2021届高考物理粤教版一轮学案：第四章第4讲万有引力与航天


第4讲　万有引力与航天

知识要点
一、开普勒三定律
1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
二、万有引力定律及其应用
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
2.表达式：F＝G
G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。
三、三个宇宙速度
1.第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9__km/s。

(2)特点
①第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。
②第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度。
(3)第一宇宙速度的计算方法
①由G＝m得v＝＝7.9 km/s
②由mg＝m得v＝＝7.9 km/s
2.宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
基础诊断
1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析　行星做椭圆运动，且在不同的轨道上，所以A、B项错误；根据开普勒第三定律，可知C项正确；对在某一轨道上运动的天体来说，天体与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，而题中是两个天体、两个轨道，所以D项错误。
答案　C
2.一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的(　　)
A.0.25倍 B.0.5倍
C.2.0倍 D.4.0倍
解析　由F引＝＝＝＝2F地，故C项正确。
答案　C
3.北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。对于其中的5颗同步卫星，下列说法正确的是(　　)
A.它们运行的线速度一定不小于7.9 km/s
B.地球对它们的吸引力一定相同
C.一定位于赤道上空同一轨道上
D.它们运行的加速度一定相同
解析　同步卫星运行的线速度一定小于7.9 km/s，选项A错误；由于5颗同步卫星的质量不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定相同，选项B错误；5颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，方向不相同，选项C正确，D错误。
答案　C

　开普勒三定律的理解和应用
[教材原题：人教版必修2·P36·T1]
【例1】 地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是1.5天文单位，根据开普勒第三定律，火星公转的周期是多少个地球日？
解析　根据开普勒第三定律有＝
解得T火＝()T地＝1.5×365日＝671日
答案　671日
【拓展提升1】 地球公转半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是1.5天文单位，则火星公转的周期与地球公转的周期之比为(　　)
A. B.
C. D.
解析　由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，D正确。
答案　D
【拓展提升2】 (2018·全国Ⅲ卷，15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为(　　)
A.2∶1 B.4∶1
C.8∶1 D.16∶1
解析　由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正确。
答案　C

1.2018年2月7日凌晨，太空技术探索公司Space X成功通过猎鹰重型火箭将一辆特斯拉跑车送入绕太阳飞行的轨道。如图1所示，已知地球中心到太阳中心的距离为rD，火星中心到太阳中心的距离为rH，地球和火星绕太阳运动的轨迹均可看成圆，且rH＝1.4rD，若特斯拉跑车沿图中椭圆轨道转移，则其在椭圆轨道上的环绕周期约为(　　)

图1
A.1.69年 B.1.3年
C.1.44年 D.2年
解析　设跑车在椭圆轨道上的运行周期为T，椭圆轨道的半长轴为R，由开普勒第三定律有＝，其中R＝，TD＝1年，解得跑车在椭圆轨道上的运行周期T≈1.3年，B正确。
答案　B
2.(2019·江苏卷，4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图2所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则(　　)

图2
A.v1＞v2，v1＝ B.v1＞v2，v1＞
C.v1＜v2，v1＝ D.v1＜v2，v1＞
解析　卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1＞v2。若卫星以近地点时的半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝，由于卫星在近地点做离心运动，则v1＞v近，即v1＞，选项B正确。
答案　B
　万有引力定律的理解及应用
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
2.星球上空的重力加速度g′
(1)在星球表面附近的重力加速度g(不考虑星球自转)；mg＝G，得g＝。
(2)在星球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。
【例2】 (2019·全国Ⅱ卷，14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是(　　)

解析　由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A，选项D正确。
答案　D

1.若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为(　　)
A.1 B.
C. D.
解析　当物体处于地面时，有mg＝G，当物体距离地面3R时，有mg′＝G，由此得g′∶g＝1∶16，选项D正确。
答案　D
2.(多选)北京时间2017年4月21日消息，科学家们发现在大约39光年外存在一个温度适宜，但质量稍大于地球的所谓“超级地球”，它围绕一颗质量比太阳稍小的恒星运行。这颗行星的直径大约是地球的1.4倍，质量是地球的7倍。万有引力常量为G，忽略自转的影响。下列说法正确的是(　　)
A.“超级地球”表面重力加速度大小是地球表面的
B.“超级地球”表面重力加速度大小是地球表面的倍
C.“超级地球”的第一宇宙速度大小是地球的倍
D.“超级地球”的第一宇宙速度大小是地球的
解析　由G＝mg可得g＝，故＝＝，故A错误，B正确；由G＝m解得v＝，所以＝＝，故C正确，D错误。
答案　BC
　天体质量和密度的估算
1.“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2.“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝mr，得M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于
天体半径R，则天体密度ρ＝。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
3.计算中心天体的质量、密度时的两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。
【例3】 (2017·北京理综，17)利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
解析　因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即＝mg，得M地＝，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m卫和T＝，得M地＝，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m月r，得M地＝，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m地r，得M太＝，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题答案为D。
答案　D

1.(2018·11月浙江选考)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F(其它星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动，已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则字宙飞船和星球的质量分别是(　　)

图3
A.， B.，
C.， D.，
解析　根据牛顿第二定律可知F＝ma＝m，所以飞船质量为m＝。飞船做圆周运动的周期T＝，得半径为r＝，根据万有引力提供向心力可得G＝m，得星球质量M＝＝，故选项D正确。
答案　D
2.(2019·江西高安二中5月仿真考试)科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得的读数为F1，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测得的读数为F2，通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为(　　)
A.， B.，
C.， D.，
解析　在火星的两极，宇航员用弹簧测力计测得的读数F1等于万有引力，即G＝F1，在火星的赤道上，物体的重力不等于万有引力，有G－F2＝mω2R，联立解得R＝，又M＝πR3ρ，解得ρ＝，选项A正确，B、C、D错误。
答案　A
3.(多选)(2019·河北衡水重点名校模拟)下表是一些有关火星和地球的数据，利用引力常量G和表中选择的一些信息可以完成的估算是(　　)
信息序号
①
②
③
④
⑤
信息内容
地球一年约为365天
地表重力加速度约为9.8 m/s2
火星的公转周期约为687天
日地距离大约是1.5亿千米
地球半径约为6 400千米
A.选择②⑤可以估算地球的质量
B.选择①④可以估算太阳的密度
C.选择①③④可以估算火星公转的线速度
D.选择①②④可以估算太阳对地球的吸引力
解析　由G＝mg，解得地球质量M地＝，所以选择②⑤可以估算地球质量，选项A正确；由G＝M地r()2，解得M太＝，所以选择①④可以估算太阳的质量，由于不知太阳半径(太阳体积)，因而不能估算太阳的密度，选项B错误；根据开普勒第三定律，选择①③④可以估算火星公转轨道半径r火，火星公转的线速度v火＝ωr火＝r火()，选项C正确；选择①④可以估算地球围绕太阳运动的加速度，因为不知地球质量，所以不能估算太阳对地球的吸引力，选项D错误。
答案　AC
　宇宙航行
1.一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
2.两组公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
G＝mg(g为天体表面处的重力加速度)
3.卫星的运行轨道(如图所示)

(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。
(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心。
4.同步卫星的六个“一定”

考向　宇宙速度
【例4】 (2019·北京卷，18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星(　　)
A.入轨后可以位于北京正上方
B.入轨后的速度大于第一宇宙速度
C.发射速度大于第二宇宙速度
D.若发射到近地圆轨道所需能量较少
解析　同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的环绕速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
答案　D
考向　卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
【例5】 (2019·全国Ⅲ卷，15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　)
A.a金＞a地＞a火 B.a火＞a地＞a金
C.v地＞v火＞v金 D.v火＞v地＞v金
解析　行星绕太阳做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和圆周运动知识可知G＝ma，得向心加速度a＝
由G＝m，得速度v＝
由于R金＜R地＜R火
所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确。
答案　A
考向　航天科技
【例6】 (多选)(2019·广东六校第三次联考)2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器登陆月球，实现人类探测器首次月球背面软着陆，为给“嫦娥四号”探测器提供通信支持，我国于2018年5月21日发射了“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”，如图4所示，“鹊桥”中继卫星围绕地月拉格朗日L2点旋转，“鹊桥”与L2点的距离远小于L2点与地球的距离。已知位于地月拉格朗日L1、L2点处的小物体在地、月的引力作用下，几乎不消耗燃料，便可与月球同步绕地球做圆周运动。下列说法正确的是(　　)

图4
A.“鹊桥”的发射速度大于11.2 km/s
B.“鹊桥”绕地球运动的周期约等于月球绕地球运动的周期
C.同一卫星在L2点受地、月引力的合力比在L1点受地、月引力的合力大
D.“鹊桥”若刚好位于L2点，则它能够更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持
解析　11.2 km/s是卫星脱离地球的引力束缚的最小发射速度，“鹊桥”并没有脱离地球的引力，其发射速度应小于11.2 km/s，选项A错误；根据题意知中继卫星“鹊桥”绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期近似相同，选项B正确；由题意可知，同一卫星位于L1点和L2点时，绕地球转动的角速度相同，再结合F＝mω2r可知，同一卫星在L2点所受月球和地球引力的合力比在L1点的要大，选项C正确；“鹊桥”若刚好位于L2点，由几何关系可知，通讯范围较小，则它并不能更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持，故D错误。
答案　BC

1.(2019·4月浙江选考，7)某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星(即卫星相对于地面静止)。则此卫星的(　　)

图5
A.线速度大于第一宇宙速度
B.周期小于同步卫星的周期
C.角速度大于月球绕地球运行的角速度
D.向心加速度大于地面的重力加速度
解析　第一宇宙速度7.9 km/s是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，故此卫星的线速度小于第一宇宙速度，A错误；根据题意，该卫星是一颗同步卫星，周期等于同步卫星的周期，故B错误；卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，根据＝mω2r可知，绕行半径越小，角速度越大，故此卫星的角速度大于月球绕地球运行的角速度，C正确；根据an＝可知，绕行半径越大，向心加速度越小，此卫星的向心加速度小于地面的重力加速度，D错误。
答案　C
2.(2019·天津卷，1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　)

图6
A.周期为 B.动能为
C.角速度为 D.向心加速度为
解析　探测器绕月运动由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝mr，解得周期T＝，A正确；由G＝m知，动能Ek＝
mv2＝，B错误；由G＝mrω2得，角速度ω＝，C错误；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。
答案　A
3.如图7所示，1、2、3分别是A、B、C三颗卫星绕地球运行的轨道，1、2是圆轨道，3是椭圆轨道，其中1是近地轨道，P为椭圆轨道的近地点，Q为2、3两个轨道的一个交点，则下列说法正确的是(　　)

图7
A.三颗卫星的线速度均不超过地球的第一宇宙速度
B.卫星B和卫星C的线速度大小有可能在某时刻相等
C.在Q点，卫星B的加速度一定大于卫星C的加速度
D.卫星A的周期最小，卫星B的周期最大
解析　椭圆轨道上的卫星C在P点的速度大于第一宇宙速度，A错误；卫星B的线速度小于第一宇宙速度，卫星C的线速度在近地点大于第一宇宙速度，在远地点小于第一宇宙速度，因此卫星B和卫星C的线速度大小有可能在某时刻相等，B正确；由a＝可知，在Q点，卫星B的加速度大小等于卫星C的加速度大小，C错误；由于不能确定轨道2的半径与轨道3半长轴的大小关系，故不能确定卫星B的周期最大，D错误。
答案　B
课时作业
(时间：40分钟)
基础巩固练
1.关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析　开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，并没有找出其中的原因，而牛顿发现了万有引力定律。
答案　B
2.(2019·山西部分学校模拟)2018年7月10日，我国成功发射了第三十二颗北斗导航卫星。该卫星属于倾斜地球同步轨道卫星，其运转轨道面与地球赤道面有夹角，离地面的高度和地球静止同步轨道卫星离地面的高度一样。仅考虑卫星与地球间的作用，关于第三十二颗北斗导航卫星，下列说法正确的是(　　)
A.周期小于地球自转的周期
B.线速度大于第一宇宙速度
C.加速度大于地球静止同步轨道卫星的加速度
D.角速度等于地球静止同步轨道卫星的角速度
解析　因卫星与地球同步，则卫星的周期等于地球自转的周期，选项A错误；第一宇宙速度是卫星环绕地球做圆周运动的最大线速度，近似等于近地卫星的线速度，卫星的轨道半径越大，线速度越小，则此卫星的线速度小于第一宇宙速度，选项B错误；因卫星离地面的高度和地球静止同步轨道卫星离地面的高度一样，则根据a＝可知，卫星的加速度等于地球静止同步轨道卫星的加速度，选项C错误；因卫星的周期等于地球静止同步轨道卫星的周期，则卫星的角速度等于地球静止同步轨道卫星的角速度，选项D正确。
答案　D
3.(多选)如图1所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆。设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则(　　)

图1
A.T卫＜T月 　　　 B.T卫＞T月
C.T卫＜T地 　　　 D.T卫＝T地
解析　设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r卫、r同和r月，因r月＞r同＞r卫，由开普勒第三定律＝k，可知，T月＞T同＞T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，故有T月＞T地＞T卫，选项A、C正确。
答案　AC
4.探测火星一直是人类的梦想，假设宇航员乘飞船到达火星时贴着火星表面飞行一周所用时间为T1，已知火星的自转周期为T2，火星的半径为R，则要在火星上发射一颗同步卫星，此同步卫星在轨道上运行时离火星表面的高度为(　　)
A.(－1)R B.R
C.(－1)R D.R
解析　由开普勒第三定律得＝，解得H＝(－1)R，选项A正确。
答案　A
5.(多选)如图2所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列判断正确的是(　　)

图2
A.小行星带内的小行星都具有相同的角速度
B.小行星带内侧小行星的向心加速度大于外侧小行星的向心加速度
C.各小行星绕太阳运动的周期均大于一年
D.要从地球发射卫星探测小行星带，发射速度应大于地球的第三宇宙速度
解析　根据万有引力提供向心力，G＝mω2r，解得ω＝，可知不在同一轨道上的小行星的角速度不同，故A错误；同理有向心加速度a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度大于外侧小行星的向心加速度，故B正确；周期T＝2π，小行星的轨道半径比地球公转的半径大，所以各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，故C正确；要从地球发射卫星探测小行星带，就要克服地球的引力，所以发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故D错误。
答案　BC
6.如图3为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道。已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度) (　　)

图3
A.3 h B.8 h
C.15 h D.20 h
解析　根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1。地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律，＝，解得T1＝3 h，选项A正确。
答案　A
7.中国月球探测工程首席科学家欧阳自远在第22届国际天文馆学会大会上透露，我国即将开展深空探测，计划将在2020年实现火星的着陆巡视，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N圈所用时间为t，已知地球质量为M，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。仅利用以上数据，可以计算出的物理量有(　　)
A.火星的质量 B.火星的密度
C.火星探测器的质量 D.火星表面的重力加速度
解析　由题意可知火星探测器绕火星表面运行的周期T＝，由GM＝gR2和G＝m()2r，可得火星的质量为M火＝，由于火星半径未知，所以火星质量不可求，故选项A错误；由M火＝ρ·πr3及火星质量表达式可得ρ＝，则密度可求出，选项B正确；天体运动问题中，在一定条件下只能计算出中心天体的质量(本题中无法求出)，不能计算出环绕天体的质量，故选项C错误；根据g火＝a＝()2r＝，由于火星半径未知，所以火星表面重力加速度不可求，选项D错误。
答案　B
8.(2020·陕西榆林模拟)2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.同步卫星运行的周期为2π
B.同步卫星运行的线速度为
C.同步轨道处的重力加速度为()2g
D.地球的平均密度为
解析　地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动，万有引力提供向心力，有＝m＝m，在地球表面，认为重力等于万有引力，有m′g＝，故同步卫星运行的周期为T＝2π，线速度v＝，选项A、B错误；根据万有引力提供向心力，有＝mg′，联立解得g′＝()2g，选项C正确；由m′g＝得，M＝，故地球的平均密度为ρ＝＝，选项D错误。
答案　C
9.(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则(　　)
A.g′∶g＝1∶5 B.g′∶g＝5∶2
C.M星∶M地＝1∶20 D.M星∶M地＝1∶80
解析　由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t＝，因此得＝＝，选项A正确，B错误；由G＝mg得M＝，因而＝＝×＝，选项C错误，D正确。
答案　AD
综合提能练
10.(多选)近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.如果该星体的自转周期T＜2π，则该星体会解体
B.如果该星体的自转周期T＞2π，则该星体会解体
C.该星体表面的引力加速度为
D.如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则该卫星的速度大小为
解析　如果在该星体“赤道”表面有一物体，质量为m′，当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需要的向心力时，即G＞m′R时，有T＞2π，此时，星体处于稳定状态不会解体，而当该星体的自转周期T＜2π时，星体会解体，故选项A正确，B错误；在该星体表面，有G＝m′g′，所以g′＝G，故选项C错误；如果有质量为m″的卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，有G＝m″，解得v＝，故选项D正确。
答案　AD
11.(2019·重庆八中5月模拟)位于贵州的“中国天眼”(FAST)是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，通过FAST测得水星与太阳的视角(水星、太阳分别与地球上使用FAST的观察者的连线所夹的角)为θ，如图4示，若最大视角θC的正弦值为k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则地球和水星的公转周期的比值为(　　)

图4
A. B.
C.k3 D.
解析　观察者与水星的连线与水星绕太阳运动的轨道相切时，水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角为最大视角θC。由三角函数可得sin θC＝，结合题中已知条件sin θC＝k，由万有引力提供向心力有G＝mr，解得T＝2π，故＝＝＝，选项A、C、D错误，B正确。
答案　B
12.2019年4月10日，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布人类史上首张黑洞照片，照片中是室女座巨椭圆星系M87的黑洞照片，这是黑洞存在最直接的视觉证据。黑洞的发现是由全球200多位科学家，历时十年、从全球四大洲8个观测点共同合作完成的成果，这也表明当今世界合作才会共赢，单边主义只会越走越窄。黑洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50亿倍，太阳质量为2×1030 kg，光在真空中的传播速度c＝3×108 m/s，引力常量G＝6.67×10－11 Nm2/kg2，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，请估算该黑洞最大半径的数量级为(　　)

图5
A.1010 m B.1011 m
C.1012 m D.1013 m
解析　设“黑洞”的可能半径为R，质量为M，根据逃逸速度(第二宇宙速度)的定义，结合第一宇宙速度可知，须满足＞c，即有R＜，所以“黑洞”的可能最大半径：Rmax＝ m＝1.5×1013 m，故选项D正确，A、B、C错误。
答案　D
13.(多选)(2019·哈尔滨六中模拟)2017年11月8日，“雪龙号”极地考察船驶离码头，开始了第34次南极考察之旅。“雪龙号”极地考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G1；在南极附近测得该物体的重力为G2。已知地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量分布均匀的球体，且海水的密度和船的总质量均不变，忽略其他星体对考察船及该物体的影响，由此可知(　　)
A.“雪龙号”考察船在南极时的吃水深度与在赤道时相同
B.“雪龙号”考察船在南极时的吃水深度比在赤道时大
C.地球的密度为
D.当地球的自转周期为T时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力
解析　“雪龙号”考察船航行时，竖直方向上有mg＝F浮＝ρ液gV排，故m＝ρ液V排，因海水的密度和船的总质量均不变，故“雪龙号”考察船航行时排水量不变，即在南极时的吃水深度与在赤道时相同，A正确，B错误；设地球的质量为M，半径为R，被测物体的质量为m，被测物体在赤道上时，G＝G1＋mR，被测物体在南极附近时，G＝G2，地球的体积V′＝πR3，地球的密度ρ′＝，联立解得ρ′＝，C正确；当放在地球赤道地面上的被测物体不再对地面有压力时，有G2＝mR，联立解得T′＝T，D正确。
答案　ACD
14.(多选)(2019·全国Ⅰ卷，21)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图6中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图6中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)

图6
A.M与N的密度相等
B.Q的质量是P的3倍
C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
解析　由题图知，当x＝0时，对P有mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q有mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。在星球表面，由mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，选项A正确；当P、Q的加速度a＝0时，对P有mPgM＝kx0，则mP＝；对Q有mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，选项B错误；根据a－x图线与坐标轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功及动能定理可知，EkmP＝mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，选项C正确；根据运动的对称性可知，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，选项D错误。
答案　AC