2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第7章第5节　直接证明与间接证明、数学归纳法

第五节　直接证明与间接证明、数学归纳法
[最新考纲]　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．


1．直接证明
(1)综合法
定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．
(2)分析法
定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法．
2．间接证明——反证法
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
3．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)
(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)
(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)
(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材改编
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)
A．1　　　 B．2
C．3 D．4
C　[凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.]
2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是(　　)
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
B　[“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确．]
3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P A　[假设P>Q，只需P2>Q2，即2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40.因为42>40成立，所以P>Q成立．故选A.]
4．已知数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．
3　4　5　n＋1　[易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.]


考点1　综合法的应用
　掌握综合法证明问题的思路
(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.
证明：(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[证明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为a，b，c均为正数，
＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
所以＋＋≥1.
[母题探究]　本例的条件不变，证明a2＋b2＋c2≥.
[证明]　因为a＋b＋c＝1，
所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
因为2ab≤a2＋b2，2bc≤b2＋c2，2ac≤a2＋c2，
所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，
所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，
即a2＋b2＋c2≥.
　(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2) 应用重要不等式a2＋b2≥2ab放缩时要注意待证不等式的方向性．
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝，求证：5a＝3b.
[证明]　(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，
因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得
(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，
即5a＝3b.
考点2　分析法的应用
　分析法证明问题的思路及适用范围
利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
[证明]　要证＋＝，
即证＋＝3，也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
　(1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2＋a2＝ac＋b2”，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
　若a，b∈(1，＋∞)，证明＜.
[证明]　要证＜，
只需证()2＜()2，
只需证a＋b－1－ab＜0，
即证(a－1)(1－b)＜0.
因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0，1－b＜0，
即(a－1)(1－b)＜0成立，
所以原不等式成立．
考点3　反证法的应用
　用反证法证明问题的步骤
(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立．(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
　设a>0，b>0，且a＋b＝＋.
证明：(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，
有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0 同理，0 故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
　(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．
(2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等．
　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)(n∈N*)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋，
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，
因为p，q，r∈N*，所以
所以＝pr，(p－r)2＝0，
所以p＝r，与p≠r矛盾，
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
考点4　数学归纳法的应用
　(1)应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
①当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
②用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．
(2)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．
　(2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2，n∈N*.
[解]　(1)设数列{an}的公差为d，
由题意得解得a1＝0，d＝2，
∴an＝2n－2，n∈N*.
∴Sn＝n2－n，n∈N*.
∵数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，
∴(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)，
解得bn＝(S－SnSn＋2)，
即bn＝n2＋n，n∈N*.
(2)证明：cn＝＝＝，n∈N*，
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，
即c1＋c2＋…＋ck＜2，
则当n＝k＋1时，
c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1＜2＋＜2＋＜2＋＝2＋2(－)＝2，
即n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②得c1＋c2＋…＋cn＜2，n∈N*.
　用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
[教师备选例题]
1．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
[证明]　①当n＝1时，
左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边，所以等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有
＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝＝
＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知对于一切n∈N*等式都成立．
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．
[解]　(1)由题意得，Sn＝bn＋r，
当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．
由于b＞0，且b≠1，
所以n≥2时，数列{an}是以b为公比的等比数列．
又a1＝S1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
所以＝b，即＝b，解得r＝－1.
(2)证明：由(1)及b＝2知an＝2n－1.
因此bn＝2n(n∈N*)，
所证不等式为··…·＞.
①当n＝1时，左式＝，右式＝，
左式＞右式，所以结论成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，
即··…·＞，
则当n＝k＋1时，
··…··＞·＝，
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证≥，
即证≥，
由基本不等式得
＝
≥成立，
故≥成立，所以当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N*时，
不等式··…·＞成立．
　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.
(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
[解]　(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，
所以f(1)＝g(1)；
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；
当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，
所以f(3)＜g(3)．
(2)由(1)猜想，f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明．
①当n＝1，2，3时，不等式显然成立．
②假设当n＝k(k＞3，k∈N*)时不等式成立，
即1＋＋＋＋…＋＜－，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.
因为－
＝－
＝＜0，
所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．
由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立.