2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：第12讲《函数模型及其应用》(含解析)

课时作业(十二)　第12讲　函数模型及其应用

时间 / 45分钟　分值 / 100分　　　　　　　　　　　　　　

基础热身

1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是 (　　)

A.y=1000×2x B.y=1000log2x

C.y=x1000 D.y=1000×

2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为              (　　)

A.8米 B.6米 C.4米 D.3米

3.在某个物理实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据如下表:

则对x,y最适合的拟合函数是 (　　)

A.y=2x B.y=x2-1

C.y=log2x D.y=2x-2

4.某市出租车的车费计算方法如下:路程在3 km以内(含3 km)为8元,达到3 km后,每增加1 km加收1.4元,达到8 km后,每增加1 km加收2.1元,增加不足1 km按四舍五入计算.若某乘客乘坐该市出租车交了44.4元车费,则该乘客乘坐出租车行驶的路程可以是              (　　)

A.22 km B.24 km

C.26 km D.28 km

5.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.9]=3,[3.01]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为　　　　元. 

能力提升

6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不超过3%).现抽样取米一把,取得235粒米中夹秕n粒,若这批米合格,则n不超过              (　　)

A.6 B.7

C.8 D.9

7.我国某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图K12-1所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是              (　　)

ABCD

8.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足函数关系式y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,所有生产出来的产品都能卖完,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是              (　　)

A.100台 B.120台

C.150台 D.180台

9.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t(t>0)万元.公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去从事产品B的生产,分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是              (　　)

A.15 B.16

C.17 D.18

10.国家对某行业征税的规定如下:年收入在280万元及以下部分的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税.有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是              (　　)

A.560万元 B.420万元

C.350万元 D.320万元

11.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图K12-2),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为　　　　. 

12.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n(n∈N*)年的累计产量(单位:吨)为f(n)=n(n+1)(2n+1),当年产量超过150吨时,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是　　　　年. 

13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　h. 

14.(10分)某地上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55~0.75元/千瓦时,经测算,若电价调至x元/千瓦时,本年度新增用电量为y亿千瓦时,则y与(x-0.4)成反比例.又当x=0.65时,y=0.8.

(1)求y与x之间的函数关系式.

(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?(收益=用电量×(实际电价-成本价))

15.(10分)一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到森林剩余面积为原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比.

(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

(3)今后最多还能砍伐多少年?

难点突破

16.(15分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得投资收益(单位:万元)的范围是[10,100].现准备制定一个对科研课题组的奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过5万元,同时奖金不超过投资收益的20%.

(1)该公司为制定奖励方案,现建立函数模型y=f(x),请你根据题意,写出函数模型应满足的条件.

(2)现有两个函数模型:①y=x+1;②y=log2x-2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求.

课时作业(十二)

1.A　[解析] 在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增大速度最快,故排除B,C;指数函数中,底数越大,函数的增大速度越快,故选A.

2.D　[解析] 设隔墙的长度为x(0<x<6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.故选D.

3.C　[解析] 将x=0.50,y=-0.99代入计算,可以排除A;将x=2.01,y=0.98代入计算,可以排除B,D;将各组数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选C.

4.A　[解析] 设该乘客乘坐出租车行驶的路程为x km.根据题意可得8+1.4×5+2.1×(x-8)=44.4,解得x=22.故选A.

5.4.24　[解析] 因为m=6.5,所以[m]=6,则f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.

6.B　[解析] 由题意得,≤3%,解得n≤7.05,所以若这批米合格,则n不超过7.

7.B　[解析] 单位时间的运输量逐步提高时,运输总量的增长速度越来越快,即图像在某点的切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,故函数图像应一直是下凹的.故选B.

8.C　[解析] 设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000≥0,得x≥150,所以生产者不亏本时的最低产量为150台.故选C.

9.B　[解析] 由题意,分流前产品A的年产值为100t万元,分流x人后,产品A的年产值为(100-x)(1+1.2x%)t万元,则由解得0<x≤,且x∈N*,所以x的最大值为16.故选B.

10.D　[解析] 设该公司的年收入为x万元,纳税额为y万元,则由题意得y=依题有=(p+0.25)%,解得x=320.故选D.

11.180　[解析] 依题意知=,即x=(24-y),所以阴影部分的面积S=xy=(24-y)·y=(-y2+24y)=-(y-12)2+180,0<y<24,所以当y=12时,S取得最大值180.

12.7　[解析] 设第n(n∈N*)年的年产量(单位:吨)为an,则a1=×1×2×3=3.当n≥2时,an=f(n)-f(n-1)=n(n+1)(2n+1)-n(n-1)(2n-1)=3n2,又a1=3也符合an=3n2,所以an=3n2(n∈N*).令an≤150,即3n2≤150,解得-5≤n≤5,所以1≤n≤7,n∈N*,故最长的生产期限为7年.

13.24　[解析] 由已知条件,得192=eb,且48=e22k+b=eb·(e11k)2,所以e11k===,设该食品在33 ℃的保鲜时间是t h,则t=e33k+b=192e33k=192·(e11k)3=192×=24.

14.解:(1)因为y与(x-0.4)成反比例,所以设y=(k≠0,0.55≤x≤0.75).

把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,得k=0.2.

所以y==,

即y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).

(2)根据题意,得·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),

整理得x2-1.1x+0.3=0,解得x=0.5或x=0.6.

经检验0.5,0.6都是所列方程的根.

因为0.55≤x≤0.75,

所以x=0.5不符合题意,应舍去,

所以x=0.6.

所以当电价调至每千瓦时0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.

15.解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),

则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,

解得x=1-.故每年砍伐面积的百分比为1-.

(2)设经过m年剩余面积为原来的,

则a(1-x)m=a,即=,即=,解得m=5.

故到今年为止,已砍伐了5年.

(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,则n年后剩余面积为a(1-x)n.

令a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥,即≥,即≤,解得n≤15,

故今后最多还能砍伐15年.

16.解:(1)由题知,函数模型y=f(x)满足的条件是:

(i)当x∈[10,100]时,f(x)是增函数;

(ii)当x∈[10,100]时,f(x)≤5恒成立;

(iii)当x∈[10,100]时,f(x)≤恒成立.

(2)对于函数模型①y=x+1,它在[10,100]上是增函数,满足条件(i);但当x=80时,y=5,因此,当x>80时,y>5,不满足条件(ii).故该函数模型不符合公司要求.

对于函数模型②y=log2x-2,它在[10,100]上是增函数,满足条件(i);当x=100时,ymax=log2100-2=2log25<5,即f(x)≤5恒成立,满足条件(ii);

设h(x)=log2x-2-x,则h'(x)=-,因为x∈[10,100],所以≤≤,

所以h'(x)≤-<-=0,所以h(x)在[10,100]上是减函数,

因此,h(x)≤h(10)=log210-4<0,即f(x)≤恒成立,满足条件(iii).所以该函数模型符合公司要求.

综上,对数函数模型y=log2x-2符合公司要求.