2023届高考物理（新人教版）大一轮复习讲义第十章　磁场

专题强化十五　带电粒子在组合场、叠加场、交变电磁场中的运动

【专题解读　1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现。2.学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力。针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心。

题型一　带电粒子在组合场中的运动

1．组合场

电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。

2．分析思路

(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。

(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。

(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图。

(4)用规律

　先电场后磁场

【真题示例1 (2020·全国Ⅱ卷，17)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图1(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则(　　)

图1

A．M处的电势高于N处的电势

B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移

C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外

D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移

答案　D

解析　电子带负电，故必须满足N处的电势高于M处的电势才能使电子加速，故选项A错误；由左手定则可判定磁感应强度的方向垂直纸面向里，故选项C错误；对加速过程应用动能定理有eU＝mv2，设电子在磁场中运动半径为r，由洛伦兹力提供向心力有evB＝m，则r＝，电子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，电子从磁场射出的速度方向与水平方向的夹角θ满足sin θ＝(其中d为磁场宽度)，联立可得sin θ＝dB，可见增大U会使θ减小，电子在靶上的落点P右移，增大B可使θ增大，电子在靶上的落点P左移，故选项B错误，D正确。

　先磁场后电场

【例2 (2021·山东潍坊市3月五县联考)如图2所示的坐标系xOy中，第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，第二象限存在沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度未知。一带正电粒子从A(d，0)点以初速度v0开始运动，初速度方向与x轴负方向夹角为53°，粒子到达y轴时速度方向与y轴垂直，粒子经过电场区域、x轴下方磁场区域恰好回到A点，且速度方向与初速度方向相同。粒子重力不计，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：

图2

(1)粒子的比荷；

(2)匀强电场的电场强度大小；

(3)x轴下方磁场的磁感应强度大小。

答案　(1)　(2)　(3)B0

解析　(1)设粒子在第一象限内做圆周运动的轨迹半径为r1，则有

qv0B0＝m

由图可知r1＝

解得＝。

(2)设粒子做类平抛运动过程竖直位移为Δy，

则Δy＝r1－r1cos 53°

由题意可知，粒子做类平抛运动的末速度与x轴负方向夹角为θ＝53°，则

vy＝v0tan θ，类平抛运动过程

vy＝at，Δy＝at2，qE＝ma

联立解得t＝，E＝。

(3)设粒子做类平抛运动过程水平位移为Δx，则Δx＝v0t，设粒子在y轴下方磁场区域运动的轨道半径为r2，则r2＝

粒子运动速度v＝，qvB＝m

解得B＝B0。

【针对训练1 如图3所示，M、N板间存在电压为U0的加速电场，半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，光屏放置于圆形磁场区域右侧，光屏中心P到圆形磁场区域圆心O的距离为2R。带电粒子从S点由静止飘入M、N板间，经电场加速后进入圆形磁场区域，在磁场力作用下轨迹发生偏转，最终打在光屏上的某点，测量该点到P点的距离，便能推算出带电粒子的比荷，不计带电粒子的重力。

图3

(1)若带电粒子为电子，已知电子的电荷量为e，质量为m0，求电子经过电场加速后的速度大小v及电子在磁场中运动的轨迹半径r；

(2)若某种带电粒子通过电场加速和磁场偏转后，打在光屏上的Q点，已知P点到Q点的距离为2R，求该带电粒子的比荷及其在磁场中运动的时间t。

答案　(1)　  (2)　

解析　(1)电子在电场中加速，根据动能定理，

有eU0＝m0v2－0

解得v＝

电子在磁场中做匀速圆周运动

由evB＝m0，解得r＝。

(2)带电粒子从S点到达Q点的运动轨迹如图所示。

由几何关系可得θ＝60°，则α＝＝30°

因tan α＝

因r′＝，解得＝

带电粒子在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角θ＝60°

周期T＝

运动时间t＝T＝。

题型二　带电粒子在叠加场中的运动

1．叠加场

电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。

2．洛伦兹力、重力并存

(1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。

(2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒。

3．电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)

(1)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。

(2)若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解。

4．电场力、洛伦兹力、重力并存

(1)若三力平衡，带电粒子一定做匀速直线运动。

(2)若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动。

(3)若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解。

【例3 (2021·山东济南市模拟)如图4所示，两竖直虚线间的距离为L，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域左方的A点将质量为m、电荷量为q的带电小球以初速度v0＝沿平行于电场的方向抛出。已知抛出点到电场左边界的距离为2L，小球到达电场右边界时速度方向恰好变为竖直向下。不计空气阻力，重力加速度大小为g。

图4

(1)求小球进入电场时速度大小；

(2)求小球到达电场右边界时的位置到抛出点的距离；

(3)在匀强电场区域再施加一个匀强磁场，使小球进入此区域后能够沿直线运动，求所加磁场的方向以及磁感应强度大小。

答案　(1)2　(2)5L  (3)垂直纸面向外，

解析　(1)设小球从抛出经时间t1恰好进入电场，则根据平抛运动规律有

2L＝v0t1①

根据速度的合成可知，小球进入电场时的速度大小为v＝②

联立①②解得v＝2③

(2)设小球进入电场后经时间t2到达电场右边界，根据运动学公式得L＝t2④

小球从抛出到到达电场右边界的过程中下落的高度为h＝g(t1＋t2)2⑤

由几何关系可知s＝⑥

联立①④⑤⑥解得s＝5L⑦

(3)由前面分析可知小球带负电，小球在电场、磁场和重力场的复合场中做匀速直线运动，小球所受重力和电场力的合力方向斜向左下方，根据平衡条件可知小球所受洛伦兹力的方向一定斜向右上方，又因为小球进入复合场区时的速度方向斜向右下方，故根据左手定则可知匀强磁场的方向为垂直纸面向外。

设小球刚进入复合场时速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝⑧

根据平衡条件可得mgtan α＝qE⑨

qvB＝⑩

联立①③⑧⑨⑩解得磁感应强度的大小为

B＝⑪

【针对训练2 (2021·福建龙岩市质量检测)如图5所示，在竖直的xOy平面内，在水平x轴上方存在场强大小E1＝、方向平行于x轴向右的匀强电场，在第二象限存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在x轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，大小与方向都未知的匀强电场E2。一质量为m、带电荷量为q的小球从y轴上的P(0，L)位置无初速度释放，释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动，运动轨迹恰好与y轴相切。

图5

(1)求匀强电场E2的大小与方向；

(2)求小球第二次穿过x轴的位置与第三次穿过x轴的位置之间的距离；

(3)若让小球从y轴上的Q点(图中未标出)无初速度释放，小球第二次穿过x轴后进入第二象限做直线运动，恰好又回到Q点。求第二象限中匀强磁场的磁感应强度B的大小。

答案　(1)　方向竖直向上　(2)8L　(3)

解析　(1)小球无初速度释放后进入第一象限，故小球带正电，做匀加速直线运动

因为小球在第四象限做匀速圆周运动，所以qE2＝mg①

则E2＝，方向竖直向上

(2)设小球进入第四象限的速度方向与水平方向夹角为θ，如图所示

由运动学公式得

v2＝2a③

a＝g

tan θ＝＝1④

由②③④得v＝2，θ＝45°

小球再次回到第一象限做类平抛运动，有

竖直方向t＝⑤

水平方向qE1＝max⑥

x＝(vcos θ)t＋axt2⑦

由⑤⑥⑦得x＝8L。

(3)假设x轴下方匀强磁场磁感应强度大小为B0，从P点释放的小球进入磁场，有

R＋Rcos θ＝L⑧

qvB0＝m⑨

假设Q点离坐标原点的距离为yQ，对从Q点释放的小球，进入第一象限的速度为v1，同理可得v1＝2⑩

从Q点释放的小球进入x轴下方，做匀速圆周运动，有

qv1B0＝m⑪

从Q点释放的小球在第二象限做直线运动，电场力和重力的合力与洛伦兹力大小相等，v1与x轴夹角θ＝45°，有qv1B＝mg⑫

电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，则MQ与NQ必然垂直，由几何关系，得

R1＝yQ⑬

由⑧⑨⑩⑪⑫⑬并代入R，得

B＝。

题型三　带电粒子在交变电磁场中的运动

带电粒子在交变电磁场中运动问题的基本思路

【例4 如图6(a)所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图(b)所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向，t＝0时刻，带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量，图(b)中＝，在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为(，)。求：

图6

(1)粒子P的比荷；

(2)t＝2t0时刻粒子P的位置；

(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。

答案　(1)　(2)(v0t0，0)  (3)v0t0

解析　(1)0～t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒于所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周，所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R，即R＝①

又qv0B0＝m②

代入＝

解得＝③

(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T，则

T＝④

联立①④式解得T＝4t0⑤

即粒子P做圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后做类平抛运动，设t0～2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，则

x1＝v0t0＝＝⑥

y1＝at⑦

其中加速度a＝⑧

由③⑦⑧式解得y1＝＝R⑨

因此t＝2t0时刻粒子P的位置坐标为

(v0t0，0)，如图中的b点所示。

(3)分析知，粒子P在2t0～3t0时间内，电场力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系知，在3t0时刻速度方向为x轴正方向，位移x2＝x1＝v0t0；在3t0～5t0时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如(2)中图所示，由图可知，带电粒子在运动中距原点O的最远距离L即O、d间的距离L＝2R＋2x1，解得L＝v0t0。

题型自我感悟

1．带电粒子(不计重力)在组合场中运动的问题实际上是各种运动的组合，一般是哪几种运动的组合？分别满足什么规律？

提示　一般是直线运动、圆周运动、类平抛运动或者一般的曲线运动的组合。直线运动一般根据动力学方法或者动能定理分析，类平抛运动采用运动合成和分解的方法。

2．请你总结这类题型的解题技巧？

提示　(1)分析不同运动过程满足的规律；

(2)想办法求运动转折点的速度；

(3)画好运动轨迹，利用几何关系求出圆周运动的轨迹半径。

1．(多选) (2021·天津红桥区一模)如图1所示，套在足够长的绝缘粗糙直棒上的带正电小球，其质量为m，电荷量为q，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放入沿水平方向且互相垂直的匀强磁场和匀强电场中，设小球所带的电荷量不变，小球由静止下滑的过程中(　　)

图1

A．小球加速度一直减小

B．小球速度一直增大，直到最后匀速

C．杆对小球的弹力一直增大

D．小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变

答案　BD

解析　小球下滑过程中，初始阶段受力情况如图所示，水平方向受力平衡qvB＋FN＝qE，竖直方向由牛顿第二定律得mg－Ff＝ma，滑动摩擦力Ff＝μFN，小球向下加速，所以洛伦兹力增大，则FN减小，故加速度增大，A、C错误；因此小球先做加速度增大的加速运动，当qE＝qvB，此时FN＝0，Ff＝0，加速度等于重力加速度，小球继续向下加速运动，洛伦兹力大于电场力，水平方向上qvB＝qE＋FN，竖直方向上mg－Ff＝mg－μFN＝ma，速度继续增大，则FN增大，故加速度减小，因此小球做加速度减小的加速运动，最后匀速运动。故整个过程小球先做加速度增大的加速运动，然后做加速度减小的加速运动，最后匀速运动，小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变，故B、D正确。

2．(多选) (2021·广东六校联考)如图2所示，空间中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球恰能以速度v0做直线运动，其轨迹如图虚线所示，虚线与水平方向成30°角，小球最终穿过一轴线沿小球运动方向且固定摆放的光滑绝缘管道(管道内径略大于小球直径)，下列说法正确的是(　　)

图2

A．小球一定带正电

B．磁场和电场的大小关系为＝v0

C．小球可能是从管道的乙端运动到甲端

D．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球将在管道中做匀速直线运动

答案　AD

解析　小球做匀速直线运动，若带正电，电场力方向水平向左，重力方向竖直向下。从甲端运动到乙端时，洛伦兹力方向垂直于虚线斜向右上，三力恰好平衡，能保证小球沿图中虚线运动。若小球带负电，电场力方向水平向右，重力方向竖直向下。从甲端运动到乙端时或者从乙端运动到甲端时，洛伦兹力方向垂直于虚线斜向左下或者右上，均不能使小球沿直线运动，故A正确，C错误；由以上分析可知，电场力和洛伦兹力关系为sin 30°＝，整理，得＝，故B错误；未撤磁场时，小球所受三力平衡，其中电场力和重力沿虚线方向的合力为零，当撤去磁场时，在管道中所受重力和电场力均没有变化，沿虚线方向(管道方向)合力仍为零，而管道的支持力垂直于管道，即小球合力仍为零，做匀速直线运动，故D正确。

3．(多选)(2021·浙江选考模拟)如图3所示，一带正电小球穿在一根绝缘粗糙直杆上，杆与水平方向夹角为θ，整个空间存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，先给小球一初速度，使小球沿杆向下运动，在A点时的动能为

100 J，在C点时动能减为零，D为AC的中点，那么带电小球在运动过程中(　　)

图3

A．到达C点后小球不可能沿杆向上运动

B．小球在AD段克服摩擦力做的功与在DC段克服摩擦力做的功不等

C．小球在D点时的动能为50 J

D．小球电势能的增加量等于重力势能的减少量

答案　AB

解析　如果小球受电场力大于重力，则到达C点后小球可能沿杆向上运动，选项A正确；小球受重力、电场力、洛伦兹力、弹力和滑动摩擦力的作用，由于F洛＝qvB，故下滑过程中洛伦兹力减小，导致支持力和滑动摩擦力变化，故小球在AD段克服摩擦力做的功与在DC段克服摩擦力做的功不等，小球在D点时的动能不可能为50 J，选项B正确，C错误；该过程是小球的重力势能、电势能、动能和系统的内能之和守恒，故小球电势能的增加量不等于重力势能的减少量，选项D错误。

4．如图4所示，两平行金属板水平放置，板长和板间距均为L，两板间接有直流电源，极板间有垂直纸面向外的匀强磁场。一带电微粒从板左端中央位置以速度v0＝垂直磁场方向水平进入极板，微粒恰好做匀速直线运动。若保持a板不动，让b板向下移动0.5L，微粒从原位置以相同速度进入，恰好做匀速圆周运动，重力加速度为g，则该微粒在极板间做匀速圆周运动的时间为(　　)

图4

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　微粒恰好做匀速直线运动时，有q＝qv0B＋mg，恰好做匀速圆周运动时，有q＝mg，联立解得＝qv0B，即v0＝，由题意可知v0＝，则有＝，由公式qv0B＝m，得R＝，联立解得R＝2L，微粒运动轨迹如图所示，由几何关系可得∠MON＝30°，所以微粒在磁场中运动的时间为t＝×＝，故A正确，B、C、D错误。

5．(2021·1月八省联考，广东)如图5所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda′b′c′d′内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m、电量为＋q的粒子，以初速度v0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add′a′的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb′a′中心垂直飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力。求：

图5

(1)粒子进入磁场区域时的速率；

(2)磁感应强度的大小。

答案　(1)　(2)

解析　(1)粒子在电场中加速，由动能定理可得

qU＝mv2－mv

解得v＝。

(2)根据题意从正方形add′a′的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb′a′中心垂直飞出磁场区域，粒子在磁场中运动的轨道半径R＝L

在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力

qBv＝m

解得B＝。

6．(2021·广东梅州市第一次质检)如图6所示，两块水平放置、相距为d＝0.5 m的长金属板接在电压U＝1 V的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。将喷墨打印机的喷口靠近两板中间的位置，从喷口连续不断喷出质量均为m＝3.2×10－3 kg、速度水平且大小均为v0＝5 m/s、电荷量相等的墨滴。墨滴在电场区域恰能向右做匀速直线运动，并垂直磁场左边界进入电场、磁场共存区域后，最终打在下板的M点。M点与磁场左边界的水平距离亦为d，取g＝10 m/s2

图6

(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量q；

(2)求磁场的磁感应强度B。

答案　(1)墨滴带负电荷，1.6×10－2 C  (2)1.6 T

解析　(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，则电场力大小等于重力，有qE＝mg

匀强电场为E＝

联立解得q＝＝ C＝1.6×10－2 C，由电场方向向下，电荷受的电场力方向向上，可知墨滴带负电荷。

(2)墨滴垂直进入电、磁场共存的区域，重力仍与电场力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，有qv0B＝m，根据题设，可知墨滴在电场、磁场共存区域做匀速圆周运动的轨迹如图所示

设圆周运动的半径为R，由几何关系可得

R2＝d2＋(R－)2

解得R＝d

联立方程，解得B＝1.6 T。

7．(2021·辽宁省高考模拟)在竖直平面内建立xOy坐标系，在坐标系的第Ⅰ象限的OyPQ范围内存在如图7所示正交的匀强电场和匀强磁场，PQ平行于y轴且到y轴的距离为(＋1)l。质量为m、带电荷量为q的微粒从第Ⅱ象限的a点沿xOy平面水平抛出，微粒进入电、磁场后做直线运动；若将匀强电场方向改为竖直向上，微粒仍从a点以相同速度抛出，进入电、磁场后做圆周运动，且运动轨迹恰好与x轴和直线PQ相切，最后从y轴上射出。重力加速度为g。求：

图7

(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；

(2)微粒抛出时的初速度大小v0及a点坐标；

(3)电场方向改变前后，微粒由a点抛出到由电、磁场中射出，重力对微粒的冲量之比。

答案　(1)　(2)　(－l，l)  (3)

解析　(1)如图甲所示，设微粒进入第Ⅰ象限时速度的偏转角为α，由电场方向竖直向上时微粒做圆周运动且运动轨迹恰好与x轴和直线PQ相切可知

甲

qE－mg＝0

qvB＝m

r(1＋sin α)＝(＋1)l

微粒在电、磁场中做直线运动时所受合外力为零，受力如图乙所示

乙

qvBsin θ－mg＝0

tan θ＝

联立解得B＝。

(2)由图乙可知α＝90°－θ＝45°

v0＝vcos α

解得v0＝

设微粒做平抛运动的时间为t1，则t1＝

其中vy＝v0

则d＝v0t1

h＝gt

a点横坐标为x＝－d

纵坐标为y＝h＋r(1－cos α)

解得a点的坐标为(－l，l)

(3)电场水平向左时，设微粒在电、磁场中做匀速直线运动的时间为t2，则

＝vt2

重力的冲量I1＝mg(t1＋t2)

电场竖直向上时，微粒在电、磁场中做匀速圆周运动的时间为t3，则t3＝T

其中T＝

重力的冲量I2＝mg(t1＋t3)

解得＝。

8．(2021·福建南平市质检)如图8，竖直平面内建立直角坐标系xOy，x轴水平，在第二象限内有一段光滑绝缘圆弧轨道，轨道末端与x轴相切于O点。第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，其中有一个半径为L的圆形区域，圆心D与O点的连线与水平方向的夹角为45°，OD长为2L。现有一电荷量为＋q，质量为m的带电小球(可视为质点)，从绝缘轨道上距x轴高度为H(H未知)处由静止释放，并沿水平方向从O点进入第一象限，恰能做匀速圆周运动，其轨迹恰与图中圆形区域外切，匀强磁场磁感应强度大小为B，重力加速度为g，求：

图8

(1)电场强度E的大小；

(2)高度H为多少；

(3)若仅将OD所在直线上方的磁场反向，磁感应强度大小不变，并将小球放在绝缘轨道上距离x轴高度大于H的任意位置，由静止释放。则能到达A(4L，4L)处的小球从O点运动到A所经过的时间。

答案　(1)　(2)　(3)见解析

解析　(1)带电小球在复合场中做匀速圆周运动，有mg＝qE，解得E＝。

(2)假设带电小球从距x轴H高处由静止释放，到达O点处的速率为v，由动能定理得

mgH＝mv2

在第一象限的电磁场中，其运动轨迹如图所示，根据洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，其中r表示小球做圆周运动的轨迹半径

由几何关系和余弦定理得

(r＋L)2＝r2＋(2L)2－2r×2Lcos 45°

解得r＝L，H＝。

(3)假设进入第一象限的小球恰好能到达(4L，4L)处，其半径为r，由几何关系得

nr＝4L或r＝(n＝1，2，3…)

t＝

T＝＝

又因为小球释放位置距x轴的高度大于H，所以r≥L，故n＝1、2、3

则n＝1时，r1＝4L，t＝

n＝2时，r2＝2L，t＝

n＝3时，r3＝，t＝

9．(2021·湖南永州市模拟)如图9甲所示，在直角坐标系xOy的x轴下方有沿y轴正向的匀强电场，在x轴上方有垂直坐标平面的匀强磁场，其磁感应强度B随时间变化如图乙所示(图中B1、B2未知)。一个质量为m、带电荷量为q的带正电粒子在y轴上P(0，－d)点处以大小为v0的初速度沿x轴正向射入电场，粒子从x轴上的Q点进入磁场，并以此时刻为t＝0时刻。已知t1＝，t1时刻后的粒子的运动轨迹与x轴、y轴均相切，不计粒子的重力，以垂直坐标平面向里为磁场正方向。求：

图9

(1)匀强电场的电场强度大小；

(2)匀强磁场磁感应强度B1、B2的比(若有多种符合题意的情形，只需计算一种情形的结果即可)。

答案　(1)　(2)2∶1

解析　(1)粒子在电场中做类平抛运动

沿＋y方向有d＝at2①

沿＋x方向有d＝v0t②

由牛顿第二定律有qE＝ma③

联立①②③式解得E＝。④

(2)设粒子进磁场时速度大小为v，速度方向与x轴正向夹角为θ，从P到Q，有

qEd＝mv2－mv⑤

由几何关系得cos θ＝⑥

联立④⑤⑥式解得θ＝60°⑦

粒子在磁场内做圆周运动的周期T＝

则t1＝，即在0～t1时间内粒子在磁场中运动轨迹是半圆。由于粒子在 t1时刻后，运动轨迹刚好与x轴、y轴相切，轨迹可能如图(1)、(2)所示两种情形。

情形(1)：设粒子在t1时刻前运动半径为r1，t1时刻后运动轨迹半径为r2

由几何关系，有r2＝(2r1＋r2)sin 30°⑧

由qvB＝m有＝⑨

解得＝。

情形(2)：设粒子在t1时刻前运动半径为r1，t1时刻后运动轨迹半径为r2，由几何关系，有

r2＝(2r1＋r2)sin 30°⑧

由qvB＝m，有＝⑨

解得＝。