2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：选修4-52第2讲　不等式的证明

第2讲　不等式的证明

1．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
2．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．
3．数学归纳法证明不等式的关键
使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．

对于任意的x、y∈R，求证|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
证明：根据绝对值的几何意义，可知|x－1|＋|x|≥1，
|y－1|＋|y＋1|≥2，
所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.
若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求证：＋≥8.
证明：因为a＋b＝1，
所以a2＋2ab＋b2＝1.
因为a>0，b>0，
所以＋＝＋＝1＋＋＋1＋＋＝2＋＋≥2＋2＋2＝8.
若x，y，z∈R＋，且x＋y>z，求证：＋>.
证明：因为x＋y>z，
所以x＋y－z>0.
由分数性质得<＝.
因为x>0，y>0，
所以＝＋<＋.
所以＋>.
若a>b>1，证明：a＋>b＋.
证明：a＋－＝a－b＋＝.
由a>b>1得ab>1，a－b>0，
所以>0.
即a＋－>0，所以a＋>b＋.

比较法证明不等式
[典例引领]
(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
【解】　(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
当－＜x＜时，f(x)＜2；
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.

比较法证明不等式的方法与步骤
(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论．
(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．
[提醒]　(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．
(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．　
[通关练习]
1．若a，b∈R＋，证明：(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．
证明：因为(a＋b)(a5＋b5)－2(a6＋b6)＝a6＋a5b＋ab5＋b6－2a6－2b6＝a5b＋ab5－a6－b6＝a5(b－a)＋b5(a－b)＝(a－b)(b5－a5)．
当a>b>0时，a－b>0，b5－a5<0，有(a－b)(b5－a5)<0.
当b>a>0时，a－b<0，b5－a5>0，有(a－b)(b5－a5)<0.
当a＝b>0时，a－b＝0，有(a－b)(b5－a5)＝0.
综上可知(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．
2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：abba≤(ab).
证明：＝ab－ba－＝.
当a＝b时，＝1；
当a>b>0时，0<<1，
>0，<1.
当b>a>0时，>1，<0，<1.
所以abba≤(ab).
用综合法、分析法证明不等式
[典例引领]
(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
【证明】　法一：(综合法)
(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋·(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
法二：(分析法)
(1)因为a>0，b>0，a3＋b3＝2.
要证(a＋b)(a5＋b5)≥4，
只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2，
再证a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6，
再证a4＋b4≥2a2b2，
因为(a2－b2)2≥0，即a4＋b4≥2a2b2成立．
故原不等式成立．
(2)要证a＋b≤2成立，
只需证(a＋b)3≤8，
再证a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8，
再证ab(a＋b)≤2，
再证ab(a＋b)≤a3＋b3，
再证ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)，
即证ab≤a2－ab＋b2显然成立．
故原不等式成立．

分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．
[通关练习]
1．设x≥1，y≥1，求证：x＋y＋≤＋＋xy.
证明：由于x≥1，y≥1，
要证x＋y＋≤＋＋xy，
只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
2．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.
(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；
(2)证明：＋＋≤＋＋.
证明：(1)1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，
相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8＝8.
(2)＋＋＝ab＋bc＋ac，
ab＋bc≥2＝2，
ab＋ac≥2＝2，
bc＋ac≥2＝2，
相加得＋＋≤＋＋.
反证法证明不等式
[典例引领]
设0 【证明】　设(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a>，①
又因为0 所以0<(1－a)a≤＝.
同理：(1－b)b≤，(1－c)c≤，
以上三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，与①矛盾．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于.

利用反证法证明问题的一般步骤
(1)否定原结论；
(2)从假设出发，导出矛盾；
(3)证明原命题正确．　
已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.
证明：(1)设a<0，因为abc>0，
所以bc<0.
又由a＋b＋c>0，则b＋c>－a>0，
所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与题设矛盾．
(2)若a＝0，则与abc>0矛盾，
所以必有a>0.
同理可证：b>0，c>0.
综上可证a，b，c>0.
放缩法证明不等式
[典例引领]
若a，b∈R，求证：≤＋.
【证明】　当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．
当|a＋b|≠0时，
由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|
⇒≥，
所以＝≤
＝
＝＋≤＋.
综上，原不等式成立．

“放”和“缩”的常用技巧
在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．
常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中k∈N*，k>1；
(2)利用函数的单调性；
(3)真分数性质“若00，则<”．
[提醒]　在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．　
设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.
证明：由2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)，得≤<.
当k＝1时，≤<；
当k＝2时，≤<；
…
当k＝n时，≤<，
所以＝≤＋＋…＋<＝1.
所以原不等式成立．
用数学归纳法证明不等式
[典例引领]
证明贝努利不等式：
设x∈R，且x>－1，x≠0，n∈N，n>1，则(1＋x)n>1＋nx.
【证明】　(1)当n＝2时，因为x≠0.
所以(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，
即有(1＋x)k>1＋kx，
则当n＝k＋1时，由于x>－1，x≠0.
所以(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)
＝1＋x＋kx＋kx2>1＋(k＋1)x，
所以当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)(2)可知，贝努利不等式成立．

用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤：
(1)证明当n＝n0(满足命题的最小的自然数的值)时，命题正确．
(2)在假设n＝k(k≥n0)时命题正确的基础上，推证当n＝k＋1时，命题也正确．
这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．　
证明：对于n∈N*，不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立．
证明：(1)当n＝1时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，
即有|sin kθ|≤k|sin θ|.
当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin kθcos θ＋cos kθsin θ|
≤|sin kθcos θ|＋|cos kθsin θ|
＝|sin kθ|·|cos θ|＋|cos kθ|·|sin θ|
≤|sin kθ|＋|sin θ|
≤k|sin θ|＋|sin θ|
＝(k＋1)|sin θ|.
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立．

证明不等式的常用方法与技巧
(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．
(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值
不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．
在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要分析每次使用时等号是否成立．



1．(2018·安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；
(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．
解：(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝|x－1|＋|x－2|.
因此只要解不等式|x－1|＋|x－2|≤2.
当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；
当1 当x>2时，原不等式等价于2x－3≤2，即2 综上，原不等式的解集为.
(2)证明：由题意得f(ax)－af(x)＝|ax－2|－a|x－2|＝|ax－2|＋|2a－ax|≥|ax－2＋2a－ax|＝|2a－2|＝f(2a)，
所以f(ax)－af(x)≥f(2a)成立．
2．求证：＋＋＋…＋<2.
证明：因为<＝－，
所以＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－<2.
3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1.
(1)求证：|b|≤1；
(2)若f(0)＝－1，f(1)＝1，求实数a的值．
解：(1)证明：由题意知f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，
所以b＝[f(1)－f(－1)]．
因为当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1，
所以|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，
所以|b|＝|f(1)－f(－1)|≤[|f(1)|＋|f(－1)|]≤1.
(2)由f(0)＝－1，f(1)＝1可得c＝－1，b＝2－a，
所以f(x)＝ax2＋(2－a)x－1.
当a＝0时，不满足题意，当a≠0时，
函数f(x)图象的对称轴为x＝，即x＝－.
因为x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1，
即|f(－1)|≤1，所以|2a－3|≤1，解得1≤a≤2.
所以－≤－≤0，故|f|＝
|a＋(2－a)－1|≤1.
整理得|＋1|≤1，
所以－1≤＋1≤1，
所以－2≤≤0，
又a＞0，所以≥0，
所以＝0，所以a＝2.
4．设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.
(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；
(2)求证：＋＋≥2.
证明：(1)要证2ab＋bc＋ca＋≤，只需证1≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，即证1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≥0，而1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝(a＋b＋c)2－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立，
所以2ab＋bc＋ca＋≤.
(2)因为≥，≥，≥，
所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．
5．已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f.
解：(1)f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝
当x<－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；
当－3≤x≤1时，4≥8不成立；
当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.
所以不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≤－5或x≥3}．
(2)证明：f(ab)>|a|f，即|ab－1|>|a－b|.
因为|a|<1，|b|<1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，
所以|ab－1|>|a－b|.故所证不等式成立．

1．(2018·武汉市武昌区调研考试)设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.
(1)求M；
(2)当x∈M时，证明：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.
解：(1)由已知，得f(x)＝
当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；
当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤，显然不成立．
故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}．
(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，
于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－＋.
令g(x)＝－＋，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，
所以g(x)≤g(0)＝0.
故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.
2．(2018·沈阳模拟)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：
(1)a＋b＋c≥.
(2)＋＋≥(＋＋)．
证明：(1)要证a＋b＋c≥，
由于a，b，c>0，
因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.
而ab＋bc＋ca＝1，
故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，
即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．
所以原不等式成立．
(2)＋＋＝.
在(1)中已证a＋b＋c≥.
因此要证原不等式成立，
只需证明≥＋＋，
即证a＋b＋c≤1，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
而a＝≤，
b≤，c≤，
所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca
(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)．
所以原不等式成立．
3．已知a，b，c均为正实数．求证：
(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；
(2)若a＋b＋c＝3，则＋＋≤3.
证明：(1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc，
可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，
需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，
即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立．
(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知
·≤＝，当且仅当a＋1＝2时，取等号，
·≤＝，当且仅当b＋1＝2时，取等号，
·≤＝，当且仅当c＋1＝2时，取等号，
以上三式相加，得(＋＋)≤＝6，
所以＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号．