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所属成套资源：2019高考人教版数学（理科）一轮复习全套学案
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2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第1章1第1讲 集合及其运算
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知识点
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集 合
集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.
集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
命题及其关系、充分条件与必要条件
理解命题的概念.
了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
理解全称量词和存在量词的意义.
能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
第1讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号
语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
续 表
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号语言
A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝
{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB，则A⊆B且A≠B.( )
(4)N*NZ.( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
(教材习题改编)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A⊆B B．C⊆B
C．D⊆C D．A⊆D
答案：B
(教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( )
A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}
C．{3，4} D．{3，4，5}
解析：选C.因为A＝{x|2≤x<5}，
B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，
所以A∩B＝{3，4}．
(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.
答案：1
(教材习题改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2
集合的概念
[典例引领]
(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【解析】 (1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．
(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，
此时集合A中有重复元素3，
所以m＝1不符合题意，舍去；
当2m2＋m＝3时，
解得m＝－或m＝1(舍去)，
此时当m＝－时，
m＋2＝≠3符合题意．
所以m＝－.
【答案】 (1)C (2)－
[通关练习]
1．已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.因为∈Z，
所以2－x的取值有－3，－1，1，3，
又因为x∈Z，所以x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得
即所以1
集合间的基本关系
[典例引领]
(1)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1
C．A＝B D．A∩B＝∅
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【解析】 (1)由题意知A＝{x|－1
所以①若B＝∅，则2m－1
解得2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
【答案】 (1)B (2)(－∞，3]
1.在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？
解：若A⊆B，则即
所以m的取值范围为∅.
2.若将本例(2)中的集合A改为：A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？
解：因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，即2m－1
或
解得或
即m>4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
[通关练习]
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
C．3 D．4
解析：选D.因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个．
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|－m
当m>0时，因为A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1
所以
所以0
答案：m≤1
集合的基本运算
集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下两个命题角度：
(1)集合间的交、并、补运算；
(2)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．
[典例引领]
角度一 集合间的交、并、补运算
(1)(2017·高考天津卷)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
(2)(2018·南昌市第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝＋1}，那么A∩(∁UB)＝( )
A．∅ B．(0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【解析】 (1)A∪B＝{1，2，4，6}，(A∪B)∩C＝{1，2，4}，选项B符合．
(2)由题知，A＝{x|y＝lg x}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)．
【答案】 (1)B (2)C
角度二 已知集合的运算结果求参数的值(范围)
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
(2)(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[，1]
C．[，＋∞) D．(1，＋∞)
【解析】 (1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，选择C.
(2)因为A∩B≠∅，所以，解得a≥1，故选A.
【答案】 (1)C (2)A
(1)集合基本运算的求解策略
①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．
(2)集合的交、并、补运算口诀
交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．
[通关练习]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}
解析：选C.由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.
2．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D.依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.
3．(2018·河北衡水中学第七次调研)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0
C．(0，2] D．[2，＋∞)
解析：选D.A＝{x|log2x<1}＝{x|0
集合中的创新问题
[典例引领]
(1)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝－1，k∈A}，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
【解析】 (1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B.
(2)由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．
【答案】 (1)B (2){0，6}
解决集合创新型问题的方法
(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．
(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．
[通关练习]
1．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0
2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．
解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．
答案：6
集合运算的性质
(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
(6)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
易错防范
(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．
1．(2017·高考北京卷)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA＝( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选C.由已知可得，集合A的补集∁UA＝[－2，2]．
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
解析：选A.集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A.
3．已知集合A＝{x∈R|x－＝0}，则满足A∪B＝{－1，0，1}的集合B的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：选C.解方程x－＝0，得x＝1或x＝－1，所以A＝{1，－1}，又A∪B＝{－1，0，1}，所以B＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B共有4个．
4．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＝，n∈A}，则A∩B的真子集个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.由题意，得B＝{0，1，，，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
5．(2018·云南省第一次统一检测)设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与集合B的关系是( )
A．B⊆A B．B⊇A
C．B∈A D．A∈B
解析：选A.因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝{x|x>}，所以B⊆A，故选A.
6．(2018·陕西西安模拟)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M与集合N的关系是( )
A．M＝N B．M∩N＝N
C．M∪N＝N D．M∩N＝∅
解析：选B.因为集合M＝{－1，0，1}．N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，所以N＝{－1，0}，所以集合M∩N＝N.故选B.
7．(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝{y|y＝1＋，x∈A}，则A∩∁RB等于( )
A．(0，2] B．(2，3)
C．(3，5) D．(－2，－1)
解析：选A.因为A＝(0，3)，所以B＝(2，5)，所以A∩∁RB＝(0，2]．故选A.
8．(2018·湖北武昌模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( )
A．{0，1} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}
解析：选D.因为 A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|2
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B.当a＝1时，B中元素均为无理数 ，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2，选B.
10．(2018·安徽省两校阶段性测试)设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|ln(3－2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．(－∞，) B．(1，)
C．[1，) D．(，3]
解析：选B.A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|ln(3－2x)<0}＝{x|0<3－2x<1}＝{x|1
A．a＝ B．a≤
C．a＝－ D．a≥
解析：选C.因为log2(x－1)<1，所以x－1>0且x－1<2，即1
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B.当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；
当a＝－1，b＝－2时，z＝；
当a＝－1，b＝2时，z＝－；
当a＝1，b＝－2时，z＝－；
当a＝1，b＝2时，z＝.
故P⊗Q＝{0，－，}，该集合中共有3个元素，所以选B.
13．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．
解析：由于A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0
解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁SA＝{2，3}, 所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.
答案：4
15．设集合I＝{x|－3
16．已知A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|1＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．
解析：因为A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}⊆B，所以a≥2.
答案：[2，＋∞)
1．(2018·山东烟台调研)已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，集合N＝，则( )
A．M∩N＝∅ B．M⊆N
C．N⊆M D．M∪N＝M
解析：选B.由题意可知，M＝{x|x＝π－，k∈Z}＝，N＝{x|x＝－或x＝π－，k∈Z}，所以M⊆N，故选B.
2．(2018·宁夏银川二中考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：选B.法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．
由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，取c＝1，则B＝(0，1)，所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0，2)，所以A⊆B成立，可排除A.
3．设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为________．
解析：因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1
4．若集合A具有以下性质：
(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“完美集”，给出以下结论：
①集合B＝{－1，0，1}是“完美集”；
②有理数集Q是“完美集”；
③设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A；
④设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；
⑤对任意的一个“完美集”A，若x，y∈A，且x≠0，则∈A.
其中正确结论的序号是________．
解析：①－1∈B，1∈B，但是－1－1＝－2∉B，B不是“完美集”；
②有理数集满足“完美集”的定义；
③0∈A，x，y∈A，0－y＝－y∈A，那么x－(－y)＝x＋y∈A；
④对任意一个“完美集”A，任取x，y∈A，若x，y中有0或1时，显然xy∈A，若x，y均不为0，1，而＝＋＝＋，x，x－1∈A，那么－＝∈A，所以x(x－1)∈A，进而x(x－1)＋x＝x2∈A.结合前面的算式，知xy∈A；
⑤x，y∈A，若x≠0，那么∈A，那么由④得∈A.
故填②③④⑤.
答案：②③④⑤
5．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3，5}．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.
解：(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋c×3＋15＝0，c＝－8，
所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，
又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3，5}，所以A＝{3}，
所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8.
(2)不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7，所以2x2＋3x－5≤0，所以－≤x≤1，
所以P＝{x|－≤x≤1}，
所以P∩Z＝{x|－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1，0，1}．
6．(2018·徐州模拟)已知集合A＝{x|1
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2
得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
(3)由A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②若2m<1－m，即m<时，需或
得0≤m<或∅，即0≤m<.
综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．
知识点
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集 合
集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.
集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
命题及其关系、充分条件与必要条件
理解命题的概念.
了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
理解全称量词和存在量词的意义.
能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
第1讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号
语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
续 表
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号语言
A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝
{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB，则A⊆B且A≠B.( )
(4)N*NZ.( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
(教材习题改编)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A⊆B B．C⊆B
C．D⊆C D．A⊆D
答案：B
(教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( )
A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}
C．{3，4} D．{3，4，5}
解析：选C.因为A＝{x|2≤x<5}，
B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，
所以A∩B＝{3，4}．
(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.
答案：1
(教材习题改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2
集合的概念
[典例引领]
(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【解析】 (1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．
(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，
此时集合A中有重复元素3，
所以m＝1不符合题意，舍去；
当2m2＋m＝3时，
解得m＝－或m＝1(舍去)，
此时当m＝－时，
m＋2＝≠3符合题意．
所以m＝－.
【答案】 (1)C (2)－
[通关练习]
1．已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.因为∈Z，
所以2－x的取值有－3，－1，1，3，
又因为x∈Z，所以x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得
即所以1
集合间的基本关系
[典例引领]
(1)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1
C．A＝B D．A∩B＝∅
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【解析】 (1)由题意知A＝{x|－1
所以①若B＝∅，则2m－1
解得2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
【答案】 (1)B (2)(－∞，3]
1.在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？
解：若A⊆B，则即
所以m的取值范围为∅.
2.若将本例(2)中的集合A改为：A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？
解：因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，即2m－1
或
解得或
即m>4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
[通关练习]
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
C．3 D．4
解析：选D.因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个．
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|－m
当m>0时，因为A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1
所以
所以0
答案：m≤1
集合的基本运算
集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下两个命题角度：
(1)集合间的交、并、补运算；
(2)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．
[典例引领]
角度一 集合间的交、并、补运算
(1)(2017·高考天津卷)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
(2)(2018·南昌市第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝＋1}，那么A∩(∁UB)＝( )
A．∅ B．(0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【解析】 (1)A∪B＝{1，2，4，6}，(A∪B)∩C＝{1，2，4}，选项B符合．
(2)由题知，A＝{x|y＝lg x}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)．
【答案】 (1)B (2)C
角度二 已知集合的运算结果求参数的值(范围)
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
(2)(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[，1]
C．[，＋∞) D．(1，＋∞)
【解析】 (1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，选择C.
(2)因为A∩B≠∅，所以，解得a≥1，故选A.
【答案】 (1)C (2)A
(1)集合基本运算的求解策略
①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．
(2)集合的交、并、补运算口诀
交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．
[通关练习]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}
解析：选C.由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.
2．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D.依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.
3．(2018·河北衡水中学第七次调研)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0
C．(0，2] D．[2，＋∞)
解析：选D.A＝{x|log2x<1}＝{x|0
集合中的创新问题
[典例引领]
(1)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝－1，k∈A}，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
【解析】 (1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B.
(2)由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．
【答案】 (1)B (2){0，6}
解决集合创新型问题的方法
(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．
(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．
[通关练习]
1．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0
2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．
解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．
答案：6
集合运算的性质
(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
(6)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
易错防范
(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．
1．(2017·高考北京卷)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA＝( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选C.由已知可得，集合A的补集∁UA＝[－2，2]．
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
解析：选A.集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A.
3．已知集合A＝{x∈R|x－＝0}，则满足A∪B＝{－1，0，1}的集合B的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：选C.解方程x－＝0，得x＝1或x＝－1，所以A＝{1，－1}，又A∪B＝{－1，0，1}，所以B＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B共有4个．
4．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＝，n∈A}，则A∩B的真子集个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.由题意，得B＝{0，1，，，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
5．(2018·云南省第一次统一检测)设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与集合B的关系是( )
A．B⊆A B．B⊇A
C．B∈A D．A∈B
解析：选A.因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝{x|x>}，所以B⊆A，故选A.
6．(2018·陕西西安模拟)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M与集合N的关系是( )
A．M＝N B．M∩N＝N
C．M∪N＝N D．M∩N＝∅
解析：选B.因为集合M＝{－1，0，1}．N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，所以N＝{－1，0}，所以集合M∩N＝N.故选B.
7．(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝{y|y＝1＋，x∈A}，则A∩∁RB等于( )
A．(0，2] B．(2，3)
C．(3，5) D．(－2，－1)
解析：选A.因为A＝(0，3)，所以B＝(2，5)，所以A∩∁RB＝(0，2]．故选A.
8．(2018·湖北武昌模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( )
A．{0，1} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}
解析：选D.因为 A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|2
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B.当a＝1时，B中元素均为无理数 ，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2，选B.
10．(2018·安徽省两校阶段性测试)设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|ln(3－2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．(－∞，) B．(1，)
C．[1，) D．(，3]
解析：选B.A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|ln(3－2x)<0}＝{x|0<3－2x<1}＝{x|1
A．a＝ B．a≤
C．a＝－ D．a≥
解析：选C.因为log2(x－1)<1，所以x－1>0且x－1<2，即1
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B.当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；
当a＝－1，b＝－2时，z＝；
当a＝－1，b＝2时，z＝－；
当a＝1，b＝－2时，z＝－；
当a＝1，b＝2时，z＝.
故P⊗Q＝{0，－，}，该集合中共有3个元素，所以选B.
13．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．
解析：由于A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0
解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁SA＝{2，3}, 所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.
答案：4
15．设集合I＝{x|－3
16．已知A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|1＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．
解析：因为A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}⊆B，所以a≥2.
答案：[2，＋∞)
1．(2018·山东烟台调研)已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，集合N＝，则( )
A．M∩N＝∅ B．M⊆N
C．N⊆M D．M∪N＝M
解析：选B.由题意可知，M＝{x|x＝π－，k∈Z}＝，N＝{x|x＝－或x＝π－，k∈Z}，所以M⊆N，故选B.
2．(2018·宁夏银川二中考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：选B.法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．
由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，取c＝1，则B＝(0，1)，所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0，2)，所以A⊆B成立，可排除A.
3．设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为________．
解析：因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1
4．若集合A具有以下性质：
(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“完美集”，给出以下结论：
①集合B＝{－1，0，1}是“完美集”；
②有理数集Q是“完美集”；
③设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A；
④设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；
⑤对任意的一个“完美集”A，若x，y∈A，且x≠0，则∈A.
其中正确结论的序号是________．
解析：①－1∈B，1∈B，但是－1－1＝－2∉B，B不是“完美集”；
②有理数集满足“完美集”的定义；
③0∈A，x，y∈A，0－y＝－y∈A，那么x－(－y)＝x＋y∈A；
④对任意一个“完美集”A，任取x，y∈A，若x，y中有0或1时，显然xy∈A，若x，y均不为0，1，而＝＋＝＋，x，x－1∈A，那么－＝∈A，所以x(x－1)∈A，进而x(x－1)＋x＝x2∈A.结合前面的算式，知xy∈A；
⑤x，y∈A，若x≠0，那么∈A，那么由④得∈A.
故填②③④⑤.
答案：②③④⑤
5．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3，5}．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.
解：(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋c×3＋15＝0，c＝－8，
所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，
又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3，5}，所以A＝{3}，
所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8.
(2)不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7，所以2x2＋3x－5≤0，所以－≤x≤1，
所以P＝{x|－≤x≤1}，
所以P∩Z＝{x|－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1，0，1}．
6．(2018·徐州模拟)已知集合A＝{x|1
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2
得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
(3)由A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②若2m<1－m，即m<时，需或
得0≤m<或∅，即0≤m<.
综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．
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