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所属成套资源：2021高考物理粤教版一轮复习学案
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2021届高考物理粤教版一轮学案：第四章第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
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考点内容
要求
全国卷三年考情分析
2017
2018
2019
运动的合成与分解
Ⅱ
Ⅰ卷·T15：平抛运动的规律
Ⅱ卷·T17：平抛运动、圆周运动
T19：开普勒定律、机械能守恒定律
Ⅲ卷·T14：天体的运动
Ⅰ卷·T20：双星模型
T16：天体密度的估算
Ⅲ卷·T15：卫星运动参量的计算
T17：斜面上的平抛运动
Ⅰ卷·T21：万有引力定律、牛顿第二定律、
a－s图象和功能关系
Ⅱ卷·T14：万有引力定律及其相关知识
T19：曲线运动、牛顿第二定律及v－t图象
Ⅲ卷·T15：万有引力定律的应用
抛体运动
Ⅱ
匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度
Ⅰ
匀速圆周运动的向心力
Ⅱ
离心现象
Ⅰ
万有引力定律及其应用
Ⅱ
环绕速度
Ⅱ
第二宇宙速度和第三宇宙速度
Ⅰ
经典时空观和相对论时空观
Ⅰ
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
知识要点
一、曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
如图1所示的曲线运动，vA、vC的方向与v的方向相同，vB、vD的方向与v的方向相反。
图1
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3.曲线运动的条件
二、运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程。
2.分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3.遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
基础诊断
1.(多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是( )
A.质点速度方向时刻在改变
B.质点加速度方向时刻在改变
C.质点速度方向一定与加速度方向相同
D.质点速度方向一定沿曲线的切线方向
答案 AD
2.关于力和运动，下列说法中正确的是( )
A.物体在恒力作用下可能做曲线运动
B.物体在变力作用下不可能做直线运动
C.物体在恒力作用下不可能做曲线运动
D.物体在变力作用下不可能保持速率不变
解析 平抛运动就是在恒力作用下的曲线运动。只要变力与速度方向共线，就可以做直线运动，所以A正确，B、C错误；匀速圆周运动就是在变力作用下保持速率不变的运动，D错误。
答案 A
3.[粤教版必修2·P9·T4改编]小船在静水中以恒定的速度运动，现小船要渡过一条小河流，渡河时小船船头始终向对岸垂直划行。若小船划行至河中间时河水流速忽然增大，则对此小船渡河的说法正确的是( )
A.到达对岸所用渡河时间比水流流速不变时所用时间更长
B.因船头始终垂直于河岸，故渡河时间与位移都不会有所变化
C.小船到达对岸所用时间不变，但位移将变大
D.因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时间与位移的变化
解析 将小船的实际运动沿着船头指向和顺着水流方向正交分解，由于分运动的独立性，故渡河时间与水流速度无关，只与船头指向方向的分运动有关，故船行至河中心时，水流速度突然增大，只会对轨迹有影响，使船沿水流方向运动更远，位移将变大，而对渡河时间无影响，故C正确，A、B、D错误。
答案 C
物体做曲线运动的条件及轨迹分析
1.条件
物体受到的合外力方向与速度方向始终不共线。
2.特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：由于做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件)。合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力方向弯曲。
1.如图2所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小球运动的说法正确的是( )
图2
A.磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动
B.磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动
C.磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动
D.磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动
解析 磁铁放在A处时，小铁球受力与速度共线，但为变力，所以小铁球做变加速直线运动，选项A、B错误；磁铁放在B处时，小铁球受力与速度不共线，做变加速曲线运动，选项C错误，D正确。
答案 D
2.如图3所示，汽车在一段弯曲水平路面上行驶，关于它所受的水平方向的作用力的示意图，可能正确的是(图中F为牵引力，f为汽车行驶时所受阻力)( )
图3
答案 C
3.路灯维修车如图4所示，车上带有竖直自动升降梯。若车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，则关于梯子上的工人的描述正确的是( )
图4
A.工人相对地面的运动轨迹为曲线
B.仅增大车速，工人相对地面的速度将变大
C.仅增大车速，工人到达顶部的时间将变短
D.仅增大车速，工人相对地面的速度方向与竖直方向的夹角将变小
解析 车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，根据运动的合成可知，工人相对地面一定做匀速直线运动，故A错误；仅增大车速，依据矢量的合成法则可知，工人相对地面的速度将变大，故B正确；仅增大车速，不影响竖直方向的运动，则工人到达顶部的时间不变，故C错误；仅增大车速，工人相对地面的速度方向与水平方向的夹角将变小，而与竖直方向的夹角将变大，故D错误。
答案 B
运动的合成与分解
1.运动的合成与分解是一种常用的科学思维方法。物体的合运动即实际运动，与分运动之间可等效替换，合运动与分运动具有如下性质：
(1)等时性：各分运动与合运动经历的时间相同；
(2)独立性：物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动影响；
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同效果；
(4)矢量性：合运动与分运动之间遵循平行四边形定则。
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
3.合运动性质的判断
【例1】 (多选)(2019·全国Ⅱ卷，19)如图5(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其
v－t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
图5
A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D.竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
解析 v－t图象中图线与t轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中图线所围面积大于第一次滑翔过程中所围面积，则第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；两次运动都落到同一倾斜雪道上，故竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向的位移比第一次的大，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；v－t图象的斜率表示加速度，速率为v1时，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，设阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔过程在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。
答案 BD
1.一质量为2 kg的物体在如图6甲所示的xOy平面上运动，在x轴方向上的v－t图象和在y轴方向上的y－t图象分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是( )
图6
A.前2 s内物体做匀变速曲线运动
B.物体的初速度为8 m/s
C.2 s末物体的速度大小为8 m/s
D.前2 s内物体所受的合外力为16 N
解析 物体在x轴方向上做初速度vx＝8 m/s，加速度a＝－4 m/s2的匀减速直线运动，在y轴方向上做速度vy＝－4 m/s的匀速直线运动，运动轨迹为抛物线，物体所受合外力恒为8 N(方向为x轴负方向)，初速度大小为 m/s＝
4 m/s，方向与合外力方向不在同一条直线上，故物体做匀变速曲线运动，A正确，B、D错误；2 s末，vx＝0，vy＝－4 m/s，则合速度为－4 m/s，C错误。
答案 A
2.(多选)为了研究空气动力学问题，如图7所示，某人将质量为m的小球从距地面高h处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，上管口距地面的高度为。小球在水平方向上受恒定风力作用，且小球恰能无碰撞地通过管口，则下列说法正确的是( )
图7
A.小球的初速度大小为L
B.风力的大小为
C.小球落地时的速度大小为2
D.小球落地时的速度大小为
解析 小球在竖直方向上做自由落体运动，故从抛出点到上管口的运动过程中，有＝，小球在水平方向上做匀减速运动，因恰能无碰撞地通过管口，故小球到管口时水平速度刚好减为零，设小球的初速度为v0，有L＝t，联立以上两式解得v0＝2L，故A错误；设风力大小为F，根据牛顿第二定律有，小球在水平方向上的加速度大小a＝，依题设条件有0－v＝－2aL，即0－v＝－2L，将初速度v0＝2L代入得F＝，选项B正确；小球到达上管口时，水平速度减为零，进入管中后其不再受风力作用，只有竖直方向的运动，从抛出到落地全程，小球在竖直方向上做自由落体运动，所以有v2＝2gh，则小球落地时的速度大小为v＝，故选项D正确，C错误。
答案 BD
小船渡河问题
1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3.模型解读
模型解读
分运动1
分运动2
合运动
运动
船相对于静水的航行运动
船随水漂流的运动
船的实际运动
速度本质
发动机给船的速度v1
水流给船的速度v2
船相对于岸的速度v
速度方向
沿船头指向
沿水流方向
合速度方向，轨迹(切线)方向
渡河时间
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关
(2)渡河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)
渡河位移
(1)渡河路径最短(v1＞v2时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，smin＝d。船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝
(2)渡河路径最短(v1＜v2时)：合速度不会垂直于河岸，无法垂直于河岸渡河
【例2】 (多选)一小船在匀速流动的河水中以船身始终垂直于河岸方向过河，已知河宽d＝64 m，河水的流速大小为3 m/s，小船初速度为0，过河过程中小船先以1 m/s2的加速度匀加速运动，到达两河岸垂直连线的中点后再以1 m/s2的加速度匀减速运动，则( )
A.小船过河的平均速度大小为4 m/s
B.小船过河过程中垂直河岸的最大速度为8 m/s
C.小船过河的时间为16 s
D.小船到达河对岸时的位移大小为112 m
解析 设小船到达两河岸垂直连线的中点所用时间为t，在垂直河岸方向上，有d＝2×at2，其中d＝64 m，a＝1m/s2，解得t＝8 s，则小船的渡河时间为T＝2t＝16 s，垂直河岸的最大速度，v⊥max＝at＝8 m/s，选项B、C正确；小船过河的过程中，沿河岸方向的位移s＝v水·2t＝48 m，实际位移s＝＝80 m，选项D错误；小船过河的平均速度＝＝＝5 m/s，选项A错误。
答案 BC
“三情景、两方案”解决小船渡河问题
1.(多选)一只小船渡河，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边。小船相对于水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图8所示。船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定( )
图8
A.沿AD轨迹运动时，船相对于水做匀减速直线运动
B.沿三条不同路径渡河的时间相同
C.沿AC轨迹渡河所用的时间最短
D.沿AC轨迹到达对岸的速度最小
解析 当船沿AD轨迹运动时，加速度方向与船在静水中的速度方向相反，因此船相对于水做匀减速直线运动，故选项A正确；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，因运动的性质不同，则渡河时间也不同，故选项B错误；船沿AB轨迹相对于水做匀速直线运动，沿AC轨迹相对于水做匀加速运动，则渡河所用的时间沿AC轨迹运动的渡河时间最短，故选项C正确；沿AC轨迹，船做匀加速运动，则船到达对岸的速度最大，故选项D错误。
答案 AC
2.(多选)如图9所示，某河宽d＝150 m，水流的速度大小为v1＝1.5 m/s，一小船以静水中的速度v2渡河，且船头方向与河岸成θ角，小船恰好从河岸的A点沿直线匀速到达河对岸的B点；若船头方向保持不变，小船以v2的速度航行，则小船从河岸的A点沿与河岸成60°角的直线匀速到达河对岸的C点。下列判断正确的是( )
图9
A.v2＝1.5 m/s
B.θ＝30°
C.小船从A点运动到B点的时间为100 s
D.小船从A点运动到C点的时间为 s
解析 小船速度合成情况如图所示。则小船从A点运动到B点的过程，有v2cos θ＝v1，小船从A点运动到C点的过程，根据正弦定理有＝，解得θ＝30°，v2＝ m/s，A错误，B正确；小船从A点运动到B点的时间t1＝＝100 s，从A点运动到C点的时间t2＝＝ s，C错误，D正确。
答案 BD
绳(杆)端速度分解模型
1.模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.思路与方法
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
分速度→
方法：v∥与v⊥的合成遵循平行四边形定则。
3.解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见实例如图10所示。
图10
【例3】 如图12所示，在水平力F作用下，物体B沿水平面向右运动，物体A恰匀速上升，以下说法正确的是( )
图12
A.物体B正向右做匀减速运动
B.物体B正向右做加速运动
C.地面对B的摩擦力减小
D.右侧绳与水平方向成30°角时，vA∶vB＝∶2
解析 将B的运动沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向上的分速度等于A的速度，如图所示，根据平行四边形定则有vBcos α＝vA，所以vB＝，α减小，所以B的速度减小，但不是匀减速运动，选项A、B错误；分别对A、B受力分析，在竖直方向上有FT＝mAg，mg＝FN＋FTsin α，α减小，则支持力增大，根据f＝μFN可知，摩擦力增大，选项C错误；根据vBcos α＝vA，右侧绳与水平方向成30°角时，vA∶vB＝∶2，选项D正确。
答案 D
1.如图11所示，小球a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面上，b球靠在竖直墙面上，释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平地面成θ角时，a、b两小球的速度大小的比值为( )
图11
A.sin θ B.cos θ
C.tan θ D.
解析 分别将a球、b球速度沿棒的方向与垂直于棒的方向分解，对a球，有v＝vacos θ，对B球，有v＝vbsin θ，则va∶vb＝tan θ，选项C正确。
答案 C
2.如图12所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )
图12
A.vsin α B.
C.vcos α D.
解析 将人的运动分解为沿绳方向的分运动(分速度为v1)和与绳垂直方向的分运动(分速度为v2)，如图所示。船的速率等于沿绳方向的分速度v1＝vcos α，选项C正确。
答案 C
课时作业
(时间：25分钟)
基础巩固练
1.如图所示能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是( )
解析 做曲线运动的物体其速度的方向在某点切线方向上，而加速度的方向即所受合外力的方向指向曲线的凹侧，故B、C、D项错误，A项正确。
答案 A
2.跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图1所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是( )
图1
A.水平风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.水平风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与水平风力无关
D.运动员着地速度与水平风力无关
解析 水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风力无关，A项错误，C项正确；运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，则运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，B、D项错误。
答案 C
3.如图2所示，在灭火抢救过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，消防队员沿梯子匀加速向上运动的同时消防车匀速后退，则关于消防队员的运动，下列说法正确的是( )
图2
A.消防队员做匀加速直线运动
B.消防队员做匀变速曲线运动
C.消防队员做变加速曲线运动
D.消防队员水平方向的速度保持不变
解析 根据运动的合成，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，其合加速度的方向、大小不变，所以消防队员做匀变速曲线运动，故A、C错误，B正确；将消防队员的运动分解为水平方向和竖直方向，知水平方向上的最终的速度为匀速后退的速度和沿梯子方向速度在水平方向上的分速度的合速度，因为沿梯子方向的速度在水平方向上的分速度在变，所以消防队员水平方向的速度在变，故D错误。
答案 B
4.如图3，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是( )
图3
A.C点的速率小于B点的速率
B.A点的加速度比C点的加速度大
C.C点的速率大于B点的速率
D.从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
解析 物体做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，C点的速率比B点速率大，故选项A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度不变，所以物体经过C点时的加速度与A点相同，故选项B错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以物体的速率先减小后增大，故选项D错误。
答案 C
5.(多选)(2019·四川南充适应性测试)如图4所示，在光滑水平面上有两条互相平行的直线l1、l2，AB是两条直线的垂线，其中A点在直线l1上，B、C两点在直线l2上。一个物体沿直线l1以确定的速度匀速向右运动，如果物体要从A点运动到C点，图中1、2、3为其可能的路径，则可以使物体通过A点时( )
图4
A.获得由A指向B的任意大小的瞬时速度；物体的路径是2
B.获得由A指向B的确定大小的瞬时速度；物体的路径是2
C.持续受到平行于AB的任意大小的恒力；物体的路径可能是1
D.持续受到平行于AB的确定大小的恒力；物体的路径可能是3
解析 物体获得由A指向B的任意瞬时速度时，由运动的合成可知，物体的运动路径是直线，但不一定是路径2，只有该瞬时速度为某确定值时，物体的路径才是2，故选项A错误，B正确；物体持续受到平行AB的任意大小的恒力时，物体做曲线运动，且运动路径弯向恒力方向，物体运动的路径可能是1，但路径一定不会是路径3，故选项C正确，D错误。
答案 BC
6.有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A. B.
C. D.
解析 根据题意作出小船渡河时去程和回程的情景分别如图甲、乙所示。设河岸的宽度为d，则去程时有t1＝，回程时有t2＝，又＝k，联立解得v静＝，B正确。
答案 B
综合提能练
7.(2019·鄂州模拟)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图5所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则( )
图5
A.v2＝v1 B.v2＝2v1
C.v2＝v1 D.v2＝v1
解析 球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆夹角α＝60°，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。
答案 C
8.一个质点从水平面内的xOy坐标系的原点出发开始运动，其沿x轴正方向的分速度随时间变化的图象及沿y轴正方向的位移随时间变化的图象如图6甲、乙所示，一条直线过坐标原点、与x轴正方向成30°角，如图丙所示。质点经过该直线时的坐标为( )
图6
A.(12 m，4 m) B.(9 m，3 m)
C.(6 m，2 m) D.(3 m， m)
解析 质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小a＝
2 m/s2，沿y轴正方向做匀速直线运动，速度大小v0＝2 m/s，设质点经过时间t经过该直线，则有＝tan 30°，x0＝，y0＝v0t，解得x0＝＝12 m，y0＝＝4 m，选项A正确。
答案 A
9.(2019·锦州模拟)如图7所示，从上海飞往北京的波音737客机，上午10点10分到达首都国际机场，若飞机在开始降落时的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )
图7
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C.在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D.飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
解析 由于合初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝(v0xt20＋axt)－(v0xt19＋axt)＝21 m，竖直位移y＝(v0yt20＋ayt)－(v0yt19＋ayt)＝2.1 m，C错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为＝＝21 m/s，D正确。
答案 D
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2017
2018
2019
运动的合成与分解
Ⅱ
Ⅰ卷·T15：平抛运动的规律
Ⅱ卷·T17：平抛运动、圆周运动
T19：开普勒定律、机械能守恒定律
Ⅲ卷·T14：天体的运动
Ⅰ卷·T20：双星模型
T16：天体密度的估算
Ⅲ卷·T15：卫星运动参量的计算
T17：斜面上的平抛运动
Ⅰ卷·T21：万有引力定律、牛顿第二定律、
a－s图象和功能关系
Ⅱ卷·T14：万有引力定律及其相关知识
T19：曲线运动、牛顿第二定律及v－t图象
Ⅲ卷·T15：万有引力定律的应用
抛体运动
Ⅱ
匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度
Ⅰ
匀速圆周运动的向心力
Ⅱ
离心现象
Ⅰ
万有引力定律及其应用
Ⅱ
环绕速度
Ⅱ
第二宇宙速度和第三宇宙速度
Ⅰ
经典时空观和相对论时空观
Ⅰ
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
知识要点
一、曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
如图1所示的曲线运动，vA、vC的方向与v的方向相同，vB、vD的方向与v的方向相反。
图1
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3.曲线运动的条件
二、运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程。
2.分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3.遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
基础诊断
1.(多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是( )
A.质点速度方向时刻在改变
B.质点加速度方向时刻在改变
C.质点速度方向一定与加速度方向相同
D.质点速度方向一定沿曲线的切线方向
答案 AD
2.关于力和运动，下列说法中正确的是( )
A.物体在恒力作用下可能做曲线运动
B.物体在变力作用下不可能做直线运动
C.物体在恒力作用下不可能做曲线运动
D.物体在变力作用下不可能保持速率不变
解析 平抛运动就是在恒力作用下的曲线运动。只要变力与速度方向共线，就可以做直线运动，所以A正确，B、C错误；匀速圆周运动就是在变力作用下保持速率不变的运动，D错误。
答案 A
3.[粤教版必修2·P9·T4改编]小船在静水中以恒定的速度运动，现小船要渡过一条小河流，渡河时小船船头始终向对岸垂直划行。若小船划行至河中间时河水流速忽然增大，则对此小船渡河的说法正确的是( )
A.到达对岸所用渡河时间比水流流速不变时所用时间更长
B.因船头始终垂直于河岸，故渡河时间与位移都不会有所变化
C.小船到达对岸所用时间不变，但位移将变大
D.因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时间与位移的变化
解析 将小船的实际运动沿着船头指向和顺着水流方向正交分解，由于分运动的独立性，故渡河时间与水流速度无关，只与船头指向方向的分运动有关，故船行至河中心时，水流速度突然增大，只会对轨迹有影响，使船沿水流方向运动更远，位移将变大，而对渡河时间无影响，故C正确，A、B、D错误。
答案 C
物体做曲线运动的条件及轨迹分析
1.条件
物体受到的合外力方向与速度方向始终不共线。
2.特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：由于做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件)。合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力方向弯曲。
1.如图2所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小球运动的说法正确的是( )
图2
A.磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动
B.磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动
C.磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动
D.磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动
解析 磁铁放在A处时，小铁球受力与速度共线，但为变力，所以小铁球做变加速直线运动，选项A、B错误；磁铁放在B处时，小铁球受力与速度不共线，做变加速曲线运动，选项C错误，D正确。
答案 D
2.如图3所示，汽车在一段弯曲水平路面上行驶，关于它所受的水平方向的作用力的示意图，可能正确的是(图中F为牵引力，f为汽车行驶时所受阻力)( )
图3
答案 C
3.路灯维修车如图4所示，车上带有竖直自动升降梯。若车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，则关于梯子上的工人的描述正确的是( )
图4
A.工人相对地面的运动轨迹为曲线
B.仅增大车速，工人相对地面的速度将变大
C.仅增大车速，工人到达顶部的时间将变短
D.仅增大车速，工人相对地面的速度方向与竖直方向的夹角将变小
解析 车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，根据运动的合成可知，工人相对地面一定做匀速直线运动，故A错误；仅增大车速，依据矢量的合成法则可知，工人相对地面的速度将变大，故B正确；仅增大车速，不影响竖直方向的运动，则工人到达顶部的时间不变，故C错误；仅增大车速，工人相对地面的速度方向与水平方向的夹角将变小，而与竖直方向的夹角将变大，故D错误。
答案 B
运动的合成与分解
1.运动的合成与分解是一种常用的科学思维方法。物体的合运动即实际运动，与分运动之间可等效替换，合运动与分运动具有如下性质：
(1)等时性：各分运动与合运动经历的时间相同；
(2)独立性：物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动影响；
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同效果；
(4)矢量性：合运动与分运动之间遵循平行四边形定则。
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
3.合运动性质的判断
【例1】 (多选)(2019·全国Ⅱ卷，19)如图5(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其
v－t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
图5
A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D.竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
解析 v－t图象中图线与t轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中图线所围面积大于第一次滑翔过程中所围面积，则第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；两次运动都落到同一倾斜雪道上，故竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向的位移比第一次的大，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；v－t图象的斜率表示加速度，速率为v1时，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，设阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔过程在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。
答案 BD
1.一质量为2 kg的物体在如图6甲所示的xOy平面上运动，在x轴方向上的v－t图象和在y轴方向上的y－t图象分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是( )
图6
A.前2 s内物体做匀变速曲线运动
B.物体的初速度为8 m/s
C.2 s末物体的速度大小为8 m/s
D.前2 s内物体所受的合外力为16 N
解析 物体在x轴方向上做初速度vx＝8 m/s，加速度a＝－4 m/s2的匀减速直线运动，在y轴方向上做速度vy＝－4 m/s的匀速直线运动，运动轨迹为抛物线，物体所受合外力恒为8 N(方向为x轴负方向)，初速度大小为 m/s＝
4 m/s，方向与合外力方向不在同一条直线上，故物体做匀变速曲线运动，A正确，B、D错误；2 s末，vx＝0，vy＝－4 m/s，则合速度为－4 m/s，C错误。
答案 A
2.(多选)为了研究空气动力学问题，如图7所示，某人将质量为m的小球从距地面高h处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，上管口距地面的高度为。小球在水平方向上受恒定风力作用，且小球恰能无碰撞地通过管口，则下列说法正确的是( )
图7
A.小球的初速度大小为L
B.风力的大小为
C.小球落地时的速度大小为2
D.小球落地时的速度大小为
解析 小球在竖直方向上做自由落体运动，故从抛出点到上管口的运动过程中，有＝，小球在水平方向上做匀减速运动，因恰能无碰撞地通过管口，故小球到管口时水平速度刚好减为零，设小球的初速度为v0，有L＝t，联立以上两式解得v0＝2L，故A错误；设风力大小为F，根据牛顿第二定律有，小球在水平方向上的加速度大小a＝，依题设条件有0－v＝－2aL，即0－v＝－2L，将初速度v0＝2L代入得F＝，选项B正确；小球到达上管口时，水平速度减为零，进入管中后其不再受风力作用，只有竖直方向的运动，从抛出到落地全程，小球在竖直方向上做自由落体运动，所以有v2＝2gh，则小球落地时的速度大小为v＝，故选项D正确，C错误。
答案 BD
小船渡河问题
1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3.模型解读
模型解读
分运动1
分运动2
合运动
运动
船相对于静水的航行运动
船随水漂流的运动
船的实际运动
速度本质
发动机给船的速度v1
水流给船的速度v2
船相对于岸的速度v
速度方向
沿船头指向
沿水流方向
合速度方向，轨迹(切线)方向
渡河时间
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关
(2)渡河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)
渡河位移
(1)渡河路径最短(v1＞v2时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，smin＝d。船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝
(2)渡河路径最短(v1＜v2时)：合速度不会垂直于河岸，无法垂直于河岸渡河
【例2】 (多选)一小船在匀速流动的河水中以船身始终垂直于河岸方向过河，已知河宽d＝64 m，河水的流速大小为3 m/s，小船初速度为0，过河过程中小船先以1 m/s2的加速度匀加速运动，到达两河岸垂直连线的中点后再以1 m/s2的加速度匀减速运动，则( )
A.小船过河的平均速度大小为4 m/s
B.小船过河过程中垂直河岸的最大速度为8 m/s
C.小船过河的时间为16 s
D.小船到达河对岸时的位移大小为112 m
解析 设小船到达两河岸垂直连线的中点所用时间为t，在垂直河岸方向上，有d＝2×at2，其中d＝64 m，a＝1m/s2，解得t＝8 s，则小船的渡河时间为T＝2t＝16 s，垂直河岸的最大速度，v⊥max＝at＝8 m/s，选项B、C正确；小船过河的过程中，沿河岸方向的位移s＝v水·2t＝48 m，实际位移s＝＝80 m，选项D错误；小船过河的平均速度＝＝＝5 m/s，选项A错误。
答案 BC
“三情景、两方案”解决小船渡河问题
1.(多选)一只小船渡河，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边。小船相对于水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图8所示。船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定( )
图8
A.沿AD轨迹运动时，船相对于水做匀减速直线运动
B.沿三条不同路径渡河的时间相同
C.沿AC轨迹渡河所用的时间最短
D.沿AC轨迹到达对岸的速度最小
解析 当船沿AD轨迹运动时，加速度方向与船在静水中的速度方向相反，因此船相对于水做匀减速直线运动，故选项A正确；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，因运动的性质不同，则渡河时间也不同，故选项B错误；船沿AB轨迹相对于水做匀速直线运动，沿AC轨迹相对于水做匀加速运动，则渡河所用的时间沿AC轨迹运动的渡河时间最短，故选项C正确；沿AC轨迹，船做匀加速运动，则船到达对岸的速度最大，故选项D错误。
答案 AC
2.(多选)如图9所示，某河宽d＝150 m，水流的速度大小为v1＝1.5 m/s，一小船以静水中的速度v2渡河，且船头方向与河岸成θ角，小船恰好从河岸的A点沿直线匀速到达河对岸的B点；若船头方向保持不变，小船以v2的速度航行，则小船从河岸的A点沿与河岸成60°角的直线匀速到达河对岸的C点。下列判断正确的是( )
图9
A.v2＝1.5 m/s
B.θ＝30°
C.小船从A点运动到B点的时间为100 s
D.小船从A点运动到C点的时间为 s
解析 小船速度合成情况如图所示。则小船从A点运动到B点的过程，有v2cos θ＝v1，小船从A点运动到C点的过程，根据正弦定理有＝，解得θ＝30°，v2＝ m/s，A错误，B正确；小船从A点运动到B点的时间t1＝＝100 s，从A点运动到C点的时间t2＝＝ s，C错误，D正确。
答案 BD
绳(杆)端速度分解模型
1.模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.思路与方法
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
分速度→
方法：v∥与v⊥的合成遵循平行四边形定则。
3.解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见实例如图10所示。
图10
【例3】 如图12所示，在水平力F作用下，物体B沿水平面向右运动，物体A恰匀速上升，以下说法正确的是( )
图12
A.物体B正向右做匀减速运动
B.物体B正向右做加速运动
C.地面对B的摩擦力减小
D.右侧绳与水平方向成30°角时，vA∶vB＝∶2
解析 将B的运动沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向上的分速度等于A的速度，如图所示，根据平行四边形定则有vBcos α＝vA，所以vB＝，α减小，所以B的速度减小，但不是匀减速运动，选项A、B错误；分别对A、B受力分析，在竖直方向上有FT＝mAg，mg＝FN＋FTsin α，α减小，则支持力增大，根据f＝μFN可知，摩擦力增大，选项C错误；根据vBcos α＝vA，右侧绳与水平方向成30°角时，vA∶vB＝∶2，选项D正确。
答案 D
1.如图11所示，小球a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面上，b球靠在竖直墙面上，释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平地面成θ角时，a、b两小球的速度大小的比值为( )
图11
A.sin θ B.cos θ
C.tan θ D.
解析 分别将a球、b球速度沿棒的方向与垂直于棒的方向分解，对a球，有v＝vacos θ，对B球，有v＝vbsin θ，则va∶vb＝tan θ，选项C正确。
答案 C
2.如图12所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )
图12
A.vsin α B.
C.vcos α D.
解析 将人的运动分解为沿绳方向的分运动(分速度为v1)和与绳垂直方向的分运动(分速度为v2)，如图所示。船的速率等于沿绳方向的分速度v1＝vcos α，选项C正确。
答案 C
课时作业
(时间：25分钟)
基础巩固练
1.如图所示能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是( )
解析 做曲线运动的物体其速度的方向在某点切线方向上，而加速度的方向即所受合外力的方向指向曲线的凹侧，故B、C、D项错误，A项正确。
答案 A
2.跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图1所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是( )
图1
A.水平风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.水平风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与水平风力无关
D.运动员着地速度与水平风力无关
解析 水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风力无关，A项错误，C项正确；运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，则运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，B、D项错误。
答案 C
3.如图2所示，在灭火抢救过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，消防队员沿梯子匀加速向上运动的同时消防车匀速后退，则关于消防队员的运动，下列说法正确的是( )
图2
A.消防队员做匀加速直线运动
B.消防队员做匀变速曲线运动
C.消防队员做变加速曲线运动
D.消防队员水平方向的速度保持不变
解析 根据运动的合成，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，其合加速度的方向、大小不变，所以消防队员做匀变速曲线运动，故A、C错误，B正确；将消防队员的运动分解为水平方向和竖直方向，知水平方向上的最终的速度为匀速后退的速度和沿梯子方向速度在水平方向上的分速度的合速度，因为沿梯子方向的速度在水平方向上的分速度在变，所以消防队员水平方向的速度在变，故D错误。
答案 B
4.如图3，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是( )
图3
A.C点的速率小于B点的速率
B.A点的加速度比C点的加速度大
C.C点的速率大于B点的速率
D.从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
解析 物体做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，C点的速率比B点速率大，故选项A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度不变，所以物体经过C点时的加速度与A点相同，故选项B错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以物体的速率先减小后增大，故选项D错误。
答案 C
5.(多选)(2019·四川南充适应性测试)如图4所示，在光滑水平面上有两条互相平行的直线l1、l2，AB是两条直线的垂线，其中A点在直线l1上，B、C两点在直线l2上。一个物体沿直线l1以确定的速度匀速向右运动，如果物体要从A点运动到C点，图中1、2、3为其可能的路径，则可以使物体通过A点时( )
图4
A.获得由A指向B的任意大小的瞬时速度；物体的路径是2
B.获得由A指向B的确定大小的瞬时速度；物体的路径是2
C.持续受到平行于AB的任意大小的恒力；物体的路径可能是1
D.持续受到平行于AB的确定大小的恒力；物体的路径可能是3
解析 物体获得由A指向B的任意瞬时速度时，由运动的合成可知，物体的运动路径是直线，但不一定是路径2，只有该瞬时速度为某确定值时，物体的路径才是2，故选项A错误，B正确；物体持续受到平行AB的任意大小的恒力时，物体做曲线运动，且运动路径弯向恒力方向，物体运动的路径可能是1，但路径一定不会是路径3，故选项C正确，D错误。
答案 BC
6.有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A. B.
C. D.
解析 根据题意作出小船渡河时去程和回程的情景分别如图甲、乙所示。设河岸的宽度为d，则去程时有t1＝，回程时有t2＝，又＝k，联立解得v静＝，B正确。
答案 B
综合提能练
7.(2019·鄂州模拟)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图5所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则( )
图5
A.v2＝v1 B.v2＝2v1
C.v2＝v1 D.v2＝v1
解析 球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆夹角α＝60°，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。
答案 C
8.一个质点从水平面内的xOy坐标系的原点出发开始运动，其沿x轴正方向的分速度随时间变化的图象及沿y轴正方向的位移随时间变化的图象如图6甲、乙所示，一条直线过坐标原点、与x轴正方向成30°角，如图丙所示。质点经过该直线时的坐标为( )
图6
A.(12 m，4 m) B.(9 m，3 m)
C.(6 m，2 m) D.(3 m， m)
解析 质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小a＝
2 m/s2，沿y轴正方向做匀速直线运动，速度大小v0＝2 m/s，设质点经过时间t经过该直线，则有＝tan 30°，x0＝，y0＝v0t，解得x0＝＝12 m，y0＝＝4 m，选项A正确。
答案 A
9.(2019·锦州模拟)如图7所示，从上海飞往北京的波音737客机，上午10点10分到达首都国际机场，若飞机在开始降落时的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )
图7
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C.在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D.飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
解析 由于合初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝(v0xt20＋axt)－(v0xt19＋axt)＝21 m，竖直位移y＝(v0yt20＋ayt)－(v0yt19＋ayt)＝2.1 m，C错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为＝＝21 m/s，D正确。
答案 D
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