知识点一　　　　参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x，y的变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

1．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为y＝－2x2(－1≤x≤1)．

解析：由(θ为参数)消去参数θ得

y＝－2x2(－1≤x≤1)．

2．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，则|AB|min＝.

解析：由(φ为参数)得，＋＝1，当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．

∴|AB|min＝2×＝.

知识点二　　　　常见曲线的参数方程的一般形式

1．经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．

2．圆的参数方程

(θ为参数)

3．圆锥曲线的参数方程

椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)

抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)

3．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝－6.

解析：直线(t为参数)的斜率为－，所以×＝－1，k＝－6.

4．椭圆＋＝1的参数方程是(θ为参数)．

解析：设＝cosθ，＝sinθ，

则(θ为参数)，即为所求的参数方程．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋＝1，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为.

解析：将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－，所以|AB|＝|t1－t2|＝.

1．参数方程化普通方程

(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等．

(2)等价性：保证参数方程化为普通方程的等价性，不扩大或缩小取值范围．

2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．

若M1，M2是l的两点，其对应参数分别为t1，t2，则有以下结论：

(1)|M1M2|＝|t1－t2|.

(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.

(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.

考向一　　　　参数方程与普通方程的互化

【例1】　在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝m.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围．

【解】　(1)由曲线C1的参数方程为

(α为参数)，

可得其直角坐标方程为y＝x2(－2≤x≤2)，

由曲线C2的极坐标方程为ρsin＝m，

可得其直角坐标方程为x－y＋m＝0.

(2)联立曲线C1与曲线C2的方程，可得x2－x－m＝0，

∴m＝x2－x＝2－，

∵－2≤x≤2，曲线C1与曲线C2有公共点，

∴－≤m≤6.

1消去参数的方法一般有三种：

①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；

②利用三角恒等式消去参数；,③根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数.

2在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致.

将下列参数方程化成普通方程．

(1)(t为参数)；

(2)(θ为参数，θ∈[，π])．

解：(1)消去参数t，得y＝x＋2，由于t2≥0，∴普通方程为y＝x＋2(x≥－1)，表示一条射线．

(2)消去参数θ，得x2＋y2＝1，由于θ∈[，π]，∴x∈[－1,0]，y∈[0,1]，∴普通方程为x2＋y2＝1，(－1≤x≤0,0≤y≤1)，表示圆的四分之一．

考向二　　　　求曲线的参数方程

【例2】　(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

【解】　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tanα＝k，

则l的方程为y＝kx－.

l与⊙O交于两点当且仅当||<1，解得k<－1或k>1，

即α∈(，)或α∈(，)．

综上，α的取值范围是(，)．

(2)l的参数方程为(t为参数，<α<)．

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.

又点P的坐标(x，y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是

(α为参数，<α<)．

本题通过参数法建立了点P的轨迹方程，有时求曲线的参数方程也可通过相关点法求解.

已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤φ<π)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝1，直线l与C交于不同的两点P1，P2.

(1)求φ的取值范围；

(2)以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．

解：(1)曲线C的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x2＋y2可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，

将代入x2＋y2＝1，

得t2－4tsinφ＋3＝0(*)，

由16sin2φ－12>0，

得|sinφ|>，又0≤φ<π，

∴φ的取值范围是.

(2)设P1(t1cosφ，－2＋t1sinφ)，P2(t2cosφ，－2＋t2sinφ)，由(1)中的(*)可知，＝2sinφ，∴可得P1P2中点的轨迹方程为(φ为参数，<φ<)．

故线段P1P2中点轨迹的参数方程为φ为参数，<φ<.

考向三　　　　利用直线的参数方程求长度

【例3】　已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．

【解】　(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.

∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.

(2)将代入曲线C的方程得(tcosα－1)2＋(tsinα)2＝4，

化简得t2－2tcosα－3＝0.

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则

∴|AB|＝|t1－t2|＝

＝＝，

∴4cos2α＝2，cosα＝±，α＝或.

1解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题.

当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.

(2019·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.

解：(1)由ρsin2θ＝4cosθ，

可得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，

∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.

(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x，整理得4t2＋8t－7＝0，

∴t1＋t2＝－2，t1t2＝－，

∴|AB|＝×|t1－t2|

＝×

＝×＝.

考向四　　　　利用椭圆参数求最值

【例4】　在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为

(t为参数)．

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；

(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.

【解】　(1)当a＝－1时，直线l的方程为x＋4y－3＝0.

曲线C的标准方程是＋y2＝1.

联立得方程组

解得或

所以C与l交点坐标是(3,0)和－，.

(2)直线l的一般方程是x＋4y－4－a＝0.

设曲线C上点P(3cosθ，sinθ)，则点P到直线l距离d＝.

当a≥－4时，d的最大值为，

由题设得＝，所以a＝8；

当a<－4时，d的最大值为，

由题设得＝，所以a＝－16.

综上，a＝8或a＝－16.

一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.

(2019·福州市模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t>0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos(θ－)＝.

(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；

(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．

解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝2，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.

因为曲线C的参数方程为(α为参数，t>0)，

所以曲线C的普通方程为＋y2＝1(t>0)，

由

消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，

所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0，

又t>0，所以0<t<，

故t的取值范围为(0，)．

(2)由(1)知直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，

故曲线C上的点(tcosα，sinα)到l的距离

d＝，

故d的最大值为，

由题设得＝＋，

解得t＝±.

又t>0，所以t＝.