2021届高考物理粤教版一轮学案：第四章第2讲抛体运动


第2讲　抛体运动

知识要点
一、平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
4.基本规律
如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向。

图1
(1)位移关系

(2)速度关系

二、斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos__θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin__θ，F合y＝mg。

图2
基础诊断)
1.人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是(　　)

答案　C
2.[粤教版必修2·P14“实验与探究”改编]平抛物体的运动规律可以概括为两点：①水平方向做匀速直线运动；②竖直方向做自由落体运动。如图3所示为研究平抛运动的实验装置，现把两个小铁珠分别吸在电磁铁C、E上，然后切断电磁铁C的电源，使一只小铁珠从轨道A射出，并在射出时碰撞开关S，使电磁铁E断电释放它吸着的小铁珠，两铁珠同时落到地面。这个实验(　　)

图3
A.只能说明上述规律中的第①条
B.只能说明上述规律中的第②条
C.不能说明上述规律中的任何一条
D.能同时说明上述两条规律
答案　B
3.小明玩飞镖游戏时，从同一位置先后以速度vA和vB将飞镖水平掷出，飞镖依次落在靶盘上的A、B两点，如图4所示，飞镖在空中运动的时间分别为tA和tB。不计空气阻力，则(　　)

图4
A.vA＜vB，tA＜tB 　　　 B.vA＜vB，tA＞tB
C.vA＞vB，tA＜tB 　　　 D.vA＞vB，tA＞tB
解析　飞镖做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2，得t＝，因为B下落的高度较大，所以B运动的时间长，即有tA＜tB；水平方向上做匀速直线运动，有x＝v0t，则初速度v0＝＝x，x相同，h越大，v0越小，所以有vA＞vB，选项C正确。
答案　C

　平抛运动的规律及应用
1.平抛运动的处理方法—“化曲为直”
根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为两个方向上的直线运动：
(1)水平方向的匀速直线运动。
(2)竖直方向的自由落体运动。
2.飞行时间：由t＝知，平抛运动的时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
3.水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
4.落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。
考向　单个物体的平抛运动
【例1】 如图5所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 (　　)

图5
A.小球通过B点的速度为12 m/s
B.小球的抛出速度为5 m/s
C.小球从A点运动到B点的时间为1 s
D.A、B之间的距离为6 m
解析　由平抛运动规律知v0＝vAsin 60°，v0＝vBsin 30°，解得v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，选项A、B错误；竖直速度vAy＝vAcos 60°，vBy＝vBcos 30°，vBy＝vAy＋gt，解得t＝1 s，选项C正确；由v－v＝2gy，x＝v0t，s＝，解得s＝5 m，选项D错误。
答案　C
考向　多个物体的平抛运动
1.若两物体同时从同一高度(或同一点)水平抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
2.若两物体同时从不同高度水平抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定。
3.若两物体从同一点先后水平抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
4.两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇。
【例2】 如图6所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1∶2，则下列说法正确的是 (　　)

图6
A.A、B两球的初速度之比为1∶4
B.A、B两球的初速度之比为1∶2
C.若两球同时抛出，则落地的时间差为
D.若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1)
解析　由x＝v0t和y＝gt2知v1＝＝，v2＝＝x，因此两球的初速度之比为1∶2，A、B项错误；若两球同时抛出，则落地的时间差为－＝(－1)，C项错误；若两球同时落地，则两球抛出的时间差也为(－1)，D项正确。
答案　D

1.如图7所示，在M点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，两小球分别落在水平地面上的P点、Q点。已知O点是M点在地面上的竖直投影，∶＝1∶3，且不考虑空气阻力的影响，下列说法中正确的是(　　)

图7
A.两小球的下落时间之比为1∶3
B.两小球的下落时间之比为1∶4
C.两小球的初速度大小之比为1∶3
D.两小球的初速度大小之比为1∶4
解析　两球的抛出点高度相同，故下落时间相同，故A、B项错误；两小球的水平位移分别为OP和OQ，故水平位移之比为1∶4，故由x＝vt可知两小球的初速度之比为1∶4，故D项正确，C项错误。
答案　D
2.以速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，从抛出时刻开始计时，经t1时间小球到达竖直分速度与水平分速度大小相等的A点，经t2时间小球到达竖直分位移与水平分位移大小相等的B点，下列判断正确的是(　　)
A.t1、t2的大小与v0的大小无关
B.t2＝2t1
C.A、B两点速度大小之比为1∶2
D.A、B两点的高度差为
解析　到达A点时，由v0＝gt1可得t1＝，到达B点时，由v0t2＝gt可得t2＝；v0越大，t1、t2越大，且t2＝2t1，A项错误，B项正确；vA＝v0，vB＝＝v0，C项错误；h1＝，h2＝，则两点的高度差为，D项错误。
答案　B
　与各种面相关联的平抛运动
考向　平抛运动与斜面结合
【例3】 (多选)如图8，小球在倾角为θ的斜面上方O点处以速度v0水平抛出，落在斜面上的A点时速度的方向与斜面垂直，重力加速度为g，不计空气阻力，根据上述条件可以求出(　　)

图8
A.小球由O点到A点的时间
B.O点距离地面的高度
C.小球在A点速度的大小
D.小球从O点到A点的水平距离
解析　小球速度方向与斜面垂直，根据平行四边形定则知，tan θ＝，故t＝，选项A正确；由时间t可根据y＝gt2求得小球下降高度，而计算不出O点离地面高度，选项B错误；由平行四边形定则知vA＝，选项C正确；小球从O点到A点的水平距离x＝v0t＝，选项D正确。
答案　ACD
【例4】 (多选)(2019·安徽黄山4月模拟)如图9所示，甲、乙两个小球同时从一固定的足够长斜面上的A、B两点分别以v0、2v0的速度水平抛出，分别落在斜面上的C、D两点(图中未画出)，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)

图9
A.甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度方向相同
B.甲、乙两球做平抛运动的时间之比为1∶4
C.A、C两点间的距离与B、D两点间的距离之比为1∶4
D.甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度大小之比为1∶
解析　设小球落在斜面上时，水平速度为v，速度与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，小球运动的时间为t，则tan α＝，tan θ＝＝，可知tan α＝2tan θ，因为小球落在斜面上时，位移与水平方向的夹角为定值，可知两球接触斜面的瞬间，速度方向相同，选项A正确；根据tan θ＝可得t＝，因为甲、乙两球初速度大小之比为1∶2，因此两球做平抛运动的时间之比为1∶2，选项B错误；根据平抛运动竖直方向位移公式h＝gt2并结合B选项的分析可知，甲、乙两球下落的高度之比为1∶4，根据相似三角形知识可知A、C两点间的距离与B、D两点间的距离之比为1∶4，选项C正确；甲、乙两球运动时间之比为1∶2，则竖直分速度大小之比为1∶2，因为两球落在斜面上时速度方向相同，故由几何知识可知，两球接触斜面的瞬间，速度大小之比为1∶2，选项D错误。
答案　AC
考向　平抛运动与曲面结合
【例5】 如图10所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环的半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力，则(　　)

图10
A.v0越大，小球落在圆环上的时间越长
B.即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C.当v0取值适当时，可以使小球垂直撞击半圆环
D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
解析　小球落在环上的最低点C时的下落时间最长，选项A错误；v0取值不同，则小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B错误；假设小球能垂直撞击半圆环，此时速度与水平方向的夹角为θ，则落点和圆心的连线与水平方向的夹角为θ，连接抛出点和落点，其连线与水平方向的夹角为β，根据几何关系知，θ＝2β，又因为平抛运动的速度与水平方向的夹角的正切值是位移与水平方向的夹角的正切值的2倍，即tan θ＝2tan β，这与θ＝2β相矛盾，故假设不成立，选项D正确，C错误。
答案　D

1.(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图11所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　)

图11
A.初速度之比是∶∶
B.初速度之比是1∶∶
C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
解析　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误。
答案　AC
2.(多选)如图12所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方P点，将一个小球以速度v0沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得该截面的圆心O与Q点的连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球从P运动到Q的时间是(　　)

图12
A.t＝ B.t＝
C.t＝ D.t＝
解析　如图所示，小球在水平方向上做匀速运动，水平位移x＝Rsin θ＝v0t，得t＝，故选项A正确；小球到达Q点时的竖直方向上的速度vy＝gt＝v0tan θ，得t＝，故选项B正确；小球从圆柱体的Q点沿切线飞过，故小球在Q点的速度方向垂直于半径OQ，Q点的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，设小球通过Q点时其竖直位移为y，则y＝tan θ＝Rsin θtan θ，又有y＝gt2，联立解得t＝，选项D正确，C错误。

答案　ABD
　生活中的平抛运动(STSE问题)
平抛运动与日常生活紧密联系，如乒乓球、足球、排球等运动模型，飞镖、射击、飞机投弹模型等。这些模型经常受到边界条件的制约，如网球是否触网或越界、飞镖是否能中靶心、飞机投弹是否能命中目标等。解题的关键在于能准确地运用平抛运动的规律分析对应的运动特征。
【例6】 (多选)如图13所示，一网球运动员将球在边界正上方某处水平向右击出，球的初速度垂直于球网平面，且刚好过网落在对方界内。相关数据如图，不计空气阻力，下列说法正确是(　　)

图13
A.击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1＝1.8h2
B.若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，一定落在对方界内
C.任意降低击球高度(仍大于h2)，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内
D.任意增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内
解析　由题意可知球通过水平位移s和s，所用的时间之比为2∶3，则在竖直方向上，根据h＝gt2，可得＝，解得h1＝1.8h2，故A正确；竖直方向上，根据h＝gt2，可得时间t＝，若保持击球高度不变，球恰不越界时，运动时间t1＝，故可得球的最大初速度v01＝＝；球恰好过网时，运动时间t2＝，故可得球的最小初速度v02＝＝s，故球初速度的取值范围是s≤v0≤，选项B错误；任意降低击球高度(仍大于h2)，存在一个临界高度h0，这个临界高度值满足h0－h2＝gt2＝g()2，h0＝gt′2＝g()2，联立得该临界高度h0＝h2，球的初速度v0＝，低于这一高度击球，球不能落在对方界内，故选项C错误；增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落到对方界内，故D正确。
答案　AD

处理平抛运动中的临界问题要抓住两点
(1)找出临界状态对应的临界条件；
(2)要用分速度或者分位移的思想分析平抛运动的临界问题。

1.[滑雪运动]2022年冬奥会将在中国举办的消息吸引了大量爱好者投入到冰雪运动中。若跳台滑雪比赛运动员从平台飞出后可视为平抛运动，现运动员甲以一定的初速度从平台飞出，轨迹为图14中实线①所示，则质量比甲大的运动员乙以相同的初速度从同一位置飞出，其运动轨迹应为图中的(　　)

图14
A.① B.②
C.③ D.④
解析　根据平抛运动规律可知，平抛运动轨迹只与初速度有关，与物体质量无关，所以质量比甲大的运动员乙以相同的初速度从同一位置飞出时，其运动轨迹应为图中的①，选项A正确。
答案　A
2.[排球的平抛运动]如图15所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，不计空气阻力，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是(　　)

图15
A.H＝H B.H＝h
C.H＝h D.H＝h
解析　将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，则有＝v0，＋＝v0，联立解得H＝h，故选项C正确。
答案　C
3.[乒乓球的平抛运动](2019·浙江稽阳联谊学校3月模拟)如图16所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上，可绕竖直转轴OO′转动，发球器O′A部分与桌面之间的距离为h，O′A部分的长度也为h。重力加速度为g，打开开关后，发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，≤v0≤2。设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90°的范围内来回缓慢地水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是(　　)

图16
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
解析　设乒乓球做平抛运动的时间为t，则t＝。当速度最大时，水平位移具有最大值xmax，xmax＝vmaxt＝2×＝4h，当速度最小时，水平位移具有最小值xmin，xmin＝vmint＝×＝2h，其中vmax、vmin为v0的最大值和最小值，又因为发球器O′A部分长度也为h，故乒乓球的落点距竖直转轴距离的范围为3h≤x≤5h，乒乓球第一次与桌面碰撞区域是一个圆心角为90°的宽度为2h的环形带状区域，其面积为S＝×π[(5h)2－(3h)2]＝4πh2，故选项A、B、D错误，C正确。
答案　C
课时作业
(时间：30分钟)
基础巩固练
1.(多选)如图1所示，将一小球从空中A点以水平速度v0抛出，经过一段时间后，小球以大小为2v0的速度经过B点，不计空气阻力，则小球从A到B(重力加速度为g)(　　)

图1
A.下落高度为
B.经过的时间为
C.速度增量为v0，方向竖直向下
D.运动方向改变的角度为60°
解析　小球经过B点时竖直分速度vy＝＝v0，由vy＝gt得t＝；根据h＝gt2得h＝，故A正确，B错误；速度增量为Δv＝gt＝v0，方向竖直向下，故C错误；小球经过B点时速度与水平方向的夹角正切值tan α＝＝，α＝60°，即运动方向改变的角度为60°，故D正确。
答案　AD
2.(2019·湖北省武汉市调研)如图2是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出。不计空气阻力，则(　　)

图2
A.a和b的飞行时间相同
B.b的飞行时间比c的短
C.a的水平初速度比b的小
D.c的水平初速度比a的大
解析　根据t＝可知，b下落的高度比a大，则b飞行的时间较长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误；b的竖直高度比c大，则b飞行的时间比c长，选项B错误；a的竖直高度比c大，则a飞行的时间比c长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比c的小，选项D正确。
答案　D
3.(多选)如图3所示，某同学站定在某处向着前方墙上的靶子练习投掷飞镖，飞镖的运动可近似看成平抛运动，当飞镖以一定速度在某高度投出时正中靶心，现让飞镖以更大的速度飞出，为了仍能击中靶心，下列说法正确的是(　　)

图3
A.保持投掷位置到靶心的水平距离不变，适当增加投掷高度
B.保持投掷位置到靶心的水平距离不变，适当降低投掷高度
C.保持投掷高度不变，适当后移投掷点
D.保持投掷高度不变，适当前移投掷点
解析　飞镖运动可近似看成是平抛运动，根据平抛运动的规律可得，
水平方向上x＝v0t
竖直方向上h＝gt2
联立可得x＝v0，现让飞镖以更大的速度飞出，为了仍能击中靶心，所以保持投掷位置到靶心的水平距离不变，应适当降低投掷高度。或保持投掷高度不变，适当后移投掷点，故A、D错误，B、C正确。
答案　BC
4.如图4所示是消防车利用云梯(未画出)进行高层灭火，消防水炮离地的最大高度H＝40 m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h＝
20 m的楼层，其水平射出的初速度在5 m/s≤v0≤15 m/s之间，可进行调节，出水口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则(　　)

图4
A.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最大为40 m
B.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最小为10 m
C.如果出水口与着火点的水平距离x不能小于15 m，则射出水的初速度最小为5 m/s
D.若该着火点高度为40 m，该消防车仍能有效灭火
解析　出水口与着火点之间的高度差为Δh＝20 m，又Δh＝gt2，t＝2 s，又5 m/s≤v0≤15 m/s，因此出水口与着火点的水平距离x的范围为10 m≤x≤30 m，故A错误，B正确；如果出水口与着火点的水平距离不能小于15 m，则最小出水速度为7.5 m/s，故C错误；如果着火点高度为40 m，保持出水口水平，则水不能到达着火点，故D错误。
答案　B
5.如图5所示，在竖直面内有一个以AB为水平直径的半圆，O为圆心，D为最低点。圆上有一点C，且∠COD＝60°。在A点以速率v1沿AB方向抛出一小球，小球能击中D点；在C点以速率v2沿BA方向抛出小球，小球也能击中D点.重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)

图5
A.圆的半径为R＝ B.圆的半径为R＝
C.速率v2＝v1 D.速率v2＝v1
解析　从A点抛出的小球做平抛运动，它运动到D点时，有R＝gt，R＝v1t1，故R＝，选项A正确，B错误；从C点抛出的小球也做平抛运动，它运动到D点时，有Rsin 60°＝v2t2，R(1－cos 60°)＝gt，解得v2＝v1，选项C、D错误。
答案　A
6.如图6所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(　　)

图6
A.1∶1 B.2∶1
C.3∶2 D.2∶3
解析　小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，均设为t，对A球
x＝v1t①
y＝gt2②
又tan 30°＝③
联立①②③得v1＝gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝＝⑤
则得v2＝gt⑥
由④⑥得v1∶v2＝3∶2，所以C正确。
答案　C
综合提能练
7.(2019·广州模拟)如图7所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度v0水平飞行，先后释放两颗炸弹，分别击中山坡上的M点和N点。释放两颗炸弹的时间间隔为t1，两颗炸弹分别击中M、N的时间间隔为t2，不计空气阻力，则(　　)

图7
A.t2＜t1 　　　 B.t2＝t1
C.t2＞t1 　　　 D.无法确定t1和t2的大小关系
解析　如图所示，炸弹做平抛运动，后一颗炸弹运动的抛物线轨迹相当于前一颗炸弹运动的抛物线轨迹向后平移了＝Δx＝v0t1的距离，平抛运动在水平方向上的分运动为匀速直线运动，故M、N两点间的水平距离l＝v0t2。欲比较t1和t2的大小关系，只需比较l和Δx的大小关系，由图易知Δx＞l，故t1＞t2，选项A正确。

答案　A
8.(多选)如图8所示，从同一竖直线上不同高度处的两点，分别以速率v1、v2同向水平抛出两小球A、B，它们恰好在P点相遇。不计空气阻力，空间足够大，下列说法正确的是(　　)

图8
A.v1＜v2
B.两球在P点一定具有相同的速率
C.若同时抛出，两球不可能在P点相遇
D.若同时抛出，落地前两球在竖直方向上的距离逐渐变大
解析　两球在竖直方向上做自由落体运动，到相遇点P时下降高度hA＞hB，根据h＝gt2知，飞行时间tA＞tB，即两球不同时抛出；两球在水平方向上做匀速运动，有x＝v0t，水平位移x相同，故初速度v1＜v2，选项A正确；因球到达P点时的竖直分速度vy＝gt，tA＞tB，故vAy＞vBy，又球在P点速率vP＝，而水平分速度v1＜v2，故不能确定两球在P点速度的大小关系，所以B错误；若同时抛出，因A球到达P点所需时间较长，故两球不可能在P点相遇，选项C正确；若同时抛出，两球在竖直方向上的相对初速度和相对加速度均为零，即在竖直方向上两球相对静止，故落地前两球在竖直方向上的距离等于初始距离，保持不变，选项D错误。
答案　AC