2020版物理新增分大一轮人教通用版讲义：第一章运动的描述匀变速直线运动本章学科素养提升
展开例1 在水平道路上有两辆汽车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同，如图1所示．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
图1
解析 解法一：解方程法
A、B两车的运动过程如图所示．
对A车，有xA＝v0t－×2at2，vA＝v0－2at
对B车，有xB＝at2，vB＝at.
两车恰好不相撞的条件是：当x＝xA－xB时，vA＝vB，
联立以上各式解得v0＝，故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
解法二：判别式法
设A车经过时间t恰好追上B车，两车的位移关系为xA＝x＋xB，即v0t－×2at2＝x＋at2，整理得3at2－2v0t＋2x＝0，这是一个关于时间t的一元二次方程，当判别式Δ＝(－2v0)2－4·3a·2x≤0时，t无实数解或只有一个解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
解法三：图象法
先作出A、B两车的v－t图象，如图所示．设经过时间t两车刚好不相撞，则：
对A车，有vA＝v＝v0－2at；对B车，有vB＝v＝at，解得t＝.
两车相遇时的位移差等于x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知x＝v0t＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0≤.
解法四：相对运动法
以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a，A车追上B车且刚好不相撞的条件是vt＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式得－v02＝2×(－3a)x，所以v0＝，即要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
答案 v0≤
(1)对于两个质点分别以不同的加速度运动，比较运动快慢问题时可作速度(速率)—时间图象进行辅助分析，此时根据图象“面积”相等这一特征比较时间长短．
(2)所描述的物理量做非线性变化时，可先构建一个物理量与另一物理量的线性变化关系图象，如“反比关系可转化为与倒数成正比”，然后应用“面积”含义或斜率的含义即可求解具体问题．
例2 如图2所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相同，a、b两球由静止从顶端下滑，若球在图上转折点无能量损失，则( )
图2
A．a球后着地
B．b球后着地
C．两球同时着地
D．两球着地时速度相同
【思路追踪】
审题关键点 | 思维路径 |
“总长度相同” | (1)指出两球运动路程相同 |
“由静止从顶端下滑” | (2)指出两球初速度相同 |
“转折点无能量损失” | (3)指出两球末速率相等 (4)初末速率、路程均相等，可引伸到速率—时间图象上比较时间长短 |
解析 在同一个v－t图象中作出a、b的速率－时间图线如图所示，由于开始运动时b的加速度较大，则斜率较大；由机械能守恒可知末速率相等，故图线末端在同一水平线上，由于两斜面长度相同，则应使图线与t轴围成的“面积”相等．结合图中图线特点可知b用的时间较少，由此可知A正确，B、C、D错误．
答案 A
