M,
把M点的坐标代入①得+p-2p=0.
解得p=.
答案 D
12.已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为________.
解析 如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即=,即m+n的最小值为-1.
答案 -1
13.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:
(1)y1y2=-p2,x1x2=;
(2)+为定值;
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为.
由题意可设直线方程为x=my+,代入y2=2px,
得y2=2p,即y2-2pmy-p2=0.(*)
则y1,y2是方程(*)的两个实数根,
所以y1y2=-p2.
因为y=2px1,y=2px2,所以yy=4p2x1x2,
所以x1x2===.
(2)+=+
=.
因为x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,
得+==(定值).
(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,
则|MN|=(|AC|+|BD|)=
(|AF|+|BF|)=|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
最新考纲 1.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式:{M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=
-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=
-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线
方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
[常用结论与微点提醒]
1.通径:过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=x0+,也称为抛物线的焦半径.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.( )
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )
(4)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.( )
解析 (1)当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线.
(2)方程y=ax2(a≠0)可化为x2=y,是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是y=-.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.以x=1为准线的抛物线的标准方程为( )
A.y2=2x B.y2=-2x C.y2=4x D.y2=-4x
解析 由准线x=1知,抛物线方程为:
y2=-2px(p>0)且=1,p=2,
∴抛物线的方程为y2=-4x.
答案 D
3.(2018·黄冈联考)已知方程y2=4x表示抛物线,且该抛物线的焦点到直线x=m的距离为4,则m的值为( )
A.5 B.-3或5
C.-2或6 D.6
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),它与直线x=m的距离为d=|m-1|=4,∴m=-3或5,故选B.
答案 B
4.(选修2-1P73A4(2)改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为________.
解析 很明显点P在第三象限,所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上.
当焦点在x轴负半轴上时,设方程为y2=-2px(p>0),把点P(-2,-4)的坐标代入得(-4)2=-2p×(-2),
解得p=4,此时抛物线的标准方程为y2=-8x;
当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2=-2py(p>0),把点P(-2,-4)的坐标代入得(-2)2=-2p×(-4),解得p=,此时抛物线的标准方程为x2=-y.
综上可知,抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y.
答案 y2=-8x或x2=-y
5.已知抛物线方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1,因此k的取值范围是[-1,1].
答案 [-1,1]
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点D到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
(2)若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为________.
解析 (1)因为抛物线y2=x的准线方程为x=-.
如图所示,过点A,B,D分别作直线x=-的垂线,垂足分别为G,E,M,因为|AF|+|BF|=3,根据抛物线的定义,|AG|=|AF|,|BE|=|BF|,所以|AG|+|BE|=3,所以|MD|==,即线段AB的中点D到y轴的距离为-=.
(2)将x=3代入抛物线方程
y2=2x,得y=±.
∵>2,∴A在抛物线内部,如图.
设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).
答案 (1)C (2)(2,2)
规律方法 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+或|PF|=|y0|+.
【训练1】 (1)动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.
(2)如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵点M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
答案 (1)y2=4x (2)6
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】 (1)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
A.x2=y B.x2=y
C.x2=8y D.x2=16y
(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 (1)∵-=1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴=2,即==4,∴=.
x2=2py(p>0)的焦点坐标为,-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=
±x,即y=±x.由题意得=2,解得p=8.故C2的方程为x2=16y.
(2)不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2(r>0),
∵|AB|=4,|DE|=2,
抛物线的准线方程为x=-,
∴不妨设A,D,
∵点A,D在圆x2+y2=r2上,
∴+8=+5,解得p=4(负值舍去),
故C的焦点到准线的距离为4.
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练2】 (1)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为________.
(2)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为________.
(1)解析 设A,B在准线上的射影分别为A1,B1,
由于|BC|=2|BF|=2|BB1|,则直线的斜率为,
故|AC|=2|AA1|=6,从而|BF|=1,|AB|=4,
故==,即p=,从而抛物线的方程为y2=3x.
(2)如图,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,所以点A的横坐标为2,将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标为y=2,所以A(2,2),所以直线AF的方程为y=2(x-1),
联立直线与抛物线的方程
解得或由图知B,
所以S△AOB=×1×|yA-yB|=.
答案 (1)y2=3x (2)
考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究)
命题角度1 直线与抛物线的公共点(交点)问题
【例3-1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(1)求;
(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.
解 (1)如图,由已知得M(0,t),P,
又N为M关于点P的对称点,故N,
故直线ON的方程为y=x,
将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,
解得x1=0,x2=,因此H.
所以N为OH的中点,即=2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点,理由如下:
直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,
解得y1=y2=2t,
即直线MH与C只有一个公共点,
所以除H以外,直线MH与C没有其它公共点.
命题角度2 与抛物线弦长(中点)有关的问题
【例3-2】 (2017·北京卷)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1),过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点.
(1)解 把P(1,1)代入y2=2px,得p=,
所以抛物线C的方程为y2=x,
焦点坐标为,准线方程为x=-.
(2)证明 当直线MN斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.
由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去y得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
考虑Δ=(4k-4)2-4×4k2=16(1-2k),
由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以k<.
则x1+x2=,x1x2=.
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).
直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.
因为y1+-2x1=
=
=
==0.
所以y1+=2x1.
故A为线段BM的中点.
规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),由题意可知l1,l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k,则l2直线的斜率为-,故l1:y=k(x-1),l2:y=
-(x-1).
由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2==2+,
由抛物线定义可知,|AB|=x1+x2+2=4+.
同理得|DE|=4+4k2,
∴|AB|+|DE|=8+4k2+≥8+2=16.
当且仅当=k2,即k=±1时取等号.
故|AB|+|DE|的最小值为16.
答案 A
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.(2018·太原月考)若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a等于( )
A.1 B. C.2 D.
解析 因为抛物线的标准方程为x2=y,
所以其焦点坐标为,
则有=1,解得a=.
答案 D
2.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A. B.1
C. D.2
解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由PF⊥x轴知,|PF|=2,所以P点的坐标为(1,2),代入曲线y=(k>0)得k=2.
答案 D
3.(2018·张掖诊断)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=( )
A.9 B.8
C.7 D.6
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
答案 B
4.(2018·莆田质检)设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点,若|FA|=3,则直线FA的倾斜角为( )
A. B.
C.或 D.或
解析 如图,作AH⊥l于H,则|AH|=|FA|=3,作FE⊥AH于E,则|AE|=3-=,在Rt△AEF中,cos∠EAF==,
∴∠EAF=,即直线FA的倾斜角为,同理点A在x轴下方时,直线FA的倾斜角为.
答案 C
5.(2018·衡水调研)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y+y的最小值为( )
A.12 B.24
C.16 D.32
解析 当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,∴y+y=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),由得ky2-4y-16k=0,∴y1+y2=,y1y2=-16,∴y+y=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,综上可知,y+y≥32.
∴y+y的最小值为32.
答案 D
二、填空题
6.(2018·广东省际名校联考)圆(x+1)2+y2=1的圆心是抛物线y2=px(p<0)的焦点,则p=________.
解析 由题意知圆心为(-1,0),则=-1,解得p=-4.
答案 -4
7.(2018·黄山模拟)已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,延长AF交抛物线于点B,则△AOB的面积为________.
解析 F(2,0),设A在抛物线准线上的投影为A′,
由抛物线的定义知,|AA′|=|AF|,
则点A到点P(0,4)的距离与A到该抛物线准线的距离之和d=|AP|+|AF|≥|PF|=2,当F,A,P三点共线时d取得最小值,
此时直线AB的斜率为-2,方程为y=-2(x-2),即x=-+2,
代入抛物线C:y2=8x,可得y2+4y-16=0,
解得y=-2-2或-2+2.
∴△AOB的面积为×2×|(-2-2)-(-2+2)|=4.
答案 4
8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.
解析 建立如图平面直角坐标系,设抛物方程为x2=-2py(p>0).
由题意将点A(2,-2)代入x2=-2py,得p=1,故x2=-2y.设B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=,故水面宽为2米.
答案 2
三、解答题
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),
∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,∴抛物线方程为y2=8x.
(2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:x=y+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2-8y-8m=0,
Δ=64+32m>0,∴m>-2.
y1+y2=8,y1y2=-8m,
∴x1x2==m2.
由题意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,
∴m=8或m=0(舍),∴直线l2:x=y+8,M(8,0).
故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|
=3=24.
10.(2017·全国Ⅰ卷)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4.
于是直线AB的斜率k===1.
(2)由y=,得y′=.
设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,
故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7.
所以直线AB的方程为x-y+7=0.
能力提升题组
(建议用时:20分钟)
11.(2018·南昌模拟)已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限),若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A. B. C. D.
解析 由抛物线C1:y=x2(p>0)得x2=2py(p>0),
所以抛物线的焦点坐标为.
由-y2=1得a=,b=1,c=2.
所以双曲线的右焦点为(2,0).
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为=.即px+4y-2p=0.①
设M(x0>0),则C1在点M处的切线的斜率为.
由题意可知=,解得x0=p,
所以M,
把M点的坐标代入①得+p-2p=0.
解得p=.
答案 D
12.已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为________.
解析 如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即=,即m+n的最小值为-1.
答案 -1
13.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:
(1)y1y2=-p2,x1x2=;
(2)+为定值;
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为.
由题意可设直线方程为x=my+,代入y2=2px,
得y2=2p,即y2-2pmy-p2=0.(*)
则y1,y2是方程(*)的两个实数根,
所以y1y2=-p2.
因为y=2px1,y=2px2,所以yy=4p2x1x2,
所以x1x2===.
(2)+=+
=.
因为x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,
得+==(定值).
(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,
则|MN|=(|AC|+|BD|)=
(|AF|+|BF|)=|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
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