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    2021届高考数学人教版一轮创新教学案:第2章第9讲 函数模型及其应用
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    2021届高考数学人教版一轮创新教学案:第2章第9讲 函数模型及其应用

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    第9讲 函数模型及其应用
    [考纲解读] 1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征,掌握求解函数应用题的步骤.(重点)
    2.了解函数模型及拟合函数模型;在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较.
    3.建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的),要正确地确定实际背景下的定义域,将数学问题还原为实际问题.(难点)
    [考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个冷考点.预测2021年高考将主要考查现实生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等热点问题中的增长或减少问题,以一次函数、二次函数、指数、对数型函数及对勾函数模型为主,考查考生建模能力和分析解决问题的能力.

    1.七类常见函数模型
    函数模型
    函数解析式
    一次函数模型
    f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
    反比例函
    数模型
    f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
    二次函数模型
    f(x)=ax2+bx+c
    (a,b,c为常数,a≠0)
    指数函数模型
    f(x)=bax+c
    (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
    对数函数模型
    f(x)=blogax+c
    (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
    幂函数模型
    f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
    “对勾”函数模型
    f(x)=x+(a>0)
    2.指数、对数、幂函数模型的性质
      函数
    性质   
    y=ax(a>1)
    y=logax(a>1)
    y=xn(n>0)
    在(0,+∞)
    上的增减性
    单调递增
    单调递增
    单调递增
    增长速度
    越来越快
    越来越慢
    相对平稳
    图象的变化
    随x的增大逐渐表现为与y轴平行
    随x的增大逐渐表现为与x轴平行
    随n值变化而各有不同
    值的比较
    存在一个x0,当x>x0时,有logax 3.解函数应用问题的步骤
    (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型.
    (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
    (3)解模:求解数学模型,得出数学结论.
    (4)还原:将数学问题还原为实际问题.
    以上过程用框图表示如下:


    1.概念辨析
    (1)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.(  )
    (2)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.(  )
    (3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.(  )
    答案 (1)√ (2)√ (3)√
    2.小题热身
    (1)(2019·湖北八校联考)有一组试验数据如表所示:
    x
    2.01
    3
    4.01
    5.1
    6.12
    y
    3
    8.01
    15
    23.8
    36.04
    则最能体现这组数据关系的函数模型是(  )
    A.y=2x+1-1 B.y=x2-1
    C.y=2log2x D.y=x3
    答案 B
    解析 根据表中数据可知,能体现这组数据关系的函数模型是y=x2-1.
    (2)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(  )

    答案 B
    解析 B中,Q的值随t的变化越来越快.故选B.
    (3)某市出租汽车的车费计算方式如下:路程在3 km以内(含3 km)为8.00元;达到3 km后,每增加1 km加收1.40元;达到8 km后,每增加1 km加收2.10元.增加不足1 km按四舍五入计算.某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费,则此乘客乘该出租车行驶的路程可以是(  )
    A.22 km B.24 km
    C.26 km D.28 km
    答案 A
    解析 设乘客坐车行驶了x km,根据题意,得
    8+(8-3)×1.4+(x-8)×2.1=44.4.
    8+7+2.1x-16.8=44.4.
    2.1x=46.2,x=22.
    所以,此乘客乘该出租车行驶的路程是22 km.

    (4)有一批材料可以建成200 m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)
    答案 2500
    解析 设围成的矩形的长为x m,则宽为 m,则S=x·=(-x2+200x)=-(x-100)2+2500.当x=100时,Smax=2500 m2.

    题型 一 用函数图象刻画变化过程


    1.高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是(  )

    答案 B
    解析 当h=H时,体积为V,故排除A,C;由H→0过程中,减少相同高度的水,水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢,故选B.

    2.如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1≤x≤3),线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为(  )

    答案 D
    解析 由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为的扇形.

    因为矩形ABCD的周长为8,
    AB=x,
    则AD==4-x,
    所以y=x(4-x)-
    =-(x-2)2+4-(1≤x≤3),
    显然该函数的图象是二次函数图象的一部分,
    且当x=2时,y=4-∈(3,4),故选D.

    判断函数图象与实际问题中两变量
    变化过程相吻合的两种方法
    (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.如举例说明2.
    (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.如举例说明1.                    


    1.(2019·安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图,若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是(  )

    答案 C
    解析 根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加,在第二段时间内,张大爷离家的距离不变,第三段时间内,张大爷离家的距离随时间的增加而减少,最后回到始点位置,对比各选项,只有C正确.
    2.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.

    给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水,则一定正确的是(  )
    A.① B.①②
    C.①③ D.①②③
    答案 A
    解析 由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的,所以0点到3点不出水,3点到4点也可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①.
    题型 二 已知函数模型的实际问题

    某校学生研究学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设f(t)表示学生注意力指标.
    该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生的注意力越集中)如下:
    f(t)=(a>0且a≠1).
    若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:
    (1)求a的值;
    (2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由;
    (3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?
    解 (1)由题意得,当t=5时,f(t)=140,
    即100·a-60=140,解得a=4.
    (2)因为f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,
    所以f(5)>f(35),
    故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中.
    (3)①当0 ②当10140恒成立;
    ③当20 解得20 综上所述,5≤t≤.
    故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持-5=分钟.

    求解所给函数模型解决实际问题的方法
    (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
    (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
    (3)利用该模型求解实际问题.                    

    1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表:
    月份
    用气量
    煤气费
    一月份
    4 m3
    4元
    二月份
    25 m3
    14元
    三月份
    35 m3
    19元
    若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为(  )
    A.11.5元 B.11元
    C.10.5元 D.10元
    答案 A
    解析 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+×(20-5)=11.5,故选A.
    2.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
    答案 24
    解析 由题意得即所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k+b=(e11k)3·eb=3×192=24(小时).
    题型 三 构建函数模型的实际问题 

    角度1 构造一次函数、二次函数模型

    1.(2020·商丘二中检测)如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.
    (1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,并求该函数的解析式及定义域;
    (2)求矩形BNPM面积的最大值.

    解 (1)如图,作PQ⊥AF于点Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4,
    在△EDF中,=,
    所以=,所以y=-x+10,定义域为{x|4≤x≤8}.
    (2)设矩形BNPM的面积为S,则S(x)=xy=x=-(x-10)2+50,所以S(x)是关于x的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=10,所以当x∈[4,8]时,S(x)单调递增,所以当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,最大值为48平方米.
    角度2 构造指数函数、对数函数模型
    2.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(  )
    (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
    A.2018年 B.2019年
    C.2020年 D.2021年
    答案 B
    解析 根据题意,知每年投入的研发资金增长的百分率相同,所以从2015年起,每年投入的研发资金组成一个等比数列{an},其中首项a1=130,公比q=1+12%=1.12,所以an=130×1.12n-1.由130×1.12n-1>200,两边同时取对数,得n-1>,又≈=3.8,则n>4.8,即a5开始超过200,所以2019年投入的研发资金开始超过200万元,故选B.
    3.已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lg nA来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数,现有以下几种说法:
    ①PA≥1;
    ②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10;
    ③假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5 则正确的说法为________.(写出所有正确说法的序号)
    答案 ③
    解析 当nA=1时,PA=0,故①错误;若PA=1,则nA=10,若PA=2,则nA=100,故②错误;设B菌的个数为nB=5×104,∴nA==2×105,∴PA=lg nA=lg 2+5.又lg 2≈0.3,∴PA≈5.3,则5 角度3 构造分段函数模型
    4.某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
    (1)求函数y=f(x)的解析式;
    (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
    解 (1)当x≤6时,y=50x-115,
    令50x-115>0,解得x>2.3,
    ∵x为整数,∴3≤x≤6,x∈Z.
    当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.
    令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,结合x为整数得6 ∴y=
    (2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),
    显然当x=6时,ymax=185;
    对于y=-3x2+68x-115
    =-32+(6 当x=11时,ymax=270.
    ∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.
    角度4 构造y=x+(a>0)型函数
    5.某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位:万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x)=(x≥0,k为常数).记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和.
    (1)试解释C(0)的实际意义,并建立y关于x的函数关系式并化简;
    (2)当x为多少平方米时,y取得最小值,最小值是多少万元?
    解 (1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元,
    ∵C(0)==4,∴k=1000,
    ∴y=0.2x+×4=0.2x+(x≥0).
    (2)y=0.2(x+5)+-1≥2-1=7,当0.2(x+5)=,即x=15时,ymin=7,故当x为15平方米时,y取得最小值7万元.

    1.解函数应用题的一般步骤
    第一步:(审题)弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
    第二步:(建模)将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;
    第三步:(解模)求解数学模型,得到数学结论;
    第四步:(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;
    第五步:(反思)对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
    2.建模的基本原则
    (1)在实际问题中,若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分),一般构建一次函数模型,利用一次函数的图象与性质求解.
    (2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型,根据已知条件确定二次函数解析式.结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决.
    (3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车计价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.                    

    1.国家对某行业征税的规定如下:年收入在280万元及以下部分的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税.有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是(  )
    A.560万元 B.420万元
    C.350万元 D.320万元
    答案 D
    解析 设该公司的年收入为x万元,纳税额为y万元,则由题意得y=依题有=(p+0.25)%,解得x=320.故选D.
    2.(2019·福建三明联考)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据:lg 2≈0.3010)(  )
    A.3 B.4
    C.5 D.6
    答案 B
    解析 设至少要洗x次,则x≤,∴x≥≈3.322,因此至少需要洗4次,故选B.

    3.某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示),大棚占地面积为S平方米,其中a∶b=1∶2,若要使S最大,则y=________.
    答案 45
    解析 由题可得,xy=1800,b=2a,则y=a+b+3=3a+3,
    ∴S=(x-2)a+(x-3)b
    =(3x-8)a=(3x-8)
    =1808-3x-y.
    解法一:S=1808-3x-×
    =1808-(x>0),
    ≤1808-2
    =1808-240=1568.
    当且仅当3x=,即x=40时取等号,S取得最大值.
    此时y==45.
    所以当x=40,y=45时,S取得最大值.
    解法二:设S=f(x)=1808-(x>0),
    f′(x)=-3=,
    令f′(x)=0得x=40,
    当00,
    当x>40时,f′(x)<0.
    所以当x=40时,S取得最大值.此时y=45,
    所以当x=40,y=45时,S取得最大值.

     组 基础关
    1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(  )
    A.y=100x B.y=50x2-50x+100
    C.y=50×2x D.y=100log2x+100
    答案 C
    解析 对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时误差较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,据函数式得到的结果为300,与实际值790相差很远.综上,只有C中的函数误差最小.
    2.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满足关系y=alog3(x+2),观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只,估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为(  )
    A.4000只 B.5000只
    C.6000只 D.7000只
    答案 C
    解析 当x=1时,由3000=alog3(1+2),得a=3000,所以到2020年冬,即第7年,y=3000×log3(7+2)=6000,故选C.
    3.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中正确的有(  )


    A.1个 B.2个
    C.3个 D.4个
    答案 C
    解析 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来,①中的增长应该是匀速的,故下面的图象不正确;②中的增长速度是越来越慢的,正确;③中的增长速度是先慢后快,正确;④中的增长速度是先快后慢,也正确,故②③④正确.选C.
    4.汽车的“燃油效率”,是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(  )

    A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
    B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多
    C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
    D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油
    答案 D
    解析 根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故A错误;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故B错误;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故C错误;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故D正确.
    5.(2020·泸州诊断)某位股民买入某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(  )
    A.略有盈利 B.无法判断盈亏情况
    C.没有盈利也没有亏损 D.略有亏损
    答案 D
    解析 由题意可得(1+10%)3(1-10%)3=0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.
    6.(2019·南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,经过x年后,绿化面积与原绿化面积之比为y,则y=f(x)的图象大致为(  )

    答案 D
    解析 设某地区起始年的绿化面积为a,因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,所以经过x年后,绿化面积g(x)=a(1+18%)x,因为绿化面积与原绿化面积的比值为y,则y=f(x)==(1+18%)x=1.18x,因为y=1.18x为底数大于1的指数函数,故可排除A,C,当x=0时,y=1,可排除B,故选D.
    7.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足函数关系式y=3000+20x-0.1x2(0 A.100台 B.120台
    C.150台 D.180台
    答案 C
    解析 设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000≥0,得x≥150,所以生产者不亏本时的最低产量为150台.故选C.
    8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为________.
    答案 -1
    解析 设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)(1+q),∴x=-1.
    9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.

    答案 20
    解析 设矩形花园的宽为y m,则=,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当x=20 m时,面积最大.
    10.某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价,该地区电网销售电价表如下:

    高峰时间段用电价格表
    低谷时间段用电价格表
    高峰月用电量
    (单位:千瓦时)
    高峰电价
    (单位:元/千瓦时)
    低谷月用电量
    (单位:千瓦时)
    低谷电价
    (单位:元/千瓦时)
    50及以下的部分
    0.568
    50及以下的部分
    0.288
    超过50至200的部分
    0.598
    超过50至200的部分
    0.318
    超过200的部分
    0.668
    超过200的部分
    0.388
    若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元.(用数字作答)
    答案 148.4
    解析 据题意有0.568×50+0.598×150+0.288×50+0.318×50=148.4(元).
     组 能力关
    1.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税;超过4000元的按全稿酬的11%纳税.若某人共纳税420元,则这个人的稿费为(  )
    A.3000元 B.3800元
    C.3818元 D.5600元
    答案 B
    解析 由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y=显然稿费应为800 2.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH值的定义为pH=-lg [H+],健康人体血液的pH值保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液中的可以为(参考数据:lg 2=0.30,lg 3=0.48)(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 C
    解析 ∵[H+]·[OH-]=10-14,∴=[H+]2×1014,∵7.35<-lg [H+]<7.45,∴10-7.45<[H+]<10-7.35,∴10-0.9<=1014·[H+]2<10-0.7,10-0.9=>,lg (100.7)=0.7>lg 3>lg 2,∴100.7>3>2,10-0.7<<,
    ∴<<.故选C.
    3.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t(单位:min)后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta),其中Ta称为环境温度,h称为半衰期,现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡,放在21 ℃的房间中,如果咖啡降到37 ℃需要16 min,那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃,还需要________ min.
    答案 8
    解析 由题意知Ta=21 ℃.令T0=85 ℃,T=37 ℃,得37-21=(85-21)·,∴h=8.令T0=37 ℃,T=29 ℃,则29-21=(37-21)·,∴t=8.
    4.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
    (1)求出a,b的值;
    (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
    解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0,即a+b=0.
    当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,
    故a+blog3=1,整理得a+2b=1.
    解方程组得
    (2)由(1)知,v=a+blog3=-1+log3.
    所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2,
    所以-1+log3≥2,
    即log3≥3,解得≥27,即Q≥270.
    所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.
     组 素养关
    1.(2019·江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120.设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收入为f(x)(单位:万元).
    (1)求f(50)的值;
    (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收入f(x)最大?
    解 (1)若投入甲大棚50万元,则投入乙大棚150万元,
    所以f(50)=80+4+×150+120=277.5.
    (2)由题知,
    f(x)=80+4+(200-x)+120
    =-x+4+250,
    依题意得
    解得20≤x≤180,
    故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).
    令t=,则t2=x,t∈[2,6],
    y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,
    当t=8,即x=128时,y取得最大值282,所以投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收入最大,且最大收入为282万元.
    2.某公司为了实现2020年销售利润1000万元的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y=1.003x,y=ln x+1,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由.
    (参考数据:1.003538≈5,e=2.71828……,e8≈2981)
    解 由题意,符合公司要求的模型需同时满足:当x∈[10,1000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.
    (1)对于y=0.025x,易知满足①,但当x>200时,y>5,不满足公司的要求.
    (2)对于y=1.003x,易知满足①,但当x>538时,y>5,不满足公司的要求.
    (3)对于y=ln x+1,易知满足①.
    当x∈[10,1000]时,y≤ln 1000+1.
    下面证明ln 1000+1<5.
    因为ln 1000+1-5=ln 1000-4=(ln 1000-8)
    ≈(ln 1000-ln 2981)<0,满足②.
    再证明ln x+1≤x·25%,即2ln x+4-x≤0.
    设F(x)=2ln x+4-x,则F′(x)=-1=<0,x∈[10,1000],所以F(x)在[10,1000]上为减函数,
    F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)<0,满足③.
    综上,奖励模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.
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