2020高考数学文科大一轮复习导学案：第五章数列5.2

知识点一　等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．

1．判断正误

(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)

(2)等差数列的公差是相邻两项的差．(　×　)

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　×　)

2．若等差数列{an}的公差为d，则数列{a2n－1}是(　B　)

A．公差为d的等差数列

B．公差为2d的等差数列

C．公差为nd的等差数列

D．非等差数列

解析：数列{a2n－1}其实就是a1，a3，a5，a7，…，奇数项组成的数列，它们之间相差2d.

知识点二　等差数列的通项公式与前n项和公式

1．若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d.

2．等差数列的前n项和公式

Sn＝＝na1＋d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)

3．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　B　)

A．－12   B．－10

C．10   D．12

解析：解法1：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3(3a1＋d)＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.

解法2：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.

4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为820.

解析：设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820.

1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列．

3．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．

考向一　等差数列基本量的运算

【例1】　(1)(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．

(2)(2018·全国卷Ⅱ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

①求{an}的通项公式；

②求Sn，并求Sn的最小值．

【解析】　(1)设等差数列的公差为d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，

∴d＝6，∴an＝3＋(n－1)·6＝6n－3.

(2)①设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.

由a1＝－7得d＝2.

所以{an}的通项公式为an＝2n－9.

②由①得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.

所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.

【答案】　(1)6n－3　(2)见解析

等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1，d，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.

(1)(2019·沈阳市质量监测)在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是(　A　)

A．55   B．11

C．50   D．60

(2)(2019·河南信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：(1)解法1：设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55，故选A.

解法2：设等差数列{an}的公差为d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55，故选A.

(2)设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得：

联立解得a＝1，d＝－.

∴这个问题中，甲所得为1－2×(－)＝(钱)．

故选C.

考向二　等差数列的判定与证明

【例2】　(2019·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.

(1)求a2，a3；

(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．

【解】　(1)由已知，得a2－2a1＝4，

则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.

由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.

(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，

得＝2，

即－＝2，所以数列是首项＝1，

公差d＝2的等差数列．

则＝1＋2(n－1)＝2n－1，

所以an＝2n2－n.

用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解.比如，对于满足an－an－1＝1n≥3的数列{an}而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a2－a1是否等于1.

(2019·福建漳州二模)已知数列{an}满足nan－(n＋1)an－1＝2n2＋2n(n＝2,3,4，…)，a1＝6.

(1)求证：为等差数列，并求出{an}的通项公式；

(2)设数列的前n项和为Sn，求证：Sn<.

证明：(1)由nan－(n＋1)an－1＝2n2＋2n(n＝2,3,4，…)，a1＝6，可得－＝2，＝3，

则是首项为3，公差为2的等差数列，可得＝3＋2(n－1)＝2n＋1，

则an＝(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．

(2)由<

＝，

可得数列的前n项和Sn＝＋＋…＋≤＋×＝＋<＋＝，即Sn<.

考向三　　等差数列的性质及应用

方向1　等差数列项的性质

【例3】　(1)(2019·湖南衡阳一模)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为(　　)

A．6   B．12

C．24   D．48

(2)(2019·山西太原一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝(　　)

A．3   B．9

C．18   D．27

【解析】　(1)∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，∴由等差数列的性质可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.故选D.

(2)设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a3＋a10＝9，∴3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3，∴a5＝3，∴S9＝＝9a5＝27，故选D.

【答案】　(1)D　(2)D

方向2　等差数列前n项和的性质

【例4】　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S672＝2，S1 344＝12，则S2 016＝(　　)

A．22   B．26

C．30   D．34

(2)(2019·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为(　　)

A．10   B．11

C．12   D．13

【解析】　(1)由等差数列的性质知，S672，S1 344－S672，S2 016－S1 344成等差数列，则2(S1 344－S672)＝S672＋S2 016－S1 344，即2×(12－2)＝2＋S2 016－12，解得S2 016＝30.故选C.

(2)由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，故选C.

【答案】　(1)C　(2)C

方向3　等差数列前n项和的最值

【例5】　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

【解】　∵a1＝20，S10＝S15，

∴10×20＋d＝15×20＋d，

∴d＝－.

解法1：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，得a13＝0.

即当n≤12时，an>0，当n≥14时，an<0.

∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，

且最大值为S12＝S13

＝12×20＋×＝130.

解法2：Sn＝20n＋·

＝－n2＋n＝－2＋.

∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

方法3：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.

∴5a13＝0，即a13＝0.

∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

1.等差数列的性质

1项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋qm，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq.

2和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则,①S2n＝na1＋a2n＝…＝nan＋an＋1；

②S2n－1＝2n－1an.,③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列.

2.等差数列前n项和的最值,可以从两个方面考虑：

①通项公式法：利用通项公式划分项的正、负；

②前n项和法：利用二次函数配方法.

1．(方向1)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝21.

解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，

所以2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，

即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.

2．(方向2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 018＝6 054.

解析：由等差数列的性质可得也为等差数列．

设其公差为d，则－＝6d＝6，

∴d＝1.

故＝＋2 017d＝－2 014＋2 017＝3，

∴S2 018＝3×2 018＝6 054.

3．(方向3)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为(　C　)

A．6   B．7

C．8   D．9

解析：由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.