2020届高考数学一轮复习课时训练：第8章 立体几何 37(含解析)

【课时训练】第37节　空间点、线、面的位置关系

一、选择题

1.(2018绵阳模拟)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

答案为：B

解析：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错；显然③成立.故选答案为：B.

2.(2018湖北武汉调研)下列四个命题中错误的是(　　)

A.若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面

B.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线

C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面

答案为：C

解析：过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，D正确.

3.(2018南昌模拟)已知a，b，c是相异直线，α，β，γ是相异平面，则下列命题中正确的是(　　)

A.a与b异面，b与c异面⇒a与c异面

B.a与b相交，b与c相交⇒a与c相交

C.α∥β，β∥γ⇒α∥γ

D.a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交

答案为：C

解析：如图1，在正方体中，a，b，c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c=A，故A错误；在图2的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图3，α∩β=c，a∥c，则a与b不相交，故D错误.

4.(2018深圳模拟)已知在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有(　　)

A.3对 B.4对

C.5对 D.6对

答案为：C

解析：因为ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，AD⊥PB，共5对.

5.(2018河南郑州一模)若平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为(　　)

A.平行 B.相交

C.平行或重合 D.平行或相交

答案为：D

解析：当两个平面平行时，平面α上存在无数多个点到平面β的距离相等且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面β的距离相等且不为零.故选D.

6.(2018福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线(　　)

A.不存在 B.有且只有两条

C.有且只有三条 D.有无数条

答案为：D

解析：在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交.

7.(2018余姚模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)

A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直

C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行

答案为：D

解析：如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；

∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD.∴MN与CC1垂直，故A正确；

∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，故B正确.

8.(2018广东肇庆二模)给出下列三个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②垂直于同一平面的两个平面互相平行；

③若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.

其中假命题的个数是(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

答案为：D

解析：取正方体交于同一顶点的三条棱l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，但l1⊥l3，故l1∥l3不一定成立，故①是假命题；取正方体交于同一顶点的三个平面α，β，γ，满足α⊥β，α⊥γ，但β⊥γ，故β∥γ不一定成立，故②是假命题；在异面直线l1上取一点A，在l2上取两点B，C，则直线AB，AC与l1，l2都相交，但AB，AC相交，不是异面直线，故③是假命题.

9.(2018福建上杭一中月考)若a，b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β，满足(　　)

A.a∥β且b∥β  B.a⊂β且b∥β

C.a⊥β且b⊥β  D.a⊂β且b⊥β

答案为：B

解析：A中，β有无数个；由C可得a∥b，与a，b是两条异面直线矛盾；由D可得a⊥b，但a，b不一定异面.故选B.

10.(2018长春模拟)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)

A.  B.

C. D.

答案为：B

解析：画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.

设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，

则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角，△ABC为等边三角形，则CE⊥AB，易得CE=，同理可得CF=，故CE=CF.

因为OE=OF，所以CO⊥EF.

又EO=EF=BD=，

所以cos∠FEC===.

11.(2018哈尔滨一模)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有(　　)

A.18对 B.24对

C.30对 D.36对

答案为：D

解析：三棱柱的底面三角形的一条边对应的有5条异面直线，这样一个底面三角形的3条边一共有15对异面直线，上、下两个底面三角形一共有30对，其中有6对重复，故共有24对异面直线；一条侧棱对应的除上、下两个三角形的边外有2条异面直线，3条侧棱一共有6对异面直线；侧面对角线中共有6对异面直线，加在一起共有36对异面直线.

12.(2018重庆一中期末)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论中错误的是(　　)

A.AC⊥BF

B.三棱锥A－BEF的体积为定值

C.EF∥平面ABCD

D.直线AE与BF所成的角为定值

答案为：D

解析：选项A中，如图，连接BD，∴AC⊥BD.又AC⊥BB1，BD∩BB1=B，

∴AC⊥平面BDD1B1.∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF.故A正确；选项B中，∵AC⊥平面BDD1B1，∴点A到平面BEF的距离不变.∵EF=，点B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故B正确；选项C中，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；选项D中，异面直线AE与BF所成的角不为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面的中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，显然∠A1AO与∠OBC1不相等，故异面直线AE与BF所成的角不为定值，故D错误.故选D.

二、填空题

13.(2018四川南充模拟)如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与b，c的位置关系是________.

答案为：a∥b∥c

解析：∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.

又∵b⊂β，α∩β=c，∴b∥c.∴a∥b∥c.

14.(2019安徽芜湖质检)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

答案为：4

解析：取CD的中点H，连接EH，FH(图略).在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH.所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左、右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交.