2020版物理新增分大一轮人教通用版讲义：第二章相互作用第2讲

第2讲　力的合成与分解

一、力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线交于一点的几个力．如图1均为共点力．

图1
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图2甲所示，F1、F2为分力，F为合力．

图2
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量．如图乙，F1、F2为分力，F为合力．
自测1　(多选)关于几个力及其合力，下列说法正确的是(　　)
A．合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．求几个力的合力遵循平行四边形定则
答案　ACD
自测2　(多选)(2018·山东省济南一中阶段检测)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则(　　)
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
答案　AD
解析　根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故A正确；F1、F2方向相反，F1、F2同时增加10 N，F不变，故B错误；F1、F2方向相反，F1增加10 N，F2减少10 N，F可能增加20 N，故C错误；F1、F2方向相反，若F1、F2中的一个增大，F不一定增大，故D正确．
二、力的分解
1．定义：求一个力的分力的过程．
力的分解是力的合成的逆运算．
2．遵循的原则
(1)平行四边形定则．(2)三角形定则．
3.分解方法
(1)效果分解法．如图3所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面下滑，二是使物体压紧斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝Gsin θ，G2＝Gcos θ.

图3
(2)正交分解法．
自测3　已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N．则(　　)
A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向
答案　C
解析　由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：

因F2＝30 N＞F20＝Fsin 30°＝25 N
且F2＜F，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，C正确．
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等．
2．标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等．
自测4　下列各组物理量中全部是矢量的是(　　)
A．位移、速度、加速度、力
B．位移、时间、速度、路程
C．力、位移、速率、加速度
D．速度、加速度、力、路程
答案　A

命题点一　共点力的合成
1．两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大．
2．三个共点力的合成
(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.
(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和．
3．几种特殊情况的共点力的合成
类型
作图
合力的计算
互相垂直

F＝
tan θ＝
两力等大，夹角为θ

F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大，夹角为120°

合力与分力等大
F′与F夹角为60°

4.力合成的方法
(1)作图法
(2)计算法
若两个力F1、F2的夹角为θ，如图4所示，合力的大小可由余弦定理得到：

图4
F＝
tan α＝.
例1　(2018·山东省临沂市一模)如图5所示，一物块在斜向下的拉力F的作用下沿光滑的水平地面向右运动，那么物体受到的地面的支持力FN与拉力F的合力方向是(　　)

图5
A．水平向右 B．向上偏右
C．向下偏左 D．竖直向下
答案　B
解析　对物体受力分析可知，其受重力、支持力、拉力．若拉力F与水平方向夹角为θ，在竖直方向，FN＝mg＋Fsin θ，支持力FN与F在竖直方向的分力之和Fy＝mg，方向向上，F在水平方向的分力Fx＝Fcos θ，故合力F合＝＝，方向向上偏右，故B正确．
变式1　(多选)(2019·陕西省商洛市调研)已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A. B. C. D.F
答案　AC
例2　(2018·河北省衡水中学第一次调研)如图6所示，小球A、B通过一条细绳跨过定滑轮连接，它们都穿在一根竖直杆上．当两球平衡时，连接两球的细绳与水平方向的夹角分别为θ和2θ.假设装置中的各处摩擦均不计，则A、B球的质量之比为(　　)

图6
A．2cos θ∶1 B．1∶2cos θ
C．tan θ∶1 D．1∶2sin θ
答案　B
解析　分别对A、B两球受力分析，运用合成法，如图：

由几何知识得：FTsin θ＝mAg，FTsin 2θ＝mBg，故mA∶mB＝sin θ∶sin 2θ＝1∶2cos θ，故选B.
变式2　(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力大小可能为2 N
B．物体所受静摩擦力大小可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案　ABC
解析　两个2 N力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三个力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误．
命题点二　力分解的两种常用方法
1．效果分解法
按力的作用效果分解(思路图)

2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(3)方法：物体受到多个力F1、F2、F3、…作用，求合力F时，可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝.
例3　如图7所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物．在绳上距a端的c点有一固定绳圈．若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为(　　)

图7
A. B．2 C. D.
答案　C
解析　解法一(力的效果分解法)：
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cos θ＝＝，又由几何关系得cos θ＝，联立解得＝.

解法二(正交分解法)：
绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcos θ＝m2g；由几何关系得cos θ＝，联立解得＝.
变式3　(2018·山东省烟台市模拟)减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是(　　)


答案　B
解析　减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生向上运动的作用效果，故B正确，D错误．
变式4　(多选)(2016·全国卷Ⅰ·19)如图8，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)

图8
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案　BD
解析　由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT′＝mag，所以物块a受到的绳的拉力保持不变．由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示．由平衡条件得：FTcos β＋Ff＝Fcos α，Fsin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确．

命题点三　力合成与分解的两个重要应用
应用1　斧头劈木柴类问题

例4　(多选)(2018·天津理综·7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图9所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　)

图9
A．若F一定，θ大时FN大
B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大
D．若θ一定，F小时FN大
答案　BC
变式5　刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图10是斧头劈木柴的示意图．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为(　　)

图10
A.F B.F C.F D.F
答案　B
解析　斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有 ＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误．

应用2　拖把拖地问题

例5　拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图11)．设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略．拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g.某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.

图11
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小．
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力有多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切tan θ0.
答案　(1) mg　(2)λ
解析　(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把．将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，根据平衡条件有
Fcos θ＋mg＝FN①
Fsin θ＝Ff②
式中FN和Ff分别为地板对拖把的正压力和摩擦力．
所以Ff＝μFN③
联立①②③式得F＝ mg④
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有Fsin θ≤λFN⑤
这时，①式仍成立．联立①⑤式得
sin θ－λcos θ≤λ⑥
λ大于零，且当F无限大时λ 为零，有
sin θ－λcos θ≤0⑦
使⑦式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把．故临界角的正切为tan θ0＝λ.
变式6　(2019·福建省莆田市质检)如图12所示，质量为m的物块静止于斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，逐渐增大斜面的倾角θ，直到θ等于某特定值φ时，物块达到“欲动未动”的临界状态，此时的摩擦力为最大静摩擦力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求θ角满足什么条件时物块总与斜面保持相对静止．

图12
答案　tan θ≤μ
解析　θ等于某特定值φ时，物块受力平衡，则有FN－Gcos φ＝0，Ffm－Gsin φ＝0.又Ffm＝μFN，解得μ＝tan φ.显然，当θ≤φ即tan θ≤μ时，物块始终保持静止．



1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法中正确的是(　　)
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案　C
2.(多选)一件行李重为G，被绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图1所示，则(　　)

图1
A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对绳OA的拉力方向与F1方向相反、大小相等
D．行李受到重力G、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2，还有F共四个力作用
答案　BC
3．(2018·河南省新乡市质检)如图2所示，一根不可伸长的轻绳穿过轻滑轮，两端系在高度相等的A、B两点，滑轮下挂一物体，不计绳和滑轮之间的摩擦．现让B缓慢向右移动，则下列说法正确的是(　　)

图2
A．随着B向右缓慢移动，绳子的张力减小
B．随着B向右缓慢移动，绳子的张力不变
C．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力变小
D．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力不变
答案　D
4．如图3所示，质量为m的重物悬挂在轻质的支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ.设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，以下结果正确的是(　　)

图3
A．F2＝
B．F1＝
C．F2＝mgcos θ
D．F1＝mgsin θ
答案　A
5．如图4所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时，汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°.下列判断正确的是(　　)

图4
A．此时千斤顶每臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×104 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将减小
答案　D
解析　汽车对千斤顶的压力大小为1.0×105 N，根据牛顿第三定律，千斤顶对汽车的支持力也为1.0×105 N，B项错误；两臂夹角为120°，由力的合成可知千斤顶每臂受到的压力为1.0×105 N，A项错误；继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂夹角减小，每臂受到的压力减小，C项错误，D项正确．
6.(2018·天津市南开中学月考)一个质点在三个共点力F1、F2、F3的作用下处于平衡状态，如图5所示，则它们的大小关系是(　　)

图5
A．F1＞F2＞F3
B．F1＞F3＞F2
C．F3＞F1＞F2
D．F2＞F1＞F3
答案　C
解析　因为质点在三个共点力F1、F2、F3的作用下处于平衡状态，所以将三力首尾相连组成一封闭三角形，如图所示，根据数学知识三角形中大边对大角，即得出F3＞F1＞F2，所以选项A、B、D错误，C正确．

7．(2019·四川省德阳市测试)一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图6所示(各小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)

图6
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
答案　B
解析　根据三力的图示，可知F1、F2在竖直方向的分力大小均为3个单位，方向相反，竖直方向合力为0，在水平方向的分力大小分别为6个单位和2个单位，方向与F3方向相同．根据正交分解法可得，三力的合力大小为12个单位，与F3的方向相同，即F合＝3F3，选项B正确．
8.(2018·福建省龙岩市一模)如图7所示，一件质量为M的衣服挂在等腰三角形的衣架上，衣架通过轻绳OA悬挂在天花板下．衣架质量为m，衣架顶角θ＝120°，此时衣架底边水平．不计衣服与衣架摩擦，重力加速度为g，则竖直轻绳OA受到的拉力FT和衣架左侧对衣服的作用力F大小分别为(　　)

图7
A．FT＝(M＋m)g，F＝Mg
B．FT＝(M＋m)g，F＝Mg
C．FT＝Mg，F＝Mg
D．FT＝Mg，F＝Mg
答案　A
解析　以衣服和衣架为整体受力分析可知，整体受总重力和轻绳OA的拉力作用，根据平衡条件得：FT′＝(M＋m)g，根据牛顿第三定律可知，OA受到的拉力FT＝FT′＝(M＋m)g；以衣服为研究对象，其受力分析图如图所示：

根据几何关系得F与竖直方向的夹角为30°，由平衡条件得：2Fcos 30°＝Mg，解得：F＝Mg.故A正确．

9．如图8所示，两个质量均为m1的小球套在竖直放置的光滑支架上，支架的夹角为120°，用轻绳将两球与质量为m2的小球连接，绳与杆构成一个菱形，则m1∶m2为(　　)

图8
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶ D.∶2
答案　A
解析　根据平行四边形定则将下面小球的重力按效果进行分解，如图所示，由几何知识得FT＝m2g，对支架上的小球受力分析，由平衡条件，在沿杆的方向有m1gsin 30°＝FTsin 30°，可得FT＝m1g，故m1∶m2＝1∶1，选项A正确．

10.(2019·华中师范大学附中月考)如图9所示，质量为mB＝24 kg的木板B放在水平地面上，质量为mA＝22 kg的木箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°.已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5.现用水平向右、大小为200 N的力F将木板B从木箱A下面匀速抽出(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2)，则木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为(　　)

图9
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
答案　A
解析　对A受力分析如图甲所示，由题意得
FTcos θ＝Ff1①
FN1＋FTsin θ＝mAg②
Ff1＝μ1FN1③
由①②③得：FT＝100 N

对A、B整体受力分析如图乙所示，由题意得
FTcos θ＋Ff2＝F④
FN2＋FTsin θ＝(mA＋mB)g⑤
Ff2＝μ2FN2⑥
由④⑤⑥得：μ2＝0.3，故A正确．
11.(2018·湖北省黄冈市模拟)一物块用轻绳AB悬挂于天花板上，用力F拉住套在轻绳上的光滑小圆环O(圆环质量忽略不计)，系统在图10所示位置处于静止状态，此时轻绳OA与竖直方向的夹角为α，力F与竖直方向的夹角为β.当缓慢拉动圆环使α(0°<α<90°)增大时(　　)

图10
A．F变大，β变大 B．F变大，β变小
C．F变小，β变大 D．F变小，β变小
答案　B
解析　圆环受到三个力，拉力F以及两个绳子的拉力FT，三力平衡，故两个绳子的拉力的合力与拉力F始终等值、反向、共线，由于两个绳子的拉力等于物块的重力，α增大时，两拉力夹角越小，合力越大，且合力在角平分线上，故拉力F逐渐变大，由于始终与两绳拉力的合力反向，故拉力F逐渐竖直，β逐渐变小，故选B.
12．(2018·云南省昆明市调研)如图11所示，B和C两个小球均重为G，用轻绳悬挂而分别静止于图示位置上，试求：

图11
(1)AB和CD两根细绳的拉力分别为多大？
(2)绳BC与竖直方向的夹角θ是多少？
答案　(1)G　G　(2)60°
解析　(1)对B、C两球整体受力分析，正交分解得FABcos 30°＋FCDcos 60°＝2G，FABsin 30°＝FCDsin 60°
联立解得FAB＝G，FCD＝G
(2)对C球受力分析，正交分解得
FBCcos θ＋FCDcos 60°＝G
FBCsin θ＝FCDsin 60°，
联立解得θ＝60°.
13．如图12所示，两滑块放在光滑的水平面上，中间用一细线相连，轻杆OA、OB搁在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角为θ，当用竖直向下的力F作用在铰链上，滑块间细线的张力为多大？

图12
答案　Ftan
解析　把竖直向下的力F沿两杆OA、OB方向分解，如图甲所示，则杆作用于滑块上的力为
F1＝F2＝

杆对滑块的作用力F1产生两个效果：竖直向下压滑块的力F1″和沿水平方向推滑块的力F1′，因此，将F1沿竖直方向和水平方向分解，如图乙所示，则细线上的张力FT与F1′大小相等，即FT＝F1sin ＝sin ＝Ftan .