2020版高考数学一轮复习课时作业61《 变量间的相关关系、统计案例》(含解析) 练习
展开课时作业61 变量间的相关关系、统计案例
一、选择题
1.四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( D )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析：正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④.
2.下列说法错误的是( B )
A.自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B.在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D.在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
解析：根据相关关系的概念知A正确；当r>0时，r越大，相关性越强，当r<0时，r越大，相当性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好，二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，C、D正确，故选B.
3.为了解某商品销售量y(件)与其单价x(元)的关系，统计了(x，y)的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是( B )
A.＝－10x－198 B.＝－10x＋198
C.＝10x＋198 D.＝10x－198
解析：由图象可知回归直线方程的斜率小于零，截距大于零，故选B.
4.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，为将y转化为t的回归直线方程，需作变换t＝( C )
A.x2 B.(x＋a)2
C.2 D.以上都不对
解析：y关于t的回归直线方程，实际上就是y关于t的一次函数.因为y＝a2＋，所以可知选项C正确.
5.(2019·湖北七市联考)广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表(单位：万元)
广告费 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售额 | 29 | 41 | 50 | 59 | 71 |
由表可得回归方程为＝10.2x＋，据此模拟，预测广告费为10万元时的销售额约为( C )
A.101.2 B.108.8
C.111.2 D.118.2
解析：由题意得：＝4，＝50，∴50＝4×10.2＋，解得＝9.2，∴回归直线方程为＝10.2x＋9.2，∴当x＝10时，＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.
6.某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( D )
A.66% B.67%
C.79% D.84%
解析：因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程＝0.6x＋1.2，该城市职工人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%.
7.(2019·江西九校联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
| 非一线 | 一线 | 总计 |
愿生 | 45 | 20 | 65 |
不愿生 | 13 | 22 | 35 |
总计 | 58 | 42 | 100 |
由K2＝，
得K2＝≈9.616.
参照下表，
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
下列说法中，正确的结论是( C )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析：∵K2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”.
二、填空题
8.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：
气温(℃) | 18 | 13 | 10 | －1 |
用电量(度) | 24 | 34 | 38 | 64 |
由表中数据得线性回归直线方程＝x＋中的＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为68度.
解析：回归直线过点(，)，
根据题意得＝＝10，
＝＝40，将(10,40)代入＝－2x＋，解得＝60，则＝－2x＋60，当x＝－4时，＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4 ℃时，用电量约为68度.
9.(2019·安徽蚌埠段考)为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：
| 生产能手 | 非生产能手 | 总计 |
25周岁以上 | 25 | 35 | 60 |
25周岁以下 | 10 | 30 | 40 |
总计 | 35 | 65 | 100 |
有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”.
解析：由2×2列联表可知，K2＝
≈2.93，
因为2.93>2.706，所以有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”.
三、解答题
10.某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x(单位：万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y(单位：万元) | 2 | 3 | 2 |
| 7 |
表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将(2)中的结果填入空白栏，并计算y关于x的线性回归方程.
解：(1)设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1，可知(0.08＋0.1＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)·m＝0.5m＝1，故m＝2.
(2)由(1)知，各分组依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，其中点值分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20, 0.28, 0.24,0.08,0.04，
故可估计平均值为1×0.16＋3×0.2＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5.
(3)空白栏中填5.
由题意可知，＝＝3，
＝＝3.8，iyi＝1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＝69，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55.
根据公式可求得＝＝＝1.2，＝3.8－1.2×3＝0.2，即线性回归方程为＝1.2x＋0.2.
11.已知某产品连续4个月的广告费用为xi(i＝1,2,3,4)千元，销售额为yi(i＝1,2,3,4)万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x1＋x2＋x3＋x4＝18，y1＋y2＋y3＋y4＝14；②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程＝x＋中的＝0.8(用最小二乘法求得).那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为( B )
A.3.5万元 B.4.7万元
C.4.9万元 D.6.5万元
解析：依题意得＝4.5，＝3.5，由回归直线必过样本中心点得a＝3.5－0.8×4.5＝－0.1.当x＝6时，＝0.8×6－0.1＝4.7.
12.近代统计学的发展起源于二十世纪初，它是在概率论的基础上发展起来的，统计性质的工作则可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我国人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录.近几年，雾霾来袭，对某市该年11月份的天气情况进行统计，结果如下表：
表一
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
天气 | 晴 | 霾 | 霾 | 阴 | 霾 | 霾 | 阴 | 霾 | 霾 | 霾 |
日期 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
天气 | 阴 | 晴 | 霾 | 霾 | 霾 | 霾 | 霾 | 霾 | 阴 | 晴 |
日期 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
天气 | 霾 | 霾 | 晴 | 霾 | 晴 | 霾 | 霾 | 霾 | 晴 | 霾 |
对于此种情况，该市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策.下表是一个调查机构对比以上两年11月份(该年不限行30天、次年限行30天，共60天)的调查结果：
表二
| 不限行 | 限行 | 总计 |
没有雾霾 | a |
|
|
有雾霾 | b |
|
|
总计 | 30 | 30 | 60 |
(1)请由表一中数据求a，b的值，并估计在该年11月份任取一天是晴天的概率；
(2)请用统计学原理计算，若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有多少天没有雾霾？
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(表中数据使用时四舍五入取整数)
解：(a)a＝10，b＝20，所求概率P＝＝.
(2)设限行时有x天没有雾霾，则有雾霾的天数为30－x，由题意得K2的观测值
k＝≤3，代入数据化简得21x2－440x＋1 500≤0，x∈[0,30]，x∈N*，即(7x－30)(3x－50)≤0，解得≤x≤，
所以5≤x≤16，且x∈N*，
所以若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有5～16天没有雾霾.
13.(2019·山西八校联考)某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下：
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
广告费 支出x | 1 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 19 |
销售量y | 1.9 | 3.2 | 4.0 | 4.4 | 5.2 | 5.3 | 5.4 |
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；
(2)若用y＝c＋d模型拟合y与x的关系，可得回归方程＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；
(3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①广告费x＝20时，销售量及利润的预报值是多少？
②广告费x为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)
参考公式：回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－ .
参考数据：≈2.24.
解：(1)∵＝8，＝4.2，iyi＝279.4，＝708，
∴＝＝＝0.17，
＝－ ＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y关于x的线性回归方程为＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75<0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴选用＝1.63＋0.99更好.
(3)由(2)知，
①当x＝20时，销售量的预报值＝1.63＋0.99≈6.07(万台)，利润的预报值z＝200×(1.63＋0.99)－20≈1 193.04(万元).
②z＝200(1.63＋0.99)－x＝－x＋198＋326＝－()2＋198＋326＝－(－99)2＋10 127，
∴当＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大，故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大.
