2020版高考数学一轮复习课时作业73《 绝对值不等式》(含解析) 练习
展开课时作业73 绝对值不等式
1.设函数f(x)＝|2x－3|.
(1)求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集；
(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值.
解：(1)∵f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，
∴当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，∴x>2；
当－2<x<时，原不等式化为(3－2x)＋(x＋2)>5，解得x<0，∴－2<x<0；
当x≤－2时，原不等式化为(3－2x)－(x＋2)>5，解得x<－，∴x≤－2.
综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞).
(2)∵f(x)＝|2x－3|，
∴g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|＝|4m|，
∴依题意有4|m|＝4，解得m＝±1.
2.(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围.
解：(1)当a＝1时，
f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立.
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
3.(2019·开封高三定位考试)已知函数f(x)＝|x－m|，m<0.
(1)当m＝－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；
(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围.
解：(1)设F(x)＝|x－1|＋|x＋1|
＝
G(x)＝2－x，
由F(x)≥G(x)解得{x|x≤－2或x≥0}.
(2)f(x)＋f(2x)＝|x－m|＋|2x－m|，m<0.
设g(x)＝f(x)＋f(2x)，
当x≤m时，g(x)＝m－x＋m－2x＝2m－3x，
则g(x)≥－m；
当m<x<时，g(x)＝x－m＋m－2x＝－x，则－<g(x)<－m；
当x≥时，g(x)＝x－m＋2x－m＝3x－2m，则g(x)≥－.
则g(x)的值域为[－，＋∞)，
不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，
即1>－，解得m>－2，
由于m<0，则m的取值范围是(－2,0).
4.(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.
解：(1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.
5.(2019·河南新乡二模)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围.
解：(1)由f(x)≤2，得或
或解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为[0,5].
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3
＝
作出函数f(x)的图象，如图所示，
易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，
当此直线经过点B(4,0)时，k＝；
当此直线与直线AD平行时，k＝－2.
故由图可知，k∈(－∞，－2)∪.
6.(2019·成都诊断性检测)已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.
(1)当k＝1时，若不等式f(x)<4的解集为{x|x1<x<x2}，求x1＋x2的值；
(2)当x∈R时，若关于x的不等式f(x)≥k恒成立，求k的最大值.
解：(1)由题意，得|x－2|＋|x＋1|<4.
当x>2时，原不等式可化为2x<5，
∴2<x<；
当x<－1时，原不等式可化为－2x<3，
∴－<x<－1；
当－1≤x≤2时，原不等式可化为3<4，
∴－1≤x≤2.
综上，原不等式的解集为{x|－<x<}，
即x1＝－，x2＝.∴x1＋x2＝1.
(2)由题意，得|x－2|＋k|x＋1|≥k.
当x＝2时，即不等式3k≥k成立，∴k≥0.
当x≤－2或x≥0时，∵|x＋1|≥1，
∴不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成立.
当－2<x≤－1时，
原不等式可化为2－x－kx－k≥k，可得k≤＝－1＋，∴k≤3.
当－1<x<0时，原不等式可化为2－x＋kx＋k≥k，可得k≤1－，∴k<3.
综上，可得0≤k≤3，即k的最大值为3.
