2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第6章第4节归纳与类比

第四节　归纳与类比[考纲传真]　了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.    (　　)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.                 (　　)[答案](1)×　(2)√　(3)×2．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．an＝3n－1　　　　　 B．an＝4n－3C．an＝n2   D．an＝3n－1C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]3．下面几种推理是合情推理的是  (　　)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.A．①②   B．①③C．①②④   D．②④C　[合情推理分为类比推理和归纳推理．其中①是类比推理，②④是归纳推理．故选C.]4．(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3…bn＝________.b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)　[∵b9＝1，∴在等比数列中b1·b2·b3·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)．]归纳推理►考法1　与数式有关的推理【例1】　(1)(2019·南昌模拟)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝(　　)A．8　　　　B．9　　　　C．10　　　　D．11(2)(2019·济宁模拟)已知ai＞0(i＝1,2,3，…，n)，观察下列不等式：≥；≥；≥；……照此规律，当n∈N*，n≥2时，≥______.(1)C　(2)　[(1)观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n3时，等号右边的数为2，因此，令2＝3 025，则＝55，n＝10或n＝－11(舍)．故选C.(2)由题意得≥(n∈N*，n≥2)．]►考法2　与图形有关的推理【例2】　某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．(1)n级分形图中共有________条线段；(2)n级分形图中所有线段长度之和为________．(1)3×2n－3(n∈N*)　(2)9－9×n(n∈N*)　[(1)由题图知，一级分形图中的线段条数为3＝3×2－3，二级分形图中的线段条数为9＝3×22－3，三级分形图中的线段条数为21＝3×23－3，按此规律，n级分形图中的线段条数为an＝3×2n－3(n∈N*)．(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度和为bn＝3×n－1(n∈N*)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×0＋3×1＋…＋3×n－1＝3×＝9－9×n.][规律方法]　归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． (1)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝，5＝，…，则按照以上规律，若9＝具有“穿墙术”，则n＝(　　)A．25  B．48  C．63  D．80(2)如图的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．(1)D　(2)(n∈N*)　[(1)由2＝，3＝，4＝，5＝，…，可得若9＝具有“穿墙术”，则n＝92－1＝80.(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为(n∈N*)．]类比推理【例3】　(1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋＝(　　)A.   B．C.   D．(2)(2018·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为(　　)A.   B．C.   D．(1)C　(2)C　[(1)令1＋＝x(x＞0)，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝，故选C.(2)设空间中三棱锥O­ABC的三条两两垂直的侧棱OA，OB，OC的长分别为a，b，c，不妨设三个侧面的面积分别为S△OAB＝ab＝S1，S△OAC＝ac＝S2，S△OBC＝bc＝S3，则ab＝2S1，ac＝2S2，bc＝2S3.过O作OD⊥BC于D，连接AD(图略)，由OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，得OA⊥平面OBC，所以OA⊥BC，又OA∩OD＝O，所以BC⊥平面AOD，又BC平面OBC，所以平面OBC⊥平面AOD，所以点O在平面ABC内的射影O′在线段AD上，连接OO′.在直角三角形OBC中，OD＝.因为AO⊥OD，所以在直角三角形OAD中，OO′＝＝＝＝＝＝.][规律方法]　求解类比推理题的关键：①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个命题(猜想)． (1)在正项等差数列{an}中有＝成立，则在正项等比数列{bn}中，类似的结论为________．(2)如图(1)所示，点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则＋＋＝1，类比猜想：点O是空间四面体VBCD内的任意一点，如图(2)所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，则有________．(1)＝　(2)＋＋＋＝1　[(1)由等差数列的性质知，＝＝，＝＝，所以＝.在正项等比数列{bn}中，类似的有：＝＝＝，＝＝，所以＝，所以在正项等比数列{bn}中，类似的结论为＝.(2)利用类比推理，猜想应有＋＋＋＝1.用“体积法”证明如下：＋＋＋＝＋＋＋＝＝1.]推理在生活中的应用【例4】　(1)甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则  (　　)A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖(2)(2019·郑州模拟)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．(1)C　(2)乙　[(1)若甲未获奖，则乙、丙、丁三位同学获奖，此时甲、乙、丙说的都错了，与题设矛盾，所以甲一定获奖了；若丙未获奖，则甲、乙、丁三位同学获奖，此时甲、丙、丁说的都对，与题设矛盾，所以丙也一定获奖了，由此可知乙、丁只有一个获奖，不可能同时获奖，故选C.(2)若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．][规律方法]　该类问题求解时，需要对题设条件认真分析，常从某一条件出发，在推理中如果推出矛盾，则将其否定，如果没有推出矛盾，则说明其为正确的，从而得出结论． 甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．丙　[因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩D　[由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．]2.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________1和3　[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A　[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]