2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：选修4-5不等式选讲第1节


第1节　绝对值不等式
最新考纲　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.

知 识 梳 理
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x| (－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.


诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.(　　)
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.(　　)
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.(　　)
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)
A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5)
解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1 ∴x<4，∴1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.
综上，原不等式的解集为(－∞，4).
答案　A
3.(教材习题改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________.
解析　由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.
要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.
答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞)
4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
答案　2
5.(2016·江苏卷)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4| 证明　因为|x－1|<，|y－2|<，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|
≤2|x－1|＋|y－2|<＋＝a.
故原不等式得证.

考点一　绝对值不等式的解法
【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

解　(1)f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示.

(2)由f(x)的解析式及图象知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1 所以|f(x)|>1的解集为.
【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，f(x)＝－x2＋x＋4，
f(x)≥g(x)⇔x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.
①当x>1时，f(x)≥g(x)⇔x2＋x－4≤0，
解之得1 ②当－1≤x≤1时，f(x)≥g(x)⇔(x－2)(x＋1)≤0，
则－1≤x≤1.
③当x<－1时，f(x)≥g(x)⇔x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4，
又x<－1，∴不等式此时的解集为空集.
综上所述，f(x)≥g(x)的解集为.
(2)依题意得：－x2＋ax＋4≥2在[－1，1]上恒成立.
则x2－ax－2≤0在[－1，1]上恒成立.
则只需解之得－1≤a≤1.
故a的取值范围是[－1，1].
规律方法　1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想.
2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.
【训练1】 已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集；
(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x) 解　(1)不等式f(x)＋x2－4>0，即|x－2|>4－x2.
当x>2时，不等式可化为x2＋x－6>0，解得x>2；
当x<2时，不等式可化为x2－x－2>0，解得x<－1.
所以原不等式的解集为{x|x>2或x<－1}.
(2)依题意，|x－2|<3m－|x＋7|解集非空，
∴3m>|x－2|＋|x＋7|在x∈R上有解，
又|x－2|＋|x＋7|≥|(x－2)－(x＋7)|＝9，
所以3m>9，解得m>3.
故实数m的取值范围是(3，＋∞).
考点二　绝对值不等式性质的应用
【例2－1】 设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：<；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.
(1)证明　设f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2<－2x－1<0，解得－ 因此集合M＝，则|a|<，|b|<.
所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.
(2)解　由(1)得a2<，b2<.
因为|1－4ab|2－4|a－b|2
＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)
＝16a2b2－4a2－4b2＋1
＝(4a2－1)(4b2－1)>0，
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，
故|1－4ab|>2|a－b|.
【例2－2】 对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.
(1)求m的值；
(2)(一题多解)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.
解　(1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，
即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.
因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，
即|a|≥|b|时，≥2成立，
也就是的最小值是2，所以M≤2.
因此m＝2.
(2)不等式|x－1|＋|x－2|≤m，即|x－1|＋|x－2|≤2.
法一　由于|x－1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和；
而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，
故|x－1|＋|x－2|的解集为.
法二　①当x<1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2，
解得x≥，即≤x<1.
②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2，
即1≤x≤2.
③当x>2时，不等式为(x－1)＋(x－2)≤2，
解得x≤，即2 综上可知，不等式的解集是.
规律方法　1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法.
2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用.
【训练2】 对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围.
解　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，≤，
所以|4a－3b＋2|＝|(3a－3b)＋＋|
≤|3a－3b|＋|a－|＋≤3＋＋＝6，
则|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6，m的取值范围是[6，＋∞).
考点三　绝对值不等式的综合应用
【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解　(1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
①当x≤－1时，f(x)＝－3≥1无解；
②当－1 解得x≥1，则1≤x<2；
③当x≥2时，f(x)＝3≥1恒成立，∴x≥2.
综上知f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)不等式f(x)≥x2－x＋m等价于f(x)－x2＋x≥m，
得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x有解，
又|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|
＝－＋≤.
当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故实数m的取值范围是.
规律方法　1.第(1)问分段讨论，求得符合题意的x取值范围，最后取并集.
2.(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决.
(2)本题分离参数m，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程.
【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.
(2)当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝时等号成立，
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).

基础巩固题组
(建议用时：50分钟)
1.(1)求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集；
(2)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，求a的值.
解　(1)当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；
当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；
当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.
综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.
(2)∵|ax－2|<3，∴－1 当a>0时，－ 当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a<0时， 解得a＝－3.
2.已知函数f(x)＝|ax－2|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)>x＋1；
(2)若关于x的不等式f(x)＋f(－x)<有实数解，求m的取值范围.
解　(1)当a＝2时，不等式为|2x－2|>x＋1，当x≥1时，不等式化为2x－2>x＋1，解得x>3.
当x<1时，不等式化为2－2x>x＋1，解得x<.
综上所述，不等式的解集为.
(2)因为f(x)＋f(－x)＝|ax－2|＋|－ax－2|
≥|ax－2－ax－2|＝4，
所以f(x)＋f(－x)的最小值为4，
又f(x)＋f(－x)<有实数解，所以>4.
则m的取值范围为.
3.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得 当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积S＝|AB|·(a＋1)＝(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
4.(2018·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为L(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知A(x，1)，B(1，2)，C(5，2)三点.
(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值范围；
(2)当x∈R时，不等式L(A，B)≤t＋L(A，C)恒成立，求t的最小值.
解　(1)由定义得|x－1|＋1>|x－5|＋1，
则|x－1|>|x－5|，两边平方得8x>24，解得x>3.
故x的取值范围为(3，＋∞).
(2)当x∈R时，不等式|x－1|≤|x－5|＋t恒成立，也就是t≥|x－1|－|x－5|恒成立，
因为|x－1|－|x－5|≤|(x－1)－(x－5)|＝4，
所以t≥4，tmin＝4.
故t的最小值为4.
5.设函数f(x)＝＋|x|(x∈R)的最小值为a.
(1)求a；
(2)已知两个正数m，n满足m2＋n2＝a，求＋的最小值.
解　(1)f(x)＝
当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减；
当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增；
∴当x＝0时，f(x)的最小值a＝1.
(2)由(1)知m2＋n2＝1，则m2＋n2≥2mn，得≥2，
由于m>0，n>0，
则＋≥2≥2，当且仅当m＝n＝时取等号.
∴＋的最小值为2.

能力提升题组
(建议用时：30分钟)
6.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式：|g(x)|＜5；
(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
所以－7＜|x－1|＜3，
解不等式得－2＜x＜4，
所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}.
(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，
使得f(x1)＝g(x2)成立，
所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，
所以|a＋3|≥2，
解得a≥－1或a≤－5，
所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.
7.(2018·西安模拟)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|x＋1|－x.
(1)解不等式f(x)>g(x)；
(2)若存在实数x，使不等式m－g(x)≥f(x)＋x(m∈R)成立，求实数m的最小值.
解　(1)原不等式f(x)>g(x)化为|x－2|＋x>|x＋1|，
当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，
解得x>－3，即－3 当－1≤x≤2时，－(x－2)＋x>x＋1，
解得x<1，即－1≤x<1.
当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3.
综上所述，不等式f(x)>g(x)的解集为{x|－33}.
(2)由m－g(x)≥f(x)＋x(m∈R)可得m≥|x－2|＋|x＋1|，
由题意知m≥(|x－2|＋|x＋1|)min，
∵|x－2|＋|x＋1|≥|x－2－(x＋1)|＝3，
∴m≥3，故实数m的最小值是3.
8.(2018·郑州模拟)已知不等式|x－m|<|x|的解集为(1，＋∞).
(1)求实数m的值；
(2)若不等式<－<对x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
解　(1)由|x－m|<|x|，得|x－m|2<|x|2，即2mx>m2，
又不等式|x－m|<|x|的解集为(1，＋∞)，
则1是方程2mx＝m2的解，解得m＝2(m＝0舍去).
(2)∵m＝2，∴不等式<－<对x∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a－5<|x＋1|－|x－2| 设f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
当0 则－1 当x≥2时，f(x)＝3.
因此函数f(x)的值域为(－1，3].
从而原不等式等价于解得1 所以实数a的取值范围是(1，4].