2021高考数学一轮复习学案：第八章微专题七与圆交汇问题的求解

微专题七　与圆交汇问题的求解与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题例1 (1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为________．(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．答案　(1)7　(2)－解析　(1)∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故＋＝2＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)，∴＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，∴当x＝－1时有最大值＝7.(2)∵S△AOB＝OA·OBsin∠AOB＝sin∠AOB≤.当∠AOB＝时，△AOB的面积最大．此时O到AB的距离d＝.设AB的方程为y＝k(x－)(k<0)，即kx－y－k＝0.由d＝＝，得k＝－.. 二、直线与圆的综合问题例2 (1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝________.(2)已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于A，B两点，点P(x0，y0)在直线y＝2x上，且PA＝PB，则x0的取值范围为________________．答案　(1)6　(2)(－1,0)∪(0,2)解析　(1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴AC2＝36＋4＝40.又r＝2，∴AB2＝40－4＝36.∴AB＝6.(2)由条件得圆心C(－1,0)，它到直线l：y＝ax＋3的距离为d＝<3，解得a>0或a<－.由PA＝PB，CA＝CB，得PC⊥l，于是kPC＝－(易知a≠0)，即＝－.由<0或0<<，得－1<x0<0或0<x0<2.三、圆与圆的位置关系问题例3 在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是________．答案　(2－2，2)∪(2,2＋2)解析　由题意可知，以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m－2)2＋4<16，所以－2＋2<m<2＋2，且m≠2.