2020高考数学文科大一轮复习导学案：第三章三角函数、解三角形3.3

知识点一　　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1．基本公式

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，

cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，

tan(α±β)＝.

2．公式变形

(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．

(2)函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).

1．(必修4P137A13(5))sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝.

解析：sin347°cos148°＋sin77°cos58°

＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°

＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°

＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°

＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tanα＝.

解析：解法1：因为tan(α－)＝，

所以＝，即＝，解得tanα＝.

解法2：因为tan(α－)＝，

所以tanα＝tan[(α－)＋]＝＝＝.

3．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.

解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)

＝，∴tan20°＋tan40°

＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝－tan20°tan40°，

∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.

知识点二　　二倍角的正弦、余弦、正切公式

1．基本公式

sin2α＝2sinαcosα.

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan2α＝.

2．有关公式的逆用、变形等

(1)cos2α＝，sin2α＝.

(2)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，

1－sin2α＝(sinα－cosα)2，

sinα±cosα＝sin.

4．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝(　B　)

A.   B.

C．－   D．－

解析：cos2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝.

5．计算：＝.

解析：＝×

＝tan15°＝tan(45°－30°)

＝×＝×＝.

注意四组公式：

(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．

(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)

.　　　　　　　　　　　　　　

考向一 　基本公式的运用

【例1】　(1)sin15°＋cos15°的值为(　　)

A.　 　　B．－　 　　C.　 　　D．－

(2)sin415°－cos415°＝(　　)

A.   B．－

C.   D．－

(3)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log ()2等于(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

【解析】　(1)解法1：sin15°＋cos15°＝sin60°＝，故选A.

解法2：sin15°＋cos15°＝

＝＝＝.

(2)sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)

(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°

＝－.故选D.

(3)因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，

所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，

所以sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，

所以＝5，所以log()2＝log52＝4.故选C.

【答案】　(1)A　(2)D　(3)C

1使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.

2使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.

(1)若2sinx＋cos(－x)＝1，则cos2x＝(　C　)

A．－　　　B．－　　　C.　 　　D．－

(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝－.

解析：(1)因为2sinx＋cos(－x)＝1，所以3sinx＝1，所以sinx＝，所以cos2x＝1－2sin2x＝.故选C.

(2)∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0　②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，∴sin(α＋β)＝－.

考向二　　三角函数式求值

方向1　给值求值

【例2】　(1)(2019·福州高三考试)cos15°－4sin215°

cos15°＝(　　)

A.  B.  C．1  D.

(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.

①求cos2α的值；

②求tan(α－β)的值．

【解析】　(1)解法1：cos15°－4sin215°cos15°＝cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝cos15°－2sin15°·sin30°＝cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝.故选D.

解法2：因为cos15°＝，sin15°＝，所以cos15°－4sin215°·cos15°＝×－4×()2×＝×(－)＝×(2－2)＝.故选D.

(2)①因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.

②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，

因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，

所以tan2α＝＝－，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]

＝＝－.

【答案】　(1)D　(2)见解析

方向2　给值求角

【例3】　已知A，B均为钝角，sin2＋cos(A＋)＝，且sinB＝，则A＋B＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

【解析】　因为sin2＋cos(A＋)＝，所以＋cosA－sinA＝，即－sinA＝，解得sinA＝.因为A为钝角，所以cosA＝－＝－＝－.由sinB＝，且B为钝角，可得cosB＝－＝－＝－.所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝(－)×(－)－×＝.又A，B都为钝角，即A，B∈(，π)，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝.选C.

【答案】　C

1.解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有：1变换函数名称.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等.2变换角的形式.变换角的形式可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.

2.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：1已知正切函数值，选正切函数；2已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是0，π，选余弦较好；若角的范围为 (－，)，选正弦较好.

1．(方向1)4cos50°－tan40°＝.

解析：原式＝4sin40°－

＝＝

＝

＝

＝＝.

2．(方向1)若α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α－β)＝，则cosβ＝(　A　)

A.  B.

C.或－   D.或

解析：∵α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α－β)＝，∴sinα＝，cos(α－β)＝，从而cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.故选A.

3．(方向2)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　A　)

A.   B.

C.或   D.或

解析：因为α∈，所以2α∈，又sin2α＝，所以2α∈，α∈，故cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，又α＋β∈，故α＋β＝.

考向三  　三角恒等变换的应用

【例4】　已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.

【解】　(1)f(x)＝cos－2sinxcosx

＝cos2x＋sin2x－sin2x

＝sin2x＋cos2x＝sin，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)证明：由(1)知f(x)＝sin.

∵x∈，∴2x＋∈，

∴当2x＋＝－，

即x＝－时，f(x)取得最小值－.

∴f(x)≥－成立．

三角恒等变形的综合应用主要是将三角恒等变形与三角函数的性质相结合，通过变形，将复杂的函数式子化为y＝Asinωx＋φ＋b的形式再研究性质.在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.

(1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　C　)

A.   B.

C．π   D．2π

(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　B　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

解析：(1)f(x)＝＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.

(2)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.

以黄金分割比为背景的数学文化

众所周知，≈0.618叫做黄金分割比，黄金分割最早起源于几何学，是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的．黄金分割的定义：把任一线段分割成两段，使＝，如图，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比．

设此黄金比为x，不妨设全段长为1，则大段长为x，小段长为1－x，故有＝，即x2＋x－1＝0，解得x＝，其正根为x＝≈0.618 034 0≈0.618为黄金分割比．

黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这种“分割”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵．黄金分割比是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐．

典例　公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)

A．8　　　　　　　　　　 B．4

C．2   D．1

【解析】　由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，＝＝＝＝2，故选C.

【答案】　C

计算：－＝－4.

解析：原式＝

＝＝

＝－4.