2020届高考数学一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 43(含解析)
展开【课时训练】第43节 直线的方程
一、选择题
1.(2018广东深圳期末)过点(2,1)，且倾斜角比直线y=－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A.x=2 B.y=1
C.x=1 D.y=2
答案为：A
解析：∵直线y=－x－1的斜率为－1，则倾斜角为.则所求直线的倾斜角为－=，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x=2.
2.(2019合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1=0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
答案为：B
解析：由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－＜0，所以倾斜角的取值范围是.
3.(2018太原质检)若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B.－
C.－ D.
答案为：B
解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a=－5，b=－3，从而可知直线l的斜率为=－.
4.(2018深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b=0和直线l2：bx＋y＋a=0有可能是( )
A B C D
答案为：B
解析：当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0，选项B符合要求.
5.(2018衡水模拟)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4=0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A.y=x＋2 B.y=x－2
C.y=x＋ D.y=－x＋2
答案为：A
解析：∵直线x－2y－4=0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y=x＋2.故选A.
6.(2018河北保定模拟)已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( )
A.4x－3y－3=0 B.3x－4y－3=0
C.3x－4y－4=0 D.4x－3y－4=0
答案为：D
解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2=0的斜率为，则tan α=，所以直线l的斜率k=tan 2α===.所以由点斜式可得直线l的方程为y－0=(x－1)，即4x－3y－4=0.
7.(2018皖南八校联考)已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是( )
A.2 B.3
C.4 D.6
答案为：B
解析：直线AB的方程为＋=1，则x=3－y，∴xy=3y－y2=(－y2＋4y)=[－(y－2)2＋4]≤3，即当P点的坐标为时，xy取最大值3.
二、填空题
8.(2018烟台模拟)直线3x－4y＋k=0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k=________.
答案为：－24
解析：令x=0，得y=；令y=0，得x=－.则有－=2，所以k=－24.
9.(2018江西上饶模拟)直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6=0，则直线l恒过定点________.
答案为：(2，－2)
解析：直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6=0，
由解得x=2，y=－2，
所以直线l恒过定点(2，－2).
10.(2018山西运城模拟)一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________.
答案为：x－y－3 =0
解析：因为直线y=x的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k=tan 60°=.
又该直线过点A(2，－)，
故所求直线为y－(－)=(x－2)，即x－y－3 =0.
11.(2018广东广州调研)已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为________.
答案为：x＋y－2=0
解析：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，直线l的方程为＋=1，则＋=1，所以|OA|＋|OB|=a＋b=(a＋b)·=2＋＋≥2＋2=4，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2=0.
12.(2018湖南长沙统一模拟)设m∈R，过定点A的动直线x＋my=0和过定点B的动直线mx－y－m＋3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
答案为：5
解析：易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，
∴|PA|2＋|PB|2=|AB|2=10.
∴|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|时取“=”).
三、解答题
13.(2018海南中学月考)(1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程；
(2)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a=0(a∈R)，若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程.
【解】(1)设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋=1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋=1.
若a=b，则a=b=1，直线方程为x＋y－1=0.
若a=－b，则a=7，b=－7，此时直线的方程为x－y－7=0.
②当a=b=0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y=0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1=0或x－y－7=0或3x＋4y=0.
(2)易求M，N(0,2＋a)，∵a＞－1，
∴S△OMN=··(2＋a)=·
=[(a＋1)＋＋2]≥2，
当且仅当a＋1=，即a=0时取等号.
故所求直线l的方程为x＋y－2=0.
