2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第十三章13.2第1课时绝对值不等式

§13.2　不等式选讲
第1课时　绝对值不等式
最新考纲
考情考向分析
1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.


1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x| (－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.

概念方法微思考
1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？
提示　当a，b不共线时，|a|＋|b|>|a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.
2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？
提示　一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n＋1)段.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　×　)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　√　)
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立.(　×　)
(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(　√　)
题组二　教材改编
2.不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　)
A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]
C.(－2，－1]∪[4,7) D.(－2,1]∪[4,7)
答案　D
解析　由题意得
即
解得不等式的解集为(－2,1]∪[4,7).
3.求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.
解　(1)当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；
(2)当1 ∴x<4，∴1 (3)当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.
综上，原不等式的解集为(－∞，4).
题组三　易错自纠
4.(2019·天津市第一中学月考)设x∈R，则“x3<1”是“<”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由x3<1可得x<1，
由<可得0 所以“x3<1”是“<”的必要不充分条件.故选B.
5.(2019·天津市部分区联考)若对任意的x∈R，不等式|x－1|－|x＋2|≤|2a－1|恒成立，则实数a的取值范围为 .
答案　(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析　∵y＝|x－1|－|x＋2|≤|(x－1)－(x＋2)|＝3，
∴要使|x－1|－|x＋2|≤|2a－1|恒成立，
则|2a－1|≥3,2a－1≥3或2a－1≤－3，
即a≥2或a≤－1，
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞).
6.设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是 .
答案　R
解析　∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.

绝对值不等式的解法
例1　已知函数f (x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f (x)>1的解集；
(2)若f (x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，
f (x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得 当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f (x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f (x)＝
所以函数f (x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
思维升华　解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式.
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
跟踪训练1　(2019·江苏)设x∈R，解不等式|x|＋|2x－1|>2.
解　当x<0时，原不等式可化为－x＋1－2x>2，
解得x<－；
当0≤x≤时，原不等式可化为x＋1－2x>2，
即x<－1，无解；
当x>时，原不等式可化为x＋2x－1>2，解得x>1.
综上，原不等式的解集为.
利用绝对值不等式的性质求最值
例2　(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.
解　(1)∵x，y∈R，
∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
当且仅当0≤x≤1时等号成立，
∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
当且仅当－1≤y≤1时等号成立，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，
当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
思维升华　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种
(1)利用绝对值的几何意义.
(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.
(3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值.
跟踪训练2　已知a和b是任意非零实数.
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.
解　(1)∵≥
＝＝4，
当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时等号成立，
∴的最小值为4.
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|≤min.
由(1)可知，的最小值为4，
∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.
解不等式得－2≤x≤2，
故实数x的取值范围为[－2,2].
绝对值不等式的综合应用
例3　(2019·全国Ⅱ)已知f (x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a).
(1)当a＝1时，求不等式f (x)<0的解集；
(2)若x∈(－∞，1)时，f (x)<0，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，f (x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1).
当x<1时，f (x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f (x)≥0.
所以，不等式f (x)<0的解集为(－∞，1).
(2)因为f (a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f (x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.
所以，a的取值范围是[1，＋∞).
思维升华　(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.
(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.
跟踪训练3　(2018·全国Ⅰ)已知f (x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f (x)>1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f (x)>x成立，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，f (x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f (x)＝
故不等式f (x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时，|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时，|ax－1|<1成立.
若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；
若a>0，则|ax－1|<1的解集为，
所以≥1，故0 综上，a的取值范围为(0,2].


1.对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围.
解　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，≤，
所以|4a－3b＋2|＝
≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，
即|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.
即实数m的取值范围为[6，＋∞).
2.(2020·河南省八市重点高中联考)已知函数f (x)＝|2x＋3|－|x－a|(a∈R).
(1)当a＝1时，解不等式f (x)≥2；
(2)若关于x的不等式f (x)≥|x－3|的解集包含[3,5]，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，不等式f (x)≥2，
即|2x＋3|－|x－1|≥2，
所以或或
解得x≤－6或x≥0，
所以不等式f (x)≥2的解集为(－∞，－6]∪[0，＋∞).
(2)关于x的不等式f (x)≥|x－3|的解集包含[3,5]，
即|2x＋3|－|x－3|≥|x－a|在[3,5]上恒成立，
即x＋6≥|x－a|在[3,5]上恒成立，
即－6≤a≤2x＋6在x∈[3,5]上恒成立，
解得－6≤a≤12，
∴a的取值范围是[－6,12].
3.(2019·安徽定远中学模拟)已知函数f (x)＝|x|＋|x－a|.
(1)当a＝2时，求不等式f (x)<4的解集；
(2)若f (x)≥1对任意x∈R成立，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝2时，不等式f (x)<4可化为|x|＋|x－2|<4.
讨论：
①当x<0时，不等式等价于－x－(x－2)<4，
所以x>－1，所以－1 ②当0≤x≤2时，不等式等价于x－(x－2)<4，
所以2<4，所以0≤x≤2；
③当x>2时，不等式等价于x＋(x－2)<4，
所以x<3，所以2 综上，当a＝2时，不等式f (x)<4的解集为{x|－1 (2)因为|x－(x－a)|≤|x|＋|x－a|，
所以|x|＋|x－a|≥|a|.
又因为f (x)＝|x|＋|x－a|≥1对任意x∈R成立，所以1≤|a|，所以a≤－1或a≥1.
故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞).


4.(2019·山东省淄博市部分学校模拟)已知函数f (x)＝|x－a|－，a∈R.
(1)若将函数f (x)图象向左平移m个单位长度后，得到函数g(x)，要使g(x)≥f (x)－1恒成立，求实数m的最大值；
(2)当a>时，函数h(x)＝f (x)＋|2x－1|存在零点，求实数a的取值范围.
解　(1)由函数f (x)向左平移m个单位长度可知，
函数g(x)＝|x＋m－a|－，
要使g(x)≥f (x)－1恒成立，则f (x)－g(x)≤1，
即|x－a|－|x＋m－a|≤1恒成立，
因为|x－a|－|x＋m－a|≤|x－a－(x＋m－a)|＝|m|，
所以只需|m|≤1，即实数m的最大值为1.
(2)当a>时，
函数h(x)＝|x－a|＋|2x－1|－
＝
若函数h(x)存在零点，
则满足函数h(x)min＝h＝a－－≤0，
即
因为函数y＝x－与函数y＝的图象有且只有一个交点，
所以实数a的取值范围为.
5.设f (x)＝|x＋1|－|2x－1|.
(1)求不等式f (x)≤x＋2的解集；
(2)若不等式满足f (x)≤|x|(|a－2|＋|a＋1|)对任意实数(x≠0)恒成立，求实数a的取值范围.
解　(1)根据题意可知，原不等式为|x＋1|－|2x－1|≤x＋2，
等价于或或
解得x<－1或－1≤x≤或x>.
综上可得不等式f (x)≤x＋2的解集为R.
(2)不等式f (x)≤|x|(|a－2|＋|a＋1|)等价于≤(|a－2|＋|a＋1|)，
因为＝≤＝3，当且仅当≤0时取等号，
因为≤(|a－2|＋|a＋1|)，
所以|a－2|＋|a＋1|≥6，
解得a≤－或a≥，
故实数a的取值范围为∪.