2019版高考数学（文）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第八章立体几何初步第2节

第2节　空间几何体的表面积与体积
最新考纲　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

知 识 梳 理
1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
　　 名称
几何体　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝S底h
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
[常用结论与微点提醒]
1.正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　)
(2)球的体积之比等于半径比的平方.(　　)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)
解析　(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm
解析　由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm).
答案　B
3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A.12π B.π C.8π D.4π
解析　设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝a，即R＝.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.
答案　A
4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A.π B. C. D.
解析　如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝.
∴底面圆半径r＝＝，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·×1＝.
答案　B
5.(2018·天津河西区质检)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.

解析　根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为3 m.故该四棱锥的体积V＝×2×1×3＝2 (m3).
答案　2

考点一　空间几何体的表面积
【例1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A.20π B.24π C.28π D.32π
(2)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)

A.10 B.12 C.14 D.16
解析　(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.
由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.
所以l＝＝4.
故该几何体的表面积S表＝
πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.
(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12.

答案　(1)C　(2)B
规律方法　1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.
2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【训练1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)

A.8＋2 B.11＋2 C.14＋2 D.15
(2)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)

A.17π B.18π C.20π D.28π
解析　(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.

直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
(2)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉球所剩的组合体，

其表面积是球面面积的和三个圆面积.
设球的半径为R，则×πR3＝，R＝2.
故几何体的表面积S＝×4πR2＋πR2＝17π.
答案　(1)B　(2)A
考点二　空间几何体的体积
【例2】 (1)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)

A.3 B. C.1 D.
(2)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(　　)

A.＋π B.＋π
C.＋π D.1＋π
解析　(1)如题图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1的底面B1DC1上的高，
∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.
(2)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋×π×＝＋π.
答案　(1)C　(2)C
规律方法　1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.
2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
3.若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
【训练2】 (1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(　　)

A.2 B. C. D.3
(2)(2018·郑州质检)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.

解析　(1)由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3.
(2)由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h＝1，
则体积V＝Sh＝××1＝.
答案　(1)D　(2)
考点三　多面体与球的切、接问题(典例迁移)
【例3】 (经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A.4π B. C.6π D.
解析　由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝π.
答案　B
【迁移探究 】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积.
解　将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，
则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.
∴体对角线BC1的长为球O的直径.
因此2R＝＝13.
故S球＝4πR2＝169π.
规律方法　1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
【训练3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9.则球O的表面积为________.
(2)(2018·佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A.36π B.64π C.144π D.256π
解析　(1)如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC.
因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂平面SAC，所以OA⊥平面SBC.
设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，
所以VA－SBC＝×S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3，
所以r3＝9⇒r＝3，所以球O的表面积为4πr2＝36π.
(2)因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC的体积取得最大值.由×R2×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π.
答案　(1)36π　(2)C

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
解析　设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝.
所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝··5≈(立方尺).
故堆放的米约有÷1.62≈22(斛).
答案　B
2.(2018·北京燕博园研究中心)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)

A.π B.2π C.3π D.8π
解析　由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥.
∴该几何体的体积V＝3×π×12－·π×12×3＝2π.
答案　B
3.(2018·衡阳联考)如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为(　　)

A.6π B.π＋
C.4π D.2π＋
解析　此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成.表面积为S＝＋×2×2π＝4π.
答案　C
4.(2016·全国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)

A.18＋36 B.54＋18
C.90 D.81
解析　由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体.
由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为＝3.故该几何体的表面积S＝32×2＋(3×6)×2＋(3×3)×2＝54＋18.
答案　B
5.(2018·商丘模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10 cm的正方形，将该材料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近(　　)

A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
解析　由题意，知该硬质材料为三棱柱(底面为等腰直角三角形)，所以最大球的半径等于侧视图直角三角形内切圆的半径，设为r cm，则10－r＋10－r＝10.
∴r＝10－5≈3.
答案　A
二、填空题
6.(2017·全国Ⅱ卷)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.
解析　∵长方体的顶点都在球O的球面上，
∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.
设球的半径为R，则2R＝＝.
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×＝14π.
答案　14π
7.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
解析　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
答案　
8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________.

解析　设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为2R.
又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝πR3，
所以＝＝.
答案　
三、解答题
9.(2016·江苏卷改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？

解　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).
故仓库的容积是312 m3.
10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解　(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.

(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，
S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·衡水中学调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(　　)

A.π B.π
C.4π D.
解析　由三视图知该几何体为四棱锥，侧面PBC为侧视图，PE⊥平面ABC，E，F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，如图所示.
设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，
则h2＋2＝12＋(2－h)2，∴h＝，R2＝.
∴几何体的外接球的表面积S＝4πR2＝π.
答案　B
12.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝________.

解析　该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，如图.

则表面积S＝×4πr2＋πr2＋(2r)2＋πr·2r＝(5π＋4)r2，
又S＝16＋20π，所以(5π＋4)r2＝16＋20π，解得r＝2.
答案　2
13.(2018·沈阳质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点.

(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)求三棱锥C1－ABC的体积.
(1)证明　因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，
且A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC.
(2)解　∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.
由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝＝，
∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1.