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    2021版新高考数学(理科)一轮复习教师用书:第11章第3节 随机事件的概率
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    2021版新高考数学(理科)一轮复习教师用书:第11章第3节 随机事件的概率

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    第三节 随机事件的概率
    [最新考纲] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.


    1.事件的相关概念

    2.频率与概率的关系
    在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率fn(A)=会在某个常数附近摆动,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.
    3.事件的关系与运算
    名称
    定义
    符号表示
    包含关系
    如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
    B⊇A(或A⊆B)
    相等事件
    若B⊇A,且A⊇B,则称事件A与事件B相等
    A=B
    并(和)事件
    若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
    A∪B(或A+B)
    交(积)事件
    若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
    A∩B(或AB)
    互斥事件
    若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥
    A∩B=∅
    对立事件
    若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
    A∩B=∅且A∪B=U(U为全集)
    4.概率的基本性质
    (1)任何事件A的概率都在[0,1]内,即0≤P(A)≤1,不可能事件的概率为0,必然事件Ω的概率为1.
    (2)如果事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
    (3)事件A与它的对立事件A的概率满足P(A)+P(A)=1.

    如果事件A1,A2,…,An两两互斥,则称这n个事件互斥,其概率有如下公式:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)事件发生的频率与概率是相同的.(  )
    (2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.(  )
    (3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生.(  )
    (4)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.(  )
    [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
    二、教材改编
    1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是(  )
    A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
    C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
    D [“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.]
    2.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
    分组
    [10,20)
    [20,30)
    [30,40)
    [40,50)
    [50,60)
    [60,70)
    频数
    2
    3
    4
    5
    4
    2
    则样本数据落在区间[10,40)的频率为(  )
    A.0.35 B.0.45
    C.0.55 D.0.65
    B [由表知[10,40)的频数为2+3+4=9,
    所以样本数据落在区间[10,40)的频率为=0.45.]
    3.如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张,取到黑桃的概率是,取到梅花的概率是,则取到红色牌的概率是________.
     [P=1-(+)=.]
    4.一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下:
    时间范围
    1年内
    2年内
    3年内
    4年内
    新生婴儿数n
    5544
    9607
    13520
    17190
    男婴数m
    2883
    4970
    6994
    8892
    这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数).
    0.517 3 [男婴出生的频率依次约是:0.520 0,0.517 3,0.517 3,0.517 3.由于这些频率非常接近0.517 3,因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.]

    考点1 事件关系的判断
     判断互斥、对立事件的2种方法
    (1)定义法:判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
    (2)集合法:①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.
    ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
     1.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:
    ①至少有1个白球与至少有1个黄球;
    ②至少有1个黄球与都是黄球;
    ③恰有1个白球与恰有1个黄球;
    ④恰有1个白球与都是黄球.
    其中互斥而不对立的事件共有(  )
    A.0组  B.1组
    C.2组 D.3组
    B [①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰有1个白球和1个黄球,①中的两个事件不是互斥事件.②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,则两个事件不互斥.③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都是指有1个白球和1个黄球,因此两个事件是同一事件.④中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.]
    2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是(  )
    A.至多有一张移动卡
    B.恰有一张移动卡
    C.都不是移动卡
    D.至少有一张移动卡
    A [“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡,一张联通卡”,“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.]
     判断含有“至多、至少”等关键词的事件关系,可先借助枚举法分析每个事件包含的基本事件,然后再借助定义做出判断.
    考点2 随机事件的频率与概率
     1.概率与频率的关系
    频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
    2.随机事件概率的求法
    利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
     (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
    最高气温
    [10,15)
    [15,20)
    [20,25)
    [25,30)
    [30,35)
    [35,40)
    天数
    2
    16
    36
    25
    7
    4
    以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
    (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
    (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
    [解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
    (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
    若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;
    若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;
    若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.
    所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
    Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
     求解本题第(2)问的关键是读懂题设条件,并从中提取信息,明确一天销售这种酸奶的利润Y与气温变化的关系.
    [教师备选例题]
    (2019·北京高考)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
    支付金额
    支付方式
    不大于2000元
    大于2000元
    仅使用A
    27人
    3人
    仅使用B
    24人
    1人
    (1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;
    (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;
    (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
    [解] (1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,
    仅使用B的学生有24+1=25人,
    A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
    故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.
    估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为×1000=400.
    (2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2000元”,则P(C)==0.04.
    (3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2000元”.
    假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,
    则由(2)知,P(E)=0.04.
    答案示例1:可以认为有变化.理由如下:
    P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,
    一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化,
    所以可以认为有变化.
    答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:
    事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,
    所以无法确定有没有变化.
     1.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(  )
    A.134石 B.169石
    C.338石 D.1 365石
    B [ ×1534≈169(石).]
    2.(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
    上年度出险次数
    0
    1
    2
    3
    4
    ≥5
    保 费
    0.85a
    a
    1.25a
    1.5a
    1.75a
    2a
    随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
    出险次数
    0
    1
    2
    3
    4
    ≥5
    频数
    60
    50
    30
    30
    20
    10
    (1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
    (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
    (3)求续保人本年度平均保费的估计值.
    [解] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.
    (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.
    (3)由所给数据得
    保费
    0.85a
    a
    1.25a
    1.5a
    1.75a
    2a
    频率
    0.30
    0.25
    0.15
    0.15
    0.10
    0.05
    调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
    因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
    考点3 互斥事件与对立事件的概率
     复杂事件的概率的2种求法
    (1)直接求法,将所求事件分解为一些彼此互斥的事件,运用互斥事件的概率求和公式计算.
    (2)间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(A)求解(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就比较简便.
     (1)(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(  )
    A.0.3 B.0.4
    C.0.6 D.0.7
    (2)某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
    ①P(A),P(B),P(C);
    ②1张奖券的中奖概率;
    ③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
    (1)B [由题意知不用现金支付的概率为1-0.45-0.15=0.4.]
    (2)[解] ①P(A)=, P(B)==,P(C)==.
    故事件A,B,C的概率分别为,,.
    ②1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.
    ∵A,B,C两两互斥,
    ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
    ==,
    故1张奖券的中奖概率约为.
    ③设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
    ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-=,
    故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
     求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.
    [教师备选例题]
    一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:
    (1)取出1球是红球或黑球的概率;
    (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
    [解] 法一:(利用互斥事件求概率)
    记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},
    A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},
    则P(A1)=,P(A2)==,P(A3)==,P(A4)=,根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得
    (1)取出1球是红球或黑球的概率为
    P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=.
    (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
    P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
    =++=.
    法二:(利用对立事件求概率)(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1+A2的对立事件为A3+A4,所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)=1--=.
    (2)因为A1+A2+A3的对立事件为A4,所以P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-=.
     经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
    排队人数
    0
    1
    2
    3
    4
    ≥5
    概率
    0.1
    0.16
    0.3
    0.3
    0.1
    0.04
    求:(1)至多2人排队等候的概率;
    (2)至少3人排队等候的概率.
    [解] 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.
    (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,
    所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
    =0.1+0.16+0.3=0.56.
    (2)法一:(利用互斥事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,
    所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)
    =0.3+0.1+0.04=0.44.
    法二:(利用对立事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.

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