2021版一轮复习名师导学物理文档：专题突破（十）　电磁感应中的导轨＋杆模型

专题突破(十)　电磁感应中的导轨＋杆模型

对应学生用书p204

“导轨＋杆”是电磁感应中一类常见的模型，它可以把力和电、磁融于一体，考查受力分析、牛顿定律、功能关系，能量守恒、动量定理、动量守恒定律、安培力、恒定电流等知识点，综合性较强．

导轨＋杆模型具有以下特点：

1．可分为单杆型和双杆型，放置的方式可分为水平、竖直和倾斜．

2．除了杆切割磁感线产生感应电动势之外，模型中可以有电源，也可以没有电源．

3．安培力是变力，杆一般做变加速运动，速度稳定时满足受力平衡．

4．杆除了受到安培力之外，可以受其他外力，也可以不受外力作用．

在这一模型中，由于感应电流与杆切割磁感线运动的加速度有相互制约的关系，故导体一般不是做匀变速运动，而是经历一个动态变化过程再趋向于一个稳定状态，分析这一动态过程进而确定最终状态是解决这类问题的关键．再利用动力学观点分析安培力、合力的变化对运动状态的影响，利用功能关系、能量守恒分析各种形式的能量之间的相互转化及总能量的守恒，利用动量定理或动量守恒分析安培力的冲量及杆的动量变化，此类问题就能迎刃而解了．

例1　(多选)如图所示，光滑平行金属导轨水平放置在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直．质量为m，电阻为R的金属棒静止在导轨上．导轨的一端经开关与带有等量异号电荷(电量均为Q)的平行导体板连接．开始时开关S处于断开状态，当闭合开关时，发现导体棒开始运动．已知两导体板之间的电势差与导体板所带电量成正比．下列说法中正确的是(　　)

A．导体板上的电荷逐渐减少，最后变为零

B．导体棒中的电流逐渐减小，最后变为零

C．导体棒的速度先增大，后减小，最后变为零

D．导体棒的速度达到最大时，导体板上的电荷不为零

[解析] 开始，电容器放电，导体棒中有向下的电流，导体会受安培力作用而运动，进而产生感应电动势，阻碍电流增加，故电容器电量不会变为零；金属棒中电流开始最大，逐渐减小，最后为零，故选项A错误，B正确；只要棒中有电流，导体棒速度就会增加，当电流为零时，棒的速度最大，之后匀速运动，棒的速度达到最大时，电容器两板间有一定电压且大小恒定，极板上的电荷不为零，故选项C错误，D正确．

[答案] BD

例2　如图所示，有一光滑、不计电阻且足够长的平行金属导轨，间距L＝0.5 m，导轨所在的平面倾角为37°，导轨空间内存在垂直导轨平面的匀强磁场．现将一质量m＝0.2 kg、电阻R＝2 Ω的金属杆垂直放在导轨上，与导轨接触良好．(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

(1)若磁感应强度随时间变化满足B＝4＋0.5t(T)，金属杆由距导轨顶部1 m处释放，求至少经过多长时间释放，会获得沿斜面向上的加速度；

(2)若磁感应强度随时间变化满足B＝ (T)，t＝0时刻金属杆从离导轨顶端s0＝1 m处静止释放，同时对金属杆施加一个外力，使金属杆沿导轨下滑且没有感应电流产生，求金属杆下滑5 m所用的时间；

(3)若匀强磁场大小为定值，对金属杆施加一个平行于导轨向下的外力F，其大小为F＝(v＋0.8) N，其中v为金属杆运动的速度，使金属杆以恒定的加速度a＝10 m/s2沿导轨向下做匀加速运动，求匀强磁场磁感应强度B的大小．

[解析] (1)设金属杆长为L，距离导轨顶部为x，经过时间t后，金属杆有沿着导轨向上的加速度，此时安培力等于重力沿导轨的分力，则FA＝mgsin θ，FA＝BIL＝BL，

其中E＝＝0.25 V，

所以(4＋0.5t)L＝mgsin θ，

解得t＝30.4 s.

(2)由金属杆与导轨组成的闭合电路中，磁通量保持不变，经过时间t的位移为s，则B1Ls0＝B2L(s＋s0)，得s＝t2，

金属杆做初速度为零的匀加速直线运动，s＝5 m，

代入数据解得t＝ s

(3)对金属杆由牛顿第二定律mgsin θ＋F－FA＝ma，

其中FA＝BIL＝

解得mgsin θ＋F－＝ma，

代入数据得2＋v＝2，

所以1－＝0，

解得B＝2 T.

1．(多选)如图所示，两根平行光滑金属导轨固定在同一水平面内，其左端接有定值电阻R，建立Ox轴平行于金属导轨，在0≤x≤4 m的空间区域内存在着垂直导轨平面向下的磁场，磁感应强度B随坐标x(以m为单位)的分布规律为B＝(0.8－0.2x) T，金属棒ab在外力作用下从x＝0处沿导轨向右运动，ab始终与导轨垂直并接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．设在金属棒从x1＝1 m处，经x2＝2 m到x3＝3 m的过程中，电阻R的电功率始终保持不变，则(　　)

A．金属棒做匀速直线运动

B．金属棒运动过程中产生的电动势始终不变

C．金属棒在x1与x2处受到磁场B的作用力大小之比为3∶2

D．金属棒从x1到x2与从x2到x3的过程中通过R的电量之比为5∶3

[解析] 由功率的计算式：P＝I2R＝，知道由于金属棒从x1＝1 m经x2＝2 m到x3＝3 m的过程电功率保持不变，所以E应不变，选项B正确；由动生电动势E＝Blv可知，B随着距离均匀减小，则v一直增大，故棒做加速直线运动，故A错误；由安培力公式F＝BIL及P＝EI知，＝＝＝＝，故C正确；由于金属棒从x1＝1 m经x2＝2 m到x3＝3 m的过程中，R的电功率保持不变，由P＝I2R知道R中的电流相等，再由安培力公式F＝BIL，所以F－x图象如图所示：

显然图象与坐标轴围成的面积就是克服安培力做的功，即R产生的热量，所以＝＝，由热量Q＝I2Rt，热量之比为5∶3，电流相同说明时间之比为5∶3，因此电量＝＝＝，故D正确．

[答案] BCD

2．如图所示为某研究小组设计的电磁炮供弹和发射装置．装置由倾角θ＝37°的倾斜导轨和水平导轨在AB处平滑连接而成，电磁炮发射位置CD与AB相距x＝0.4 m．倾斜导轨处有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B1，ABCD区域无磁场，CD处及右侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B2.倾斜导轨顶端的单刀双掷开关可连接阻值R＝1.0 Ω的电阻和电容C＝0.5 F的电容器．质量m＝2.0 kg、长度L＝1.0 m、电阻r＝1.0 Ω的金属杆ab代替电磁炮弹，金属杆与倾斜导轨和ABCD区域导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，CD右侧导轨光滑且足够长．供弹过程：开关打到S1处，金属杆从倾斜导轨某个位置及以上任意位置由静止释放，金属杆最终都恰好精确停在CD处；发射过程：开关打到S2处，连接电压U＝100 V电容器，金属杆从CD位置开始向右加速发射．已知导轨间距为L＝1.0 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力．

(1)求金属杆到达AB处时速度v的大小；

(2)为精确供弹，求磁感应强度B1的大小；

(3)当B2多大时，金属杆的最终速度最大？最大速度为多少？

[解析] (1)金属杆从AB到CD的过程，根据动能定理得－μmgx＝0－mv2

可得v＝2 m/s.

(2)为精确供弹，金属杆只要在倾斜导轨上最终达到匀速运动，则有mgsin θ＝μmgcos θ＋F安，

又F安＝

解得B1＝2.0 T

(3)稳定时金属杆速度最大，设金属杆的最终速度是v1，此时电容器为电压为U1，则有U1＝B2Lv1

金属杆受到的安培力的冲量，由动量定理得

∑B2iLΔt＝mv1－0

即为B2Lq＝mv1

其中q＝C(U－U1)

联立得v1＝

当＝B2L2C时v1最大

即得B2＝2.0 T

最大速度为v1＝25 m/s.