江苏省南京市雨花台中学、山东省潍坊市部分学校2021届高三上学期10月联考数学试题

苏鲁名校2021届高三年级第一次联合考试

数学试题

2020．10

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．已知全集U＝R，集合A＝，B＝，则(A)B＝

   A．   B．   C．D．

2．“x＜1”是“x2＋2x﹣3＜0”的

   A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件

   C．充要条件                         D．既不充分也不必要条件

3．2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，毎个医疗小组只去一个国家、且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有

   A．64种           B．48种           C．24种           D．12种

4．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为

   A．             B．           C．             D．

5．已知函数，若，那么实数a的值是

   A．4              B．2              C．           D．

6．的展开式中常数项为

   A．﹣160          B．160            C．80             D．﹣80

7．已知函数的图像如图所示，则的解析式可以是

   A．  B．   C．     D．

8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为

   A．           B．            C．          D．2

            第7题                                 第8题

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是

A．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加

B．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加

C．2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

D．2012年到2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为146.2%

10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是

A．2个球都是红球的概率为          B．2个球中恰有1个红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为         D．2个球不都是红球的概率为

11．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是

   A．         B．        C． D．

12．函数是定义域为R的奇函数，且满足，当[0，2]时，＝，，则下列四个判断正确的是

A．函数的最小值为﹣1

B．函数的图像关于x＝2对称

C．对于任意的正整数n，＝0

D．对于任意的正整数n，存在kR(k≠1)，使得＝0成立

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．设随机变量服从正态分布N(1，)，若P()＝0.8，则P(0＜＜2)＝       ．

14．函数的值域为       ．

15．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要       个单位．

16．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BC，CC1的中点．则平面AEF截正方体所得的截面面积为       ；以点E为球心，以为半径的球面与对角面ACC1A1的交线长为       （第一空2分，第二空3分）．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知函数（a为常数），其中的解集为(﹣3，1)．

（1）求实数a的值；

（2）设，当x(x＞1)为何值时，取得最小值，并求出其最小值．

18．（本小题满分12分）

已知正三棱柱ABC—A1B1C1的边长均为，E，F分别是线段AC1和BB1的中点．

（1）求证：EF∥平面ABC；

（2）求三棱锥C—ABE的体积．

19．（本小题满分12分）

已知函数(aR)．

（1）当a＝﹣1时，求的极值；

（2）设，若对x[1，)恒成立，求实数a的取值范围．

20．（本小题满分12分）

在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．

（1）求证：GF⊥PA；

（2）若PA＝PD＝，是否存在点G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为，若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，我国的“新冠肺炎”疫情在今年二月份已得到控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下图所示的折线图：

（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，分别从均值与方差的角度比较甲乙两地新增确诊人数的统计结论（不用计算数据，给出判断即可）；

（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A项目或乙地区的B项目投入研发资金．经过评估，对于A项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元，1.17万元，1.16万元的概率分别为，，；对于B项目，产品价格在一年内需进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p(0＜p＜1)，且产品价格的下调次数为0，1，2时，每投资十万元，一年后相应利润是1.4万元，1.25万元，0.6万元．对A项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为，对B项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为．（i）求，的分布列和数学期望E()，E()；（ii）如果你是该企业投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数(a＞0)，x(0，1)．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对x(0，1)恒成立，求实数a的取值范围．