2019版高考数学（文）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第八章立体几何初步第4节

第4节　直线、平面平行的判定及其性质
最新考纲　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

知 识 梳 理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理

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判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面

a⊄α，b⊂α，
a∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

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判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

α∥β，a⊂α⇒a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
[常用结论与微点提醒]
1.平行关系中的两个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2.线线、线面、面面平行间的转化

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(　　)
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　)
解析　(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(必修2P61A组T1(1)改编)下列命题中正确的是(　　)
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
解析　根据线面平行的判定与性质定理知，选D.
答案　D
3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　当m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交.
当α∥β时，由m⊂α可知，m∥β.
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
答案　B
4.(2018·长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A.m∥α，n∥α，则m∥n B.m∥n，m∥α，则n∥α
C.m⊥α，m⊥β，则α∥β D.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
解析　A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交于一条直线，D错.
答案　C
5.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.

解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案　平行

考点一　与线、面平行相关命题的判定
【例1】 (1)(2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：
①若α∥β，则m∥n；
②若α∥β，则m∥β；
③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.
其中真命题的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2018·安庆模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下面说法正确的是________(填序号).
①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.
解析　(1)①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；
②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；
③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；
④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.
(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，
易得AM，CN交于点P，即MN⊂面APC，所以MN∥面APC是错误的.
对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.
所以C1Q∥面APC是正确的.
对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.
对于④，由①知MN⊂面APC，又MN⊂面MNQ，所以面MNQ∥面APC是错误的.

答案　(1)B　(2)②③
规律方法　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.
2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
【训练1】 (1)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).
解析　(1)若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.
(2)当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.
答案　(1)A　(2)②③④
考点二　直线与平面平行的判定与性质(多维探究)
命题角度1　直线与平面平行的判定
【例2－1】 (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.

(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N－BCM的体积.
(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA.
如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝×S△BCM×＝.
命题角度2　直线与平面平行性质定理的应用
【例2－2】 (2018·青岛质检)如图，五面体ABCDE，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°，CE∥平面ADF.
(1)试确定F的位置；
(2)求三棱锥A－CDF的体积.
解　(1)连接BE交AD于点O，连接OF，
∵CE∥平面ADF，CE⊂平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF，
∴CE∥OF.
∵O是BE的中点，∴F是BC的中点.
(2)∵BC与平面ABD所成角为30°，BC＝AB＝1，
∴C到平面ABD的距离为h＝BC·sin 30°＝.
∵AE＝2，
∴VA－CDF＝VF－ACD＝VB－ACD＝VC－ABD
＝×××1×2×＝.
规律方法　1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
【训练2】 (2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明　(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.
∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴BC⊥平面ABD.
∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，
∴AD⊥平面ABC，
又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.
考点三　面面平行的判定与性质(典例迁移)
【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【迁移探究1】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1，
又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
因此平面A1BD1∥平面AC1D.
【迁移探究2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值.
解　连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则＝＝1.
又由题设＝，∴＝1，即＝1.
规律方法　1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
【训练3】 (2018·东北三省四校联考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点.

(1)若线段AC上存在点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；
(2)证明：EF⊥A1C.
(1)解　点D是AC的中点，理由如下：
∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE，
∵在△ABC中，E是BC的中点，
∴D是AC的中点.
(2)证明　∵三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AA1，
∴四边形A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1.
∵AA1⊥底面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，
又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1C1C，
∵A1C⊂平面AA1C1C，∴AB⊥A1C.
又AB∩AC1＝A，从而A1C⊥平面ABC1，又BC1⊂平面ABC1，
∴A1C⊥BC1.
又∵E，F分别是BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，从而EF⊥A1C.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·保定模拟)有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.
其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.
答案　A
2.(2018·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)
A.异面 　　 B.平行
C.相交 　　 D.以上均有可能
解析　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
答案　B
3.(2018·广东省际名校联考)已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是(　　)
A.a⊂α，若b∥a，则b∥α
B.α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥β
C.a⊥b，b⊥c，则a∥c
D.a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
解析　选项A中，b⊂α或b∥α，不正确.
B中b与β可能斜交，B错误.
C中a∥c，a与c异面，或a与c相交，C错误.
利用面面平行的判定定理，易知D正确.
答案　D
4.(2018·合肥模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
解析　如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.
∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，
∴EF∥CD.
又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.
∴CD∥平面EFGH，
同理，AB∥平面EFGH，
所以与平面α(面EFGH)平行的棱有2条.
答案　C
5.(2017·惠州模拟)设直线l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是(　　)
A.l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β
B.l⊂α，m⊂β，且l∥m
C.l⊥α，m⊥β，且l∥m
D.l∥α，m∥β，且l∥m
解析　借助如图所示的长方体模型，可以判定选项A，B，D不一定推出α∥β.对于选项C，由l⊥α，l∥m，得m⊥α，又m⊥β，从而α∥β.
答案　C
二、填空题
6.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________.
解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.
答案　①或③
7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.

解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
答案　
8.(2018·郑州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).
解析　①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.
答案　②
三、解答题
9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.
解　(1)点F，G，H的位置如图所示.

(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.
10.(2018·张家口检测)如图，四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，点E，F分别为AD，PC的中点.

(1)证明：DF∥平面PBE；
(2)求点F到平面PBE的距离.
(1)证明　取PB的中点G，连接EG，FG，则FG∥BC，且FG＝BC.
∵DE∥BC且DE＝BC，
∴DE∥FG且DE＝FG，
∴四边形DEGF为平行四边形，
∴DF∥EG.
又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，故DF∥平面PBE.
(2)解　由(1)知DF∥平面PBE，∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d，连接BD.
∵VD－PBE＝VP－BDE，∴S△PBE·d＝S△BDE·PD，
由题意可求得PE＝BE＝，PB＝2，
∴S△PBE＝×2×＝.
又S△BDE＝DE·AB＝×1×2＝1，
∴d＝，即点F到平面PBE的距离为.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)
A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析　A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.
答案　D
12.如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.

解析　设BC1∩B1C＝O，连接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，
∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.
答案　1
13.(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
证明　(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，

图①
如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，
所以AC⊥平面BDEF.
因为FB⊂平面BDEF，
所以AC⊥FB.
(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.

图②
在△CEF中，因为G是CE的中点，
所以GI∥EF.又EF∥DB，
所以GI∥DB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，
所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH⊂平面GHI，
所以GH∥平面ABC.