2020高考数学文科大一轮复习导学案：第五章数列5.3

知识点一　等比数列的有关概念

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．

数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数．

2．等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)

(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)

(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　)

(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(　×　)

2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　D　)

A．a1，a3，a9成等比数列

B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列

D．a3，a6，a9成等比数列

解析：根据等比数列的性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am，ak，an成等比数列．故选D.

知识点二　　等比数列的通项公式及前n项和公式

1．若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.

2．等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.

3．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为

(　D　)

A.f   B.f

C.f   D.f

解析：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为的等比数列，记为{an}，则第八个单音频率为a8＝f()8－1＝f，故选D.

4．(必修5P62习题2.5B组第2题改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝.

解析：S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，

则(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，

由＝知S6＝S3，则S＝S3·(S9－S3)，

所以S9＝S3，所以＝.

1．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

2．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

3．一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．

4．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

5．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.

6．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．

考向一　　等比数列的基本运算

【例1】　(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

【解】　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.

(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.

由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组便可迎刃而解.

(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　B　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

(2)(2019·广东珠海模拟)Sn是正项等比数列{an}的前n项和，a3＝18，S3＝26，则a1＝(　A　)

A．2   B．3

C．1   D．6

解析：(1)显然公比q≠1，由题意得

解得或(舍去)，

∴S5＝＝＝.

(2)设等比数列{an}的公比为q，因a3＝18，S3＝26，则有a3＋＋＝26，即18＋＋＝26，可解得：q＝3或q＝－，又由数列{an}为正项等比数列，得q＝3，则a1＝＝＝2，故选A.

考向二　等比数列的判断与证明

【例2】　设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列．

【解】　(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

即4＋5

＝8＋1，解得a4＝.

(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．

∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，

∴4an＋2＋an＝4an＋1，

∴＝

＝＝＝，

∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．

(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．

(2019·河南信阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋λ(λ为常数)．

(1)试探究数列{an＋λ}是不是等比数列，并求an；

(2)当λ＝1时，求数列{n(an＋λ)}的前n项和Tn.

解：(1)因为an＋1＝2an＋λ，所以an＋1＋λ＝2(an＋λ)．

又a1＝1，所以当λ＝－1时，a1＋λ＝0，数列{an＋λ}不是等比数列，此时an＋λ＝an－1＝0，即an＝1；

当λ≠－1时，a1＋λ≠0，所以an＋λ≠0，

所以数列{an＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列，此时an＋λ＝(1＋λ)2n－1，即an＝(1＋λ)2n－1－λ.

(2)由(1)知an＝2n－1，所以n(an＋1)＝n×2n，

Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n①，

2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1②，

①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.

考向三　等比数列的性质及应用

方向1　等比数列项的性质

【例3】　(1)在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则＝________.

(2)(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.

【解析】　(1)解法1：设等比数列{an}的公比为q，由a2a6＝16得aq6＝16，∴a1q3＝±4.由a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，∴q2＝1.于是＝q10＝1.

解法2：由等比数列的性质，得a＝a2a6＝16，∴a4＝±4，又a4＋a8＝8，∴或∵a＝a4a8>0，∴则公比q满足q4＝1，q2＝1，∴＝q10＝1.

(2)因为log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.

【答案】　(1)1　(2)100

方向2　等比数列前n项和的性质

【例4】　(1)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)

A.   B．－

C.   D.

(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.

【解析】　(1)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比数列中S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝1，则S9－S6＝，即a7＋a8＋a9＝.

(2)由＝，a1＝－1知公比q≠－1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.

【答案】　(1)A　(2)－

1在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋qm，n，p，q∈N*，则有aman＝apaq”，则可减少运算量.

2等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qkq≠－1.

1．(方向1)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　B　)

A．－   B．－

C.   D．－或

解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－，故选B.

2．(方向1)(2019·西安八校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，则

tan的值是(　A　)

A．－   B．－1

C．－   D.

解析：依题意得，a＝(－)3，a6＝－，3b6＝7π，b6＝，＝＝－，故tan＝tan＝－tan＝－.

3．(方向2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝.

解析：解法1：由等比数列的性质S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，

∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.

解法2：因为{an}为等比数列，由＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a,2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以＝＝.