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2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第七章7.2一元二次不等式及其解法
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§7.2 一元二次不等式及其解法
最新考纲
考情考向分析
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
以理解一元二次不等式的解法为主,常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法,有时也在导数的应用中用到,加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查,属于低档题,若在导数的应用中考查,难度较高.
一元二次不等式的解集
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根x1,x2(x1
有两相等实根x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x∈R}
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x
∅
∅
概念方法微思考
1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?
提示 ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么?
提示 显然a≠0.ax2+bx+c>0恒成立的条件是ax2+bx+c<0恒成立的条件是
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
(3)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( × )
(4)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( √ )
题组二 教材改编
2.已知集合A={x|x2-x-6>0},则∁RA等于( )
A.{x|-2
B.{x|-2≤x≤3}
C.{x|x<-2或x>3}
D.{x|x≤-2或x≥3}
答案 B
解析 ∵x2-x-6>0,∴(x+2)(x-3)>0,∴x>3或x<-2,即A={x|x>3或x<-2}.在数轴上表示出集合A,如图所示.
由图可得∁RA={x|-2≤x≤3}.
故选B.
3.y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________________.
答案 ∪
解析 由题意,得3x2-2x-2>0,
令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,
∴3x2-2x-2>0的解集为
∪.
题组三 易错自纠
4.不等式-x2-3x+4>0的解集为________.(用区间表示)
答案 (-4,1)
解析 由-x2-3x+4>0可知,(x+4)(x-1)<0,
得-4
5.若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b=________.
答案 -14
解析 ∵x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,
∴解得∴a+b=-14.
6.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 (-2,2]
解析 当a-2≠0时,由得-2 当a=2时,原式化为-4<0,不等式恒成立,
∴-2 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 (2019·新乡模拟)已知集合A={x|x2-4x<5},则下列选项中正确的是( )
A.-1.2∈A B.30.9∉A
C.log230∈A D.A∩N={1,2,3,4}
答案 C
解析 因为A={x|-1
命题点2 含参不等式
例2 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解 原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
因为a>0,所以(x-1)<0.
所以当a>1时,解得
当a=1时,解集为∅;
当0 综上,当0 当a=1时,不等式的解集为∅;
当a>1时,不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1 (1)(2019·北京市海淀区期末)不等式x2+2x-3<0的解集为( )
A.{x|x<-3或x>1} B.{x|x<-1或x>3}
C.{x|-1
答案 D
解析 由x2+2x-3<0得(x+3)(x-1)<0,解得-3
(2)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是,则不等式x2-bx-a≥0的解集是________.
答案 {x|x≥3或x≤2}
解析 由题意,知-,-是方程ax2-bx-1=0的两个根,且a<0,
所以解得
故不等式x2-bx-a≥0为x2-5x+6≥0,
解得x≥3或x≤2.
(3)解不等式12x2-ax>a2(a∈R).
解 原不等式可化为12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
解得x1=-,x2=.
当a>0时,不等式的解集为∪;
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a<0时,不等式的解集为∪.
一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3 已知函数f (x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f (x)<0恒成立,求实数m的取值范围.
解 当m=0时,f (x)=-1<0恒成立.
当m≠0时,则即-4
综上,-4
命题点2 在给定区间上的恒成立问题
例4 已知函数f (x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f (x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.
解 要使f (x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
方法一 令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,
所以m<,所以0
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g(1),即m-6<0,
所以m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是.
方法二 因为x2-x+1=2+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
所以m的取值范围是.
若将“f (x)<5-m恒成立”改为“f (x)<5-m无解”,如何求m的取值范围?
解 若f (x)<5-m无解,即f (x)≥5-m恒成立,
即m≥恒成立,
又x∈[1,3]时,max=6,得m≥6,
即m的取值范围为[6,+∞).
若将“f (x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f (x)<5-m成立”,如何求m的取值范围?
解 由题意知f (x)<5-m有解,
即m<有解,则m
又x∈[1,3],得m<6,即m的取值范围为(-∞,6).
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.
解 设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,
则即
解得
故x的取值范围为.
思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
跟踪训练2 函数f (x)=x2+ax+3.
(1)若当x∈R时,f (x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若当x∈[-2,2]时,f (x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若当a∈[4,6]时,f (x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.
解 (1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2,∴实数a的取值范围是[-6,2].
(2)由题意可转化为x2+ax+3-a≥0在x∈[-2,2]上恒成立,
则(x2+ax+3-a)min≥0(x∈[-2,2]).
令g(x)=x2+ax+3-a,x∈[-2,2],
函数图象的对称轴方程为x=-.
当-<-2,即a>4时,g(x)min=g(-2)=7-3a≥0,解得a≤,舍去;
当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,g(x)min=g=--a+3≥0,解得-6≤a≤2,
∴-4≤a≤2;
当->2,即a<-4时,g(x)min=g(2)=7+a≥0,
解得a≥-7,∴-7≤a<-4.
综上可得,满足条件的实数a的取值范围是[-7,2].
(3)令h(a)=xa+x2+3.
当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.
只需即
解得x≤-3-或x≥-3+.
∴实数x的取值范围是
(-∞,-3-]∪[-3+,+∞).
设方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ>0)有不相等的两根为x1,x2,且x1
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况
两个负根即两根都小于0(x1<0,x2<0)
两个正根即两根都大于0(x1>0,x2>0)
一正根一负根即一个根小于0,一个根大于0(x1<0
大致图象(a>0)
得出的结论
f (0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论
f (0)>0
综合结论(不讨论a)
a·f (0)<0
表二:(两根与k的大小比较)
分布情况
两根都小于k即x1
两根都大于k即x1>k,x2>k
一个根小于k,一个根大于k即x1
大致图象(a>0)
得出的结论
f (k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论
f (k)>0
综合结论(不讨论a)
a·f (k)<0
表三:(根在区间上的分布)
分布情况
两根都在(m,n)内
两根有且仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种)
一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m
大致图象(a>0)
得出的结论
f (m)·f (n) <0
或
大致图象(a<0)
得出的结论
f (m)·f (n) <0
或
综合结论(不讨论a)
f (m)·f (n) <0
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间(m,n)外,即在区间两侧x1n,(图形分别如下)需满足的条件是
(1)a>0时,
(2)a<0时,
对以上的根的分布表中,两根有且仅有一根在(m,n)内有以下特殊情况:
(ⅰ)若f (m)=0或f (n)=0,则此时f (m)·f (n)<0不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间(m,n)内,从而可以求出参数的值.如方程mx2-(m+2)x+2=0在区间(1,3)上有一根,因为f (1)=0,所以mx2-(m+2)x+2=(x-1)(mx-2),另一根为,由1<<3得
(ⅱ)方程有两个相等的根,且这个根在区间(m,n)内,即Δ=0,此时由Δ=0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数.如方程x2-4mx+2m+6=0有且只有一根在区间(-3,0)内,求m的取值范围.分析:①由f (-3)·f (0)<0即(14m+15)(m+3)<0得出-3
例1 已知二次方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0有一正根和一负根,求实数m的取值范围.
解 设f (x)=(2m+1)x2-2mx+(m-1),
由(2m+1)·f (0)<0 ,即(2m+1)(m-1)<0,
解得-
例2 已知方程2x2-(m+1)x+m=0有两个不等正实根,求实数m的取值范围.
解 设f (x)=2x2-(m+1)x+m,
由⇒
⇒ ⇒03+2,即m的取值范围为(0,3-2)∪(3+2,+∞).
例3 已知二次函数f (x)=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围.
解 由(m+2)·f (1)<0 ,
即(m+2)·(2m+1)<0⇒-2
即m的取值范围为.
1.(2019·武汉调研)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|x2+3x<0},则A∩B等于( )
A.(0,2) B.(-1,0)
C.(-3,2) D.(-1,3)
答案 B
解析 A={x|-1
2.(2019·廊坊调研)已知函数f (x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f (x)>0的解集为(-1,3),那么不等式f (-2x)<0的解集为( )
A.∪
B.
C.∪
D.
答案 A
解析 由f (x)=(ax-1)(x+b)>0的解集是(-1,3),则a<0,故=-1,-b=3,即a=-1,b=-3.
∴f (x)=-x2+2x+3,
∴f (-2x)=-4x2-4x+3,
由-4x2-4x+3<0,解得x>或x<-,
故不等式f (-2x)<0的解集是
∪.故选A.
3.(2020·永州模拟)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A.m> B.m<
C.m<1 D.m>1
答案 A
解析 ∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,
∴Δ=(-1)2-4m<0,解得m>,
又∵m>,∴Δ=1-4m<0,
∴“m>”是“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件.故选A.
4.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是( )
A.[-4,1] B.[-4,3]
C.[1,3] D.[-1,3]
答案 B
解析 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1 5.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是( )
A. B.
C.(1,+∞) D.
答案 A
解析 由Δ=a2+8>0知方程恒有两个不等实根,又因为x1x2=-2<0,所以方程必有一正根,一负根,对应二次函数图象的示意图如图.所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0,解得a>-,故选A.
6.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是( )
A.(-3,5) B.(-2,4)
C.[-1,3] D.[-2,4]
答案 C
解析 因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,
当a>1时,不等式的解集为{x|1
当a<1时,不等式的解集为{x|a
当a=1时,不等式的解集为∅,
要使得解集中至多包含1个整数,则a=1或1 所以实数a的取值范围是a∈[-1,3],故选C.
7.(2020·北京市石景山区模拟)已知集合A={-5,-1,2,4,5},请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,这个不等式可以是______________.
答案 (x+4)(x-6)>0(答案不唯一)
解析 因为不等式(x+4)(x-6)>0解集为{x|x>6或x<-4},解集中只有-5在集合A中.
8.(2019·北京市顺义区模拟)满足关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是________.
答案 (-2,-1)(答案不唯一)
解析 不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,
∴方程(ax-b)(x-2)=0的实数根为和2,
且即a=2b<0,
则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是(-2,-1).
9.(2019·江西省宜丰中学月考)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为________.
答案
解析 由题意,可知不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,
又由(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a),
即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x都成立,
所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,即4a2-4a-3<0,
解得- 10.(2019·北京市丰台区模拟)已知定义域为R的奇函数f (x),当x>0时, f (x)=-(x-1)2+1.
①当x∈[-1,0]时, f (x)的取值范围是________;
②当函数f (x)的图象在直线y=x的下方时, x的取值范围是________.
答案 [-1,0] (-1,0)∪(1,+∞)
解析 因为f (x)为奇函数,故可以求函数在[0,1]上的值域,当x>0时, f (x)=-(x-1)2+1在[0,1]上的值域为[0,1],故在x∈[-1,0]上的值域为x∈[-1,0];如图所示,当函数f (x)的图象在直线y=x的下方时,得x的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).
11.(2019·衡水第十三中学质检)已知关于x的不等式-x2+ax+b>0.
(1)若该不等式的解集为(-4,2),求a,b的值;
(2)若b=a+1,求此不等式的解集.
解 (1)根据题意得
解得a=-2,b=8.
(2)当b=a+1时,-x2+ax+b>0⇔x2-ax-(a+1)<0,
即[x-(a+1)](x+1)<0.
当a+1=-1,即a=-2时,原不等式的解集为∅;
当a+1<-1,即a<-2时,原不等式的解集为(a+1,-1);
当a+1>-1,即a>-2时,原不等式的解集为(-1,a+1).
综上,当a<-2时,不等式的解集为(a+1,-1);当a=-2时,不等式的解集为∅;当a>-2时, 不等式的解集为(-1,a+1).
12.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,则甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
解 (1)根据题意,得200≥3 000,
整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是[3,10].
(2)设利润为y元,则y=·100
=9×104
=9×104,
故当x=6时,ymax=457 500.
故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为457 500元.
13.设a<0,(4x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,则b-a的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知a<0,a ①当b<0时,∀x∈(a,b),2x+b<0,
所以(4x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立可转化为∀x∈(a,b),a≤-4x2,
所以a≤-4a2,所以-≤a<0,所以0 ②当b>0时,(4x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,
当x=0时,(4x2+a)(2x+b)=ab<0,不符合题意;
③当b=0时,由题意知x∈(a,0),(4x2+a)2x≥0恒成立,
所以4x2+a≤0,所以-≤a<0,所以0 综上所述,b-a的最大值为.
14.已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是________.
答案 (1,5]
解析 设f (x)=x2-2(a-2)x+a,
当Δ=4(a-2)2-4a<0,
即10 对x∈R恒成立,符合题意;
当a=1时,f (-1)=0,不符合题意;
当a=4时,f (2)=0 符合题意;
当Δ>0 时,由得
即4 综上所述,实数a的取值范围是(1,5].
15.(2020·上海市金山区模拟)若集合A={x∈Z|x2-(a+2)x+2-a<0}中有且只有一个元素,则正实数a的取值范围是________.
答案
解析 f (x)=x2-(a+2)x+2-a<0,
即x2-2x+1 分别令y1=x2-2x+1,
y2=a(x+1)-1,易知y2过定点(-1,-1),
在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图所示,
若集合A={x∈Z|f (x)<0}中有且只有一个元素,结合图象可得,即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方,点(1,0)在直线下方,
∴解得 16.(2019·南京六校联考)已知函数f (x)=x2-2ax+2a-1.若对任意的a∈(0,3),存在x0∈[0,4],使得t≤|f (x0)|成立,求实数t的取值范围.
解 ∵f (x)=x2-2ax+2a-1的对称轴为x=a,且a∈(0,3),
∴函数f (x)=x2-2ax+2a-1在[0,a]上是减函数,
在[a,4]上是增函数;
∴函数f (x)=x2-2ax+2a-1在[0,4]上的最小值为f (a)=-(a-1)2∈(-4,0],|f (a)|=(a-1)2,
①当2≤a<3时,函数f (x)=x2-2ax+2a-1(x∈[0,4])在x=0时取得最大值,且最大值为2a-1,由于此时2≤a<3,则3≤2a-1<5,
易知当2≤a<3时,(a-1)2<2a-1,
所以|f (x)|max=max{|f (a)|,|f (0)|}=|f (0)|=2a-1∈[3,5).
∴t≤3.
②当0 所以3<15-6a<15,且15-6a>(a-1)2,|f (x)|max=max{|f (a)|,|f (4)|}=|f (4)|=15-6a∈(3,15),
∴t≤3.
综上, t的取值范围是(-∞,3].
最新考纲
考情考向分析
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
以理解一元二次不等式的解法为主,常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法,有时也在导数的应用中用到,加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查,属于低档题,若在导数的应用中考查,难度较高.
一元二次不等式的解集
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根x1,x2(x1
没有实数根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
{x|x
{x|x∈R}
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x
∅
概念方法微思考
1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?
提示 ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么?
提示 显然a≠0.ax2+bx+c>0恒成立的条件是ax2+bx+c<0恒成立的条件是
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
(3)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( × )
(4)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( √ )
题组二 教材改编
2.已知集合A={x|x2-x-6>0},则∁RA等于( )
A.{x|-2
C.{x|x<-2或x>3}
D.{x|x≤-2或x≥3}
答案 B
解析 ∵x2-x-6>0,∴(x+2)(x-3)>0,∴x>3或x<-2,即A={x|x>3或x<-2}.在数轴上表示出集合A,如图所示.
由图可得∁RA={x|-2≤x≤3}.
故选B.
3.y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________________.
答案 ∪
解析 由题意,得3x2-2x-2>0,
令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,
∴3x2-2x-2>0的解集为
∪.
题组三 易错自纠
4.不等式-x2-3x+4>0的解集为________.(用区间表示)
答案 (-4,1)
解析 由-x2-3x+4>0可知,(x+4)(x-1)<0,
得-4
答案 -14
解析 ∵x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,
∴解得∴a+b=-14.
6.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 (-2,2]
解析 当a-2≠0时,由得-2 当a=2时,原式化为-4<0,不等式恒成立,
∴-2 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 (2019·新乡模拟)已知集合A={x|x2-4x<5},则下列选项中正确的是( )
A.-1.2∈A B.30.9∉A
C.log230∈A D.A∩N={1,2,3,4}
答案 C
解析 因为A={x|-1
例2 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解 原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
因为a>0,所以(x-1)<0.
所以当a>1时,解得
当0 综上,当0 当a=1时,不等式的解集为∅;
当a>1时,不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1 (1)(2019·北京市海淀区期末)不等式x2+2x-3<0的解集为( )
A.{x|x<-3或x>1} B.{x|x<-1或x>3}
C.{x|-1
解析 由x2+2x-3<0得(x+3)(x-1)<0,解得-3
答案 {x|x≥3或x≤2}
解析 由题意,知-,-是方程ax2-bx-1=0的两个根,且a<0,
所以解得
故不等式x2-bx-a≥0为x2-5x+6≥0,
解得x≥3或x≤2.
(3)解不等式12x2-ax>a2(a∈R).
解 原不等式可化为12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
解得x1=-,x2=.
当a>0时,不等式的解集为∪;
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a<0时,不等式的解集为∪.
一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3 已知函数f (x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f (x)<0恒成立,求实数m的取值范围.
解 当m=0时,f (x)=-1<0恒成立.
当m≠0时,则即-4
例4 已知函数f (x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f (x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.
解 要使f (x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
方法一 令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,
所以m<,所以0
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g(1),即m-6<0,
所以m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是.
方法二 因为x2-x+1=2+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
所以m的取值范围是.
若将“f (x)<5-m恒成立”改为“f (x)<5-m无解”,如何求m的取值范围?
解 若f (x)<5-m无解,即f (x)≥5-m恒成立,
即m≥恒成立,
又x∈[1,3]时,max=6,得m≥6,
即m的取值范围为[6,+∞).
若将“f (x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f (x)<5-m成立”,如何求m的取值范围?
解 由题意知f (x)<5-m有解,
即m<有解,则m
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.
解 设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,
则即
解得
思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
跟踪训练2 函数f (x)=x2+ax+3.
(1)若当x∈R时,f (x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若当x∈[-2,2]时,f (x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若当a∈[4,6]时,f (x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.
解 (1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2,∴实数a的取值范围是[-6,2].
(2)由题意可转化为x2+ax+3-a≥0在x∈[-2,2]上恒成立,
则(x2+ax+3-a)min≥0(x∈[-2,2]).
令g(x)=x2+ax+3-a,x∈[-2,2],
函数图象的对称轴方程为x=-.
当-<-2,即a>4时,g(x)min=g(-2)=7-3a≥0,解得a≤,舍去;
当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,g(x)min=g=--a+3≥0,解得-6≤a≤2,
∴-4≤a≤2;
当->2,即a<-4时,g(x)min=g(2)=7+a≥0,
解得a≥-7,∴-7≤a<-4.
综上可得,满足条件的实数a的取值范围是[-7,2].
(3)令h(a)=xa+x2+3.
当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.
只需即
解得x≤-3-或x≥-3+.
∴实数x的取值范围是
(-∞,-3-]∪[-3+,+∞).
设方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ>0)有不相等的两根为x1,x2,且x1
分布情况
两个负根即两根都小于0(x1<0,x2<0)
两个正根即两根都大于0(x1>0,x2>0)
一正根一负根即一个根小于0,一个根大于0(x1<0
得出的结论
f (0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论
f (0)>0
综合结论(不讨论a)
a·f (0)<0
表二:(两根与k的大小比较)
分布情况
两根都小于k即x1
一个根小于k,一个根大于k即x1
得出的结论
f (k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论
f (k)>0
综合结论(不讨论a)
a·f (k)<0
表三:(根在区间上的分布)
分布情况
两根都在(m,n)内
两根有且仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种)
一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m
得出的结论
f (m)·f (n) <0
或
大致图象(a<0)
得出的结论
f (m)·f (n) <0
或
综合结论(不讨论a)
f (m)·f (n) <0
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间(m,n)外,即在区间两侧x1
(1)a>0时,
(2)a<0时,
对以上的根的分布表中,两根有且仅有一根在(m,n)内有以下特殊情况:
(ⅰ)若f (m)=0或f (n)=0,则此时f (m)·f (n)<0不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间(m,n)内,从而可以求出参数的值.如方程mx2-(m+2)x+2=0在区间(1,3)上有一根,因为f (1)=0,所以mx2-(m+2)x+2=(x-1)(mx-2),另一根为,由1<<3得
解 设f (x)=(2m+1)x2-2mx+(m-1),
由(2m+1)·f (0)<0 ,即(2m+1)(m-1)<0,
解得-
解 设f (x)=2x2-(m+1)x+m,
由⇒
⇒ ⇒0
例3 已知二次函数f (x)=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围.
解 由(m+2)·f (1)<0 ,
即(m+2)·(2m+1)<0⇒-2
1.(2019·武汉调研)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|x2+3x<0},则A∩B等于( )
A.(0,2) B.(-1,0)
C.(-3,2) D.(-1,3)
答案 B
解析 A={x|-1
A.∪
B.
C.∪
D.
答案 A
解析 由f (x)=(ax-1)(x+b)>0的解集是(-1,3),则a<0,故=-1,-b=3,即a=-1,b=-3.
∴f (x)=-x2+2x+3,
∴f (-2x)=-4x2-4x+3,
由-4x2-4x+3<0,解得x>或x<-,
故不等式f (-2x)<0的解集是
∪.故选A.
3.(2020·永州模拟)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A.m> B.m<
C.m<1 D.m>1
答案 A
解析 ∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,
∴Δ=(-1)2-4m<0,解得m>,
又∵m>,∴Δ=1-4m<0,
∴“m>”是“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件.故选A.
4.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是( )
A.[-4,1] B.[-4,3]
C.[1,3] D.[-1,3]
答案 B
解析 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1 5.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是( )
A. B.
C.(1,+∞) D.
答案 A
解析 由Δ=a2+8>0知方程恒有两个不等实根,又因为x1x2=-2<0,所以方程必有一正根,一负根,对应二次函数图象的示意图如图.所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0,解得a>-,故选A.
6.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是( )
A.(-3,5) B.(-2,4)
C.[-1,3] D.[-2,4]
答案 C
解析 因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,
当a>1时,不等式的解集为{x|1
要使得解集中至多包含1个整数,则a=1或1 所以实数a的取值范围是a∈[-1,3],故选C.
7.(2020·北京市石景山区模拟)已知集合A={-5,-1,2,4,5},请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,这个不等式可以是______________.
答案 (x+4)(x-6)>0(答案不唯一)
解析 因为不等式(x+4)(x-6)>0解集为{x|x>6或x<-4},解集中只有-5在集合A中.
8.(2019·北京市顺义区模拟)满足关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是________.
答案 (-2,-1)(答案不唯一)
解析 不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,
∴方程(ax-b)(x-2)=0的实数根为和2,
且即a=2b<0,
则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是(-2,-1).
9.(2019·江西省宜丰中学月考)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为________.
答案
解析 由题意,可知不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,
又由(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a),
即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x都成立,
所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,即4a2-4a-3<0,
解得- 10.(2019·北京市丰台区模拟)已知定义域为R的奇函数f (x),当x>0时, f (x)=-(x-1)2+1.
①当x∈[-1,0]时, f (x)的取值范围是________;
②当函数f (x)的图象在直线y=x的下方时, x的取值范围是________.
答案 [-1,0] (-1,0)∪(1,+∞)
解析 因为f (x)为奇函数,故可以求函数在[0,1]上的值域,当x>0时, f (x)=-(x-1)2+1在[0,1]上的值域为[0,1],故在x∈[-1,0]上的值域为x∈[-1,0];如图所示,当函数f (x)的图象在直线y=x的下方时,得x的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).
11.(2019·衡水第十三中学质检)已知关于x的不等式-x2+ax+b>0.
(1)若该不等式的解集为(-4,2),求a,b的值;
(2)若b=a+1,求此不等式的解集.
解 (1)根据题意得
解得a=-2,b=8.
(2)当b=a+1时,-x2+ax+b>0⇔x2-ax-(a+1)<0,
即[x-(a+1)](x+1)<0.
当a+1=-1,即a=-2时,原不等式的解集为∅;
当a+1<-1,即a<-2时,原不等式的解集为(a+1,-1);
当a+1>-1,即a>-2时,原不等式的解集为(-1,a+1).
综上,当a<-2时,不等式的解集为(a+1,-1);当a=-2时,不等式的解集为∅;当a>-2时, 不等式的解集为(-1,a+1).
12.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,则甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
解 (1)根据题意,得200≥3 000,
整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是[3,10].
(2)设利润为y元,则y=·100
=9×104
=9×104,
故当x=6时,ymax=457 500.
故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为457 500元.
13.设a<0,(4x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,则b-a的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知a<0,a ①当b<0时,∀x∈(a,b),2x+b<0,
所以(4x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立可转化为∀x∈(a,b),a≤-4x2,
所以a≤-4a2,所以-≤a<0,所以0 ②当b>0时,(4x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,
当x=0时,(4x2+a)(2x+b)=ab<0,不符合题意;
③当b=0时,由题意知x∈(a,0),(4x2+a)2x≥0恒成立,
所以4x2+a≤0,所以-≤a<0,所以0 综上所述,b-a的最大值为.
14.已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是________.
答案 (1,5]
解析 设f (x)=x2-2(a-2)x+a,
当Δ=4(a-2)2-4a<0,
即10 对x∈R恒成立,符合题意;
当a=1时,f (-1)=0,不符合题意;
当a=4时,f (2)=0 符合题意;
当Δ>0 时,由得
即4 综上所述,实数a的取值范围是(1,5].
15.(2020·上海市金山区模拟)若集合A={x∈Z|x2-(a+2)x+2-a<0}中有且只有一个元素,则正实数a的取值范围是________.
答案
解析 f (x)=x2-(a+2)x+2-a<0,
即x2-2x+1 分别令y1=x2-2x+1,
y2=a(x+1)-1,易知y2过定点(-1,-1),
在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图所示,
若集合A={x∈Z|f (x)<0}中有且只有一个元素,结合图象可得,即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方,点(1,0)在直线下方,
∴解得 16.(2019·南京六校联考)已知函数f (x)=x2-2ax+2a-1.若对任意的a∈(0,3),存在x0∈[0,4],使得t≤|f (x0)|成立,求实数t的取值范围.
解 ∵f (x)=x2-2ax+2a-1的对称轴为x=a,且a∈(0,3),
∴函数f (x)=x2-2ax+2a-1在[0,a]上是减函数,
在[a,4]上是增函数;
∴函数f (x)=x2-2ax+2a-1在[0,4]上的最小值为f (a)=-(a-1)2∈(-4,0],|f (a)|=(a-1)2,
①当2≤a<3时,函数f (x)=x2-2ax+2a-1(x∈[0,4])在x=0时取得最大值,且最大值为2a-1,由于此时2≤a<3,则3≤2a-1<5,
易知当2≤a<3时,(a-1)2<2a-1,
所以|f (x)|max=max{|f (a)|,|f (0)|}=|f (0)|=2a-1∈[3,5).
∴t≤3.
②当0 所以3<15-6a<15,且15-6a>(a-1)2,|f (x)|max=max{|f (a)|,|f (4)|}=|f (4)|=15-6a∈(3,15),
∴t≤3.
综上, t的取值范围是(-∞,3].
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