2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第9讲　指数与指数函数

第9讲　指数与指数函数

1．了解指数函数模型的实际背景．

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．

知识梳理

1．指数

(1)n次方根的定义

若　xn＝a　，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号．

在实数范围内，正数的奇次方根是一个　正数　，负数的奇次方根是一个　负数　,0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．

(2)方根的性质

①当n为奇数时，＝　a　.

②当n为偶数时，＝　|a|　＝　　.

(3)分数指数幂的意义

①a＝　　(a>0，m，n都是正整数，n>1)．

②a－＝　＝　(a>0，m，n都是正整数，n>1)．

(4) 指数幂运算：如果a>0，b>0，m，n∈Q，那么

①am·an＝　am＋n　；

②(am)n＝　am·n　；

③(a·b)m＝　am·bm　.

2．指数函数

(1)指数函数的定义

一般地，函数　y＝ax(a>0，且a≠1)　叫做指数函数．

(2)指数函数的图象

(3)指数函数的性质

①定义域：　R　.

②值域：　(0，＋∞)　.

③图象过点　(0,1)　.

④当　a>1　时，y＝ax在R上是增函数；

当　0<a<1　时，y＝ax在R上是减函数．

1．指数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝()x的图象关于y轴对称；

2．指数函数y＝ax的底数a>1时，a越大，增长越快，图象在y轴右边越靠近y轴(y>1时)；0<a<1时，a越小，图象在y轴左边越靠近y轴(y>1)．

热身练习

1．下列等式中，正确的是(C)

A．a0＝1  B.＝a

C.＝a  D．am·an＝am·n

　 a＝0时，A不正确；a<0时，B不正确；而am·an＝am＋n，故D不正确．

2．()0＋2－2·＋(0.01)0.5的值为(A)

A.  B.

C.  D.

　 原式＝1＋()＋()＝1＋＋＝.

3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(B)

　 去掉绝对值符号得：y＝x>0与x<0时的图象关于y轴对称，可知应选B.

4．(2018·柳林县期中)函数f(x)＝ax－2＋3(a>0，且a≠1)的图象必经过点(D)

A．(0,1)  B．(1,1)

C．(2,3)  D．(2,4)

　 因为x－2＝0时，y＝4，所以图象恒经过点(2,4)．

5．(2018·长汀县校级月考)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝　－　.

　 当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，

由题意得无解．

当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，

由题意得解得

所以a＋b＝－.

 指数函数的图象及应用

画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

y＝|3x－1|的图象如下图实线所示．

当k<0时，y＝k与y＝|3x－1|的图象无交点，所以方程|3x－1|＝k无解．

当k＝0或k≥1时，y＝k与y＝|3x－1|的图象有一个交点，所以方程|3x－1|＝k有一个解．

当0<k<1时，y＝k与y＝|3x－1|的图象有两个交点，所以方程|3x－1|＝k有两个解．

(1)画与指数函数有关的函数图象，要注意寻找它与指数函数图象之间的关系．利用图象的变换(如平移、伸缩、对称、翻折等)作图是作函数图象的常用方法．

(2)方程f(x)＝g(x)解的个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的个数．

1．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不等的实根，则a的取值范围是(D)

A．(0,1)∪(1，＋∞)  　B．(0,1)

C．(1，＋∞)  　D．(0，)

当a>1时，由图(1)可知，不满足要求；

当0<a<1时，由图(2)可知，要方程有两个不等的实根，则0<2a<1，

所以a的取值范围为(0，)．

 指数函数的性质的应用

(1)(2018·怀宁月考)已知a＝()，b＝2－，c＝()，则下列关系正确的是(　　)

A．c<a<b  B．b<a<c

C．a<c<b  D．a<b<c

(2)(2018·合肥质检)不等式2－x2＋2x>()x＋4的解集为　　　　　　.

(1)b＝2－＝()，而函数y＝()x在R上是减函数，又>>.

所以()<()<()，即b<a<c.故选B.

(2)原不等式等价于2－x2＋2x>2－x－4，

又函数y＝2x为增函数，所以－x2＋2x>－x－4，

即x2－3x－4<0，所以－1<x<4.

(1)B　(2)(－1,4)

(1)指数函数的性质主要是单调性，常用单调性来比较大小、解简单的指数不等式，求函数的值域(最值)等．

(2)比较大小时，常根据底数的特点构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小；当底数不同时，常利用中间量(如0,1)进行比较．

2．(1)(经典真题)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(C)

A．a<b<c  B．a<c<b

C．b<a<c  D．b<c<a

(2)已知2x2＋x≤()x－2，则函数y＝2x－2－x的值域为　[－，]　.

(1)因为y＝0.6x是(0，＋∞)上的减函数，

所以0.61.5<0.60.6<1，

又1.50.6>1，所以b<a<c.故选C.

(2)由2x2＋x≤2－2(x－2)，得x2＋x≤－2(x－2)，

所以x2＋3x－4≤0，所以－4≤x≤1.

又f(x)＝2x－为增函数，所以f(－4)≤f(x)≤f(1)．

因为f(1)＝2－＝，f(－4)＝2－4－24＝－，

故所求函数的值域为[－，]．

 指数函数的综合应用

函数f(x)＝4x－2x－1，x∈[0,2]的值域为 　　　.

设t＝2x，因为x∈[0,2]，所以t∈[1,4]，

令y＝g(t)＝t2－t－1(1≤t≤4)，

结合y＝g(t)的图象及其单调性可得

g(t)min＝g(1)＝－1，g(t)max＝g(4)＝11.

所以f(x)的值域为[－1,11]．

[－1,11]

解决与指数函数有关的最值或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构．换元时，要特别注意新元的取值范围，确保问题的等价性．

3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为　[－，]　.

设t＝，当x≥0时，2x≥1，所以0<t≤1，

f(t)＝－t2＋t＝－(t－)2＋，

所以0≤f(t)≤，故当x≥0时，f(x)∈[0，]，

因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

所以当x≤0时，f(x)∈[－，0]，

所以函数f(x)的值域为[－，]．

1．涉及与指数函数有关定义域、值域、单调性和图象等问题时，一般要结合指数函数的图象，重视数形结合思想的运用．

2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质和底数a的取值有关，与指数函数有关的含参数的问题要根据函数的性质进行分类讨论，讨论的标准依“底数”的范围而定．

3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．解决与指数函数复合的有关函数，常常借助换元法进行，但应注意换元后的新元的范围．