江苏省江浦高级中学2021届高三数学检测（十四）答案
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一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知,,,则三者的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C【解析】由题意,根据实数指数幂的运算性质,可得,,根据对数运算的性质,可得,所以,故选C.
2. 已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】由已知条件得，故，所以.
3. （2019全国Ⅲ卷文）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著,某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
4. 已知各项均不相等的等比数列,若,,成等差数列,设为数列的前项和,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A【解析】设等差数列的公比为,由,,成等差数列,得(舍去)或,
∴或(舍去). 当时,,.
5. 如图,用种不同的颜色把图中,,,四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )
A. B. C. D.
【答案】C【解析】先给B区域涂色,有6种选择,再给C区域涂色,有5种选择,最后给A,D区域涂色,分别有4种选择,根据分步计数原理得不同涂法的种数为.故答案为:C.
6. （2019全国Ⅱ卷文）已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解析】,, 则,所以, 所以.
7. 若函数对任意恒有成立，且不是常值函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象关于直线对称 B. 为偶函数
C. 是周期为4的函数 D. 为奇函数
【答案】D
【解析】
8. 四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为，，于是,，进而球的体积. 故选.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 从,,,,这五个数中任取两个数,则下列说法正确的是( )
A. 两个数的和是的概率与两个数的和是的概率相等 B. 两个数都是奇数的概率是
C. 两个数的和是奇数的概率与两个数的和是偶数的概率相等
D. 两个数的积是奇数的概率与两个数的积是偶数的概率相等
【答案】A,B
【解析】从,,,,这五个数中任取两个数,基本事件为,,,,,,,,,共种,两个数的和是包含,两种,两个数的和是包含,两种,所以两个数的和是的概率与两个数的和是的概率相等,A对,两个数都是奇数包含,,三种,所以概率是,B对,两个数的和是奇数包含,,,,,六种,两个数的和是偶数包含四种,所以C错,两个数的积是奇数包含,,三种,两个数的积是偶数包含七种,所以D错.
10. 设函数,在处取最小值是,若,,则下列说法正确的是( )
A. B. C. 与不平行 D. 与平行
【答案】A,B,C 【解析】由题意,函数, 当且仅当,即时等号成立, 因为处取得最小值,所以,, 所以,,故与不平行.
11. 已知函数在上是减函数,则的取值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】A,B
【解析】,由题设,有在上恒成立,所以,故,. 所以,因,故即,的最大值为.
12. 若曲线是焦点在轴上的椭圆,则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】B,C,D
【解析】方程即:是焦点在轴上的椭圆,可得:,解得.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 【变式训练3】 已知向量.若为实数,,则__________.
【答案】【解析】,∴.又,
∴,解得.
14. 如图,在四棱锥中,侧面⊥底面,侧面是边长为的等边三角形,底面是菱形,且,则四棱锥的体积为__________.
【答案】2
【解析】取的中点,连接、,因为是正三角形,所以,又侧面底面,平面,平面平面,所以平面,则是四棱锥的高,且,底面积为,故四棱锥的体积为.
15. 在等差数列中,己知,,,则__________.
【答案】【解析】依题意,设公差为,则得,
所以,所以.
16. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于__________．【答案】
【解析】由图象变化的法则可知：的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成的图象，向右平移1个单位得到的图象，又的周期为，如下图所示，两图象都关于直线对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：，故所有交点的横坐标之和为.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 在中，内角的对边分别为，面积为，已知．
（1）求的值； （2）若，，求．
【答案】略【解析】（1）由正弦定理得，
即， 所以，
即， 因为，
所以， 由正弦定理得.
（2）因为，所以， 又由余弦定理有，
由（1）得，所以，得．
18. 设. (1)若对任意恒成立,求实数的取值范围; (2)讨论关于的不等式的解集.
【解析】(1)由题意,若对任意恒成立, 即为对恒成立, 即有,由,可得时,取得最小值, 可得. (2)当,即时,的解集为. 当,即或时,方程的两根为,, 可得的解集为.
19. 一个袋中有大小相同的黑球和白球共个，从中任取个球，记随机变量为取出个球中白球的个数，已知（1）求袋中白球的个数； （2）求随机变量的分布列及其数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】解：(Ⅰ)设袋中有白球个，则由，求得， 故袋中白球的个数为； (Ⅱ)由(Ⅰ)知袋中有个白球，个黑球， ∴，，
∴随机变量的分布列为： ∴.
20. 如图,在以,,,,,为顶点的五面体中,面为正方形,,,且二面角与二面角都是. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】(1)由已知可得,,所以平面. 又平面,故平面平面. (2)过作,垂足为,由(1)知平面. 以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系. 由(1)知为二面角的平面角,故,则,,,可得,,,. 同理可得为二面角的平面角,.从而可得. 所以,,,. 设是平面的法向量,则,即, 所以可取. 设是平面的法向量,则, 同理可取.则.
故二面角的余弦值为.
21. 已知数列的前项和为，且满足． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，记数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）； （2）见解析
【解析】（I）当时，有，解得. 当时，有，则整理得：所以 数列是以为公比，以为首项的等比数列． 所以（II）由（I）有，则所以故得证.
22 已知椭圆的左右焦点分别为,点是椭圆上的一个动点,当直线的斜率等于时,轴. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点且斜率为的直线与直线相交于点,试判断以为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见解析.
【解析】【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程,考查数形结合思想、特殊与一般思想,突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点的特殊位置,建立关于的等式,再通过解方程求出,从而得到所求标准方程;解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线的方程,并能利用椭圆方程整理化简方程,然后求出点的坐标,再根据圆的知识转化成向量垂直,待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立,利用韦达定理求解. (Ⅰ)依题意, 又因为, 所以,解得. 所以椭圆的方程为. (Ⅱ)直线的方程:即, 依题意,有,即, 所以的方程为,所以点, 设定点,由, 即,所以, 综上,存在定点符合条件.
