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2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第12章3第3讲 合情推理与演绎推理
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第3讲 合情推理与演绎推理
1．推理
(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．
(2)分类：推理
2．合情推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
3.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
(3)模式：
三段论
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
(教材习题改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－1 B．an＝4n－3
C．an＝n2 D．an＝3n－1
解析：选C.由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则
a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；
a4＝a3＋2×4－1＝16，所以an＝n2.
(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.
推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．
解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．
答案：②
在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
归纳推理(高频考点)
归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：
(1)与数字(数列)有关的等式的推理；
(2)与不等式(式子)有关的推理；
(3)与图形变化有关的推理．
[典例引领]
角度一 与数字(数列)有关的等式的推理
有一个奇数组成的数阵排列如下：
1 3 7 13 21 …
5 9 15 23 … …
11 17 25 … … …
19 27 … … … …
29 … … … … …
… … … … … …
则第30行从左到右第3个数是________．
【解析】 观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.
【答案】 1 051
角度二 与不等式(式子)有关的推理
(2016·高考山东卷)观察下列等式：
＋＝×1×2；
＋＋＋＝×2×3；
＋＋＋…＋＝×3×4；
＋＋＋…＋＝×4×5；
……
照此规律，
＋＋＋…＋＝__________．
【解析】 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为n(n＋1)．
【答案】 n(n＋1)
角度三 与图形变化有关的推理
我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为( )
A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2
C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1
【解析】 我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.
【答案】 D
归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．
(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．
(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．
[通关练习]
1．观察三角数阵，记第n行的第m个数为a(n，m)，则下列关系正确的是( )
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…
1 10 45 … 45 10 1
A．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)
B．a(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)
C．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)
D．a(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)
解析：选A.观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩上”两个数之和．所以a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．
2．(2018·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．
n级分形图中共有________条线段．
解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3(n∈N*)．
答案：3×2n－3(n∈N*)
类比推理
[典例引领]
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
【解】 如题图所示，在Rt△ABC中，
∠C＝90°.
设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
类似地，在四面体PDEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S＋S＋S成立．
若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2 A＋cos2 B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．
解：如图，在Rt△ABC中，
cos2A＋cos2B＝＋＝＝1.
于是把结论类比到四面体PA′B′C′中，我们猜想，四面体PA′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
[通关练习]
1．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2>0⇒z1>z2”．
其中类比得到的结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a，b，c，d都是有理数，是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．
2．(2018·山东烟台五校联考)已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)．△ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则＝，现将该命题类比到双曲线中，△ABC的顶点B在双曲线上，顶点A，C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，双曲线的离心率为e，则有________________．
解析：在双曲线中，设△ABC的外接圆的半径为r，则|AB|＝2rsin C，|AC|＝2rsin B，|BC|＝2rsin A，则由双曲线的定义得||BA|－|BC||＝2a，|AC|＝2c，则双曲线的离心率e＝＝＝，即＝.
答案：＝
演绎推理
[典例引领]
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
【证明】 (1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·， (小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列． (结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
所以Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．
又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，
所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．
证明：设x1，x2∈R，取x1
所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
因为x1
所以y＝f(x)为R上的单调增函数．
把握合情推理与演绎推理的三个特点
(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．
(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，
结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．
易错防范
(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据．
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选C.因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．
2．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．
sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，
如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝，故②错误．由向量的运算公式知③正确．
3．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为( )
A. B．q2
C. D.
解析：选C.由题意知，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq，所以＝b1q，所以等比数列{}的公比为，故选C.
4．(2018·陕西渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为( )
A．45 B．55
C．65 D．66
解析：选B.第1个图中，小石子有1个，
第2个图中，小石子有3＝1＋2个，
第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，
第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，
…
故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝＝55个，即a10＝55，故选B.
5．(2018·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故选C.
6．在平面几何中：△ABC的∠ACB内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.
答案：＝
7．(2018·陕西咸阳模拟)观察下列式子：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，…，根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是____________________．
解析：根据所给不等式可得第n个不等式是＋＋…＋<.
答案：＋＋…＋<
8．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.
答案：－＝1
9．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
证明：因为△ABC为锐角三角形，
所以A＋B>，
所以A>－B，
因为y＝sin x在上是增函数，
所以sin A>sin＝cos B，
同理可得sin B>cos C，sin C>cos A，
所以sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
10．给出下面的数表序列：
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8
12
…
其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
1．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )
A. B.
C.－1 D.＋1
解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)．
在“黄金双曲线”中，因为⊥，
所以·＝0.
又＝(c，b)，＝(－a，b)，
所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.
在等号两边同除以a2，得e2－1＝e，
解得e＝.
2．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A．2人 B．3人
C．4人 D．5人
解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解．首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．假设A，B两名同学的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此看得出，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．因为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件．易证3名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，因此满足条件的最多人数是3.
3．考察等式：
CC＋CC＋…＋CC＝C，(*)
其中n，m，r∈N*，r≤m
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一．但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式(*)成立；②等式(*)不成立；③证明正确；④证明不正确．
试写出所有正确判断的序号：____________．
解析：显然公式CC＋CC＋…＋CC＝C是正确的，该公式的证明过程利用了构造概率事件的方法，其列举了该事件发生的所有的互斥事件，且其和事件为必然事件，其概率之和为1，故其证明过程是正确的，正确判断的序号为①③.
答案：①③
4．(2018·湖北八校联考模拟) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______________．
解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2(π×b2×a－π×b2a)＝π×b2a.
答案：π×b2a
5．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：
＋＋＝＋＋＝＝1.
请运用类比思想猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．
解：结论：在四面体VBCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．
则＋＋＋＝1.
证明如下：在四面体OBCD与VBCD中，设其高分别为h1，h，
则＝＝＝.
同理，＝；＝；＝，
所以＋＋＋＝
＝＝1.
6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f(x)(x∈D)，对任意x，y，∈D均满足f≥[f(x)＋f(y)]，当且仅当x＝y时等号成立．
(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)＋f(5)与2f(4)的大小；
(2)设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.
解：(1)对于f≥[f(x)＋f(y)]，
令x＝3，y＝5得f(3)＋f(5)≤2f(4)．
(2)证明：g－[g(x1)＋g(x2)]
＝－＋＝≥0，
所以g≥[g(x1)＋g(x2)]，
所以g(x)∈M.
1．推理
(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．
(2)分类：推理
2．合情推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
3.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
(3)模式：
三段论
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
(教材习题改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－1 B．an＝4n－3
C．an＝n2 D．an＝3n－1
解析：选C.由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则
a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；
a4＝a3＋2×4－1＝16，所以an＝n2.
(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.
推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．
解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．
答案：②
在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
归纳推理(高频考点)
归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：
(1)与数字(数列)有关的等式的推理；
(2)与不等式(式子)有关的推理；
(3)与图形变化有关的推理．
[典例引领]
角度一 与数字(数列)有关的等式的推理
有一个奇数组成的数阵排列如下：
1 3 7 13 21 …
5 9 15 23 … …
11 17 25 … … …
19 27 … … … …
29 … … … … …
… … … … … …
则第30行从左到右第3个数是________．
【解析】 观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.
【答案】 1 051
角度二 与不等式(式子)有关的推理
(2016·高考山东卷)观察下列等式：
＋＝×1×2；
＋＋＋＝×2×3；
＋＋＋…＋＝×3×4；
＋＋＋…＋＝×4×5；
……
照此规律，
＋＋＋…＋＝__________．
【解析】 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为n(n＋1)．
【答案】 n(n＋1)
角度三 与图形变化有关的推理
我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为( )
A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2
C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1
【解析】 我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.
【答案】 D
归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．
(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．
(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．
[通关练习]
1．观察三角数阵，记第n行的第m个数为a(n，m)，则下列关系正确的是( )
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…
1 10 45 … 45 10 1
A．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)
B．a(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)
C．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)
D．a(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)
解析：选A.观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩上”两个数之和．所以a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．
2．(2018·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．
n级分形图中共有________条线段．
解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3(n∈N*)．
答案：3×2n－3(n∈N*)
类比推理
[典例引领]
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
【解】 如题图所示，在Rt△ABC中，
∠C＝90°.
设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
类似地，在四面体PDEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S＋S＋S成立．
若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2 A＋cos2 B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．
解：如图，在Rt△ABC中，
cos2A＋cos2B＝＋＝＝1.
于是把结论类比到四面体PA′B′C′中，我们猜想，四面体PA′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
[通关练习]
1．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2>0⇒z1>z2”．
其中类比得到的结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a，b，c，d都是有理数，是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．
2．(2018·山东烟台五校联考)已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)．△ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则＝，现将该命题类比到双曲线中，△ABC的顶点B在双曲线上，顶点A，C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，双曲线的离心率为e，则有________________．
解析：在双曲线中，设△ABC的外接圆的半径为r，则|AB|＝2rsin C，|AC|＝2rsin B，|BC|＝2rsin A，则由双曲线的定义得||BA|－|BC||＝2a，|AC|＝2c，则双曲线的离心率e＝＝＝，即＝.
答案：＝
演绎推理
[典例引领]
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
【证明】 (1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·， (小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列． (结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
所以Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．
又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，
所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．
证明：设x1，x2∈R，取x1
所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
因为x1
所以y＝f(x)为R上的单调增函数．
把握合情推理与演绎推理的三个特点
(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．
(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，
结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．
易错防范
(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据．
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选C.因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．
2．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．
sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，
如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝，故②错误．由向量的运算公式知③正确．
3．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为( )
A. B．q2
C. D.
解析：选C.由题意知，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq，所以＝b1q，所以等比数列{}的公比为，故选C.
4．(2018·陕西渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为( )
A．45 B．55
C．65 D．66
解析：选B.第1个图中，小石子有1个，
第2个图中，小石子有3＝1＋2个，
第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，
第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，
…
故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝＝55个，即a10＝55，故选B.
5．(2018·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故选C.
6．在平面几何中：△ABC的∠ACB内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.
答案：＝
7．(2018·陕西咸阳模拟)观察下列式子：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，…，根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是____________________．
解析：根据所给不等式可得第n个不等式是＋＋…＋<.
答案：＋＋…＋<
8．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.
答案：－＝1
9．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
证明：因为△ABC为锐角三角形，
所以A＋B>，
所以A>－B，
因为y＝sin x在上是增函数，
所以sin A>sin＝cos B，
同理可得sin B>cos C，sin C>cos A，
所以sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
10．给出下面的数表序列：
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8
12
…
其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
1．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )
A. B.
C.－1 D.＋1
解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)．
在“黄金双曲线”中，因为⊥，
所以·＝0.
又＝(c，b)，＝(－a，b)，
所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.
在等号两边同除以a2，得e2－1＝e，
解得e＝.
2．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A．2人 B．3人
C．4人 D．5人
解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解．首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．假设A，B两名同学的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此看得出，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．因为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件．易证3名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，因此满足条件的最多人数是3.
3．考察等式：
CC＋CC＋…＋CC＝C，(*)
其中n，m，r∈N*，r≤m
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一．但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式(*)成立；②等式(*)不成立；③证明正确；④证明不正确．
试写出所有正确判断的序号：____________．
解析：显然公式CC＋CC＋…＋CC＝C是正确的，该公式的证明过程利用了构造概率事件的方法，其列举了该事件发生的所有的互斥事件，且其和事件为必然事件，其概率之和为1，故其证明过程是正确的，正确判断的序号为①③.
答案：①③
4．(2018·湖北八校联考模拟) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______________．
解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2(π×b2×a－π×b2a)＝π×b2a.
答案：π×b2a
5．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：
＋＋＝＋＋＝＝1.
请运用类比思想猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．
解：结论：在四面体VBCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．
则＋＋＋＝1.
证明如下：在四面体OBCD与VBCD中，设其高分别为h1，h，
则＝＝＝.
同理，＝；＝；＝，
所以＋＋＋＝
＝＝1.
6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f(x)(x∈D)，对任意x，y，∈D均满足f≥[f(x)＋f(y)]，当且仅当x＝y时等号成立．
(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)＋f(5)与2f(4)的大小；
(2)设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.
解：(1)对于f≥[f(x)＋f(y)]，
令x＝3，y＝5得f(3)＋f(5)≤2f(4)．
(2)证明：g－[g(x1)＋g(x2)]
＝－＋＝≥0，
所以g≥[g(x1)＋g(x2)]，
所以g(x)∈M.
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