2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：选修4-4坐标系和参数方程第1节


第1节　坐标系
最新考纲　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

知 识 梳 理
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.
2.极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)；自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.
3.极坐标与直角坐标的互化
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化
公式

ρ2＝x2＋y2
tan θ＝(x≠0)
4.圆的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r(0≤θ＜2π)
圆心为(r，0)，半径为r的圆

ρ＝2rcos__θ

圆心为，半径为r的圆

ρ＝2rsin__θ
(0≤θ＜π)
5.直线的极坐标方程
(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R).
(2)直线l过点M(a，0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos__θ＝a.
(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin__θ＝b.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.(　　)
(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.(　　)
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.(教材习题改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A.ρ＝，0≤θ≤
B.ρ＝，0≤θ≤
C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；
∴ρ＝.
答案　A
3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________.
解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
答案　x2＋y2－2y＝0
4.(2017·北京卷)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为________.
解析　由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，
圆心坐标为C(1，2)，半径长为1.
∵点P的坐标为(1，0)，∴点P在圆C外.
又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
答案　1
5.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________.
解析　由2ρsin＝，得2ρ＝，
∴y－x＝1.
由A，得点A的直角坐标为(2，－2).
∴点A到直线l的距离d＝＝.
答案　



考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1】 求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标.
解　设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由得
代入曲线C：x2－＝1，得－＝1，
即曲线C′的方程为－＝1，
因此曲线C′的焦点F1(－5，0)，F2(5，0).
规律方法　1.平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)为所求.
2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解.
【训练1】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；
(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.
解　(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：
得∴
∴点A′的坐标为(1，－1).
(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点.
由伸缩变换φ：得
代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，即y′＝x′，
∴y＝x为所求直线l′的方程.
考点二　极坐标与直角坐标的互化
【例2－1】 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
解　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，
即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
【例2－2】 (2016·北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－
ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.
解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，
∴x－y－1＝0，表示一条直线.
由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.
∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
所以C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆.
(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－y－1＝0上，
所以直线C1过圆C2的圆心.
因此两交点A，B的连线段是圆C2的直径.
所以两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.
规律方法　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0).
2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.
【训练2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程.
(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程.
解　(1)∵点A在直线ρcos＝a上，
∴a＝cos＝，
所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
考点三　曲线极坐标方程的应用
【例3－1】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.
解　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，
于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
【例3－2】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解　(1)消去t，得C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，
∴曲线C1表示以点(0，1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－
2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.
所以a＝1.
规律方法　1.(1)例3－1中利用极径、极角的几何意义，表示△AOB的面积，借助三角函数的性质求最值优化了解题过程.
(2)例3－2第(1)题将曲线C1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去ρ，建立与直线C3：θ＝α0的联系，进而求a.
2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
【训练3】 (2018·太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O).
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围.
解　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，
C1的极坐标方程为ρ2cos2 θ＋2ρ2sin2 θ－2＝0，
C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝，
联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝4sin2α，
则|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α
＝＋4(1＋sin2α)－4.
令t＝1＋sin2α，
则|OA|2＋|OB|2＝＋4t－4，
当0<α<时，t∈(1，2).
设f(t)＝＋4t－4，易得f(t)在(1，2)上单调递增，
∴2<|OA|2＋|OB|2<5，
故|OA|2＋|OB|2的取值范围是(2，5).

基础巩固题组
(建议用时：50分钟)
1.(2017·天津卷改编)在极坐标系中，已知直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝
2sin θ，试判定直线与圆的位置关系.
解　由4ρcos＋1＝0得2ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0.
由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，
故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，则x2＋(y－1)2＝1.
圆心为(0，1)，半径为r＝1.
∵圆心到直线2x＋2y＋1＝0的距离d＝＝<1，
∴直线与圆相交，有两个公共点.
2.以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.
解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y，
∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，
∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，
根据题意＝3·，
解得θ0＝或θ0＝，
直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R).
3.(2018·衡水模拟)在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2与C2：ρcos＝交于两点A，B.
(1)求两交点的极坐标；
(2)求线段AB的垂直平分线l的极坐标方程.
解　(1)C1：ρ＝2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，
C2：ρcos＝的方程即ρcos θ＋ρsin θ＝2，
化为直角坐标方程得x＋y－2＝0.
由解得或
所以两交点为(0，2)，(2，0)，化为极坐标为，(2，0).
(2)易知直线l经过点(0，0)及线段AB的中点(1，1)，所以其方程为y＝x，化为极坐标方程得θ＝(ρ∈R).
4.(2018·西安调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝
2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.
解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α).
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
5.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin ＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长.
解　(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，
|OA|＝|OD|cos或|OA|＝|OD|cos.
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
又圆心C的直角坐标为满足直线l的方程，
∴直线l过圆C的圆心，
故直线被圆所截得的弦长为直径2.


能力提升题组
(建议用时：30分钟)
6.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.
解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，则易得△C2MN为直角三角形，
所以△C2MN的面积为S＝×12＝.
7.(2018·合肥二模)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求出圆C的直角坐标方程；
(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值.
解　(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，
故x2＋y2－4x＝0，即圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)l：y＝2x关于点M(0，m)的对称直线l′的方程为y＝2x＋2m.
依题设，易知AB为圆C的直径，
故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点.
因此≤2，于是，实数m的最大值为－2.
8.已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.
解　(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝.
∴ρsin＝.
曲线C2化为＋＝1(*)
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式
得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.
∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.
(2)∵M(，0)，N(0，1)，∴P，
∴OP的极坐标方程为θ＝，
把θ＝代入ρsin＝，得ρ1＝1，P.
把θ＝代入ρ2＝，得ρ2＝2，Q.
∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.